勾股定理證明出了直角三角形最重要的性質(zhì)之一箩退，那就是直角邊的平方和等于斜邊的平方盖彭，用公式來表達(dá)也就是：a2+b2=c2酱吝，因此我們也把滿足這一個(gè)公式的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)（比如3搂抒，4寇漫，5；5闺阱，12炮车，13）那么是否可以有一套公式來構(gòu)造勾股數(shù)組呢？
最早想到這一點(diǎn)的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們于是給出了自己的一套構(gòu)造勾股數(shù)組的公式：
以3瘦穆，4纪隙，5為例：4=1×（3+1）
以5，12扛或，13為例：12=2×（5+1）
以7绵咱，24，25為例：24=3×（7+1）
相當(dāng)于在一組勾股數(shù)中熙兔，中間大的數(shù)都可以使用第1個(gè)數(shù)來表示出來悲伶，同時(shí)我們可以把第3個(gè)數(shù)用第2個(gè)數(shù)加一表示出來，并且我們發(fā)現(xiàn)如果這三個(gè)數(shù)符合這樣的規(guī)律住涉，就剛好可以是一組勾股數(shù)麸锉，那么這究竟是一個(gè)什么樣的規(guī)律呢？
中間大的數(shù)都可以表示成兩個(gè)整體相乘舆声，由一個(gè)數(shù)組成的整體花沉，有什么規(guī)律呢？我們會(huì)發(fā)現(xiàn)媳握，當(dāng)這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是最小的奇數(shù)的時(shí)候碱屁，要乘以的也就是一，當(dāng)這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是倒數(shù)第2小的奇數(shù)的時(shí)候蛾找，要乘以的也就是2娩脾，那么這個(gè)由單個(gè)數(shù)組成的乘數(shù)就好找規(guī)律了，如果我們把最小的數(shù)表示成a（規(guī)定a為奇數(shù)）腋粥，我們就可以把第2個(gè)數(shù)的由單個(gè)整數(shù)組成的成數(shù)表示成：
（a-1）/2
有兩個(gè)數(shù)組成的乘數(shù)就好表示了晦雨，也就是a+1
于是當(dāng)?shù)?個(gè)數(shù)是a（奇數(shù)）時(shí)，第2個(gè)數(shù)也就是：[（a-1）/2]×（a+1）
根據(jù)上面舉的特例的規(guī)律隘冲，就會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的數(shù)就是[（a-1）/2]×（a+1）+1
然后再通過代數(shù)的方法證明一下闹瞧，這三個(gè)數(shù)剛好就是勾股數(shù)：
{[（a-1）/2]×（a+1）+1}2
=[（a2-1）/2]2+1+2[（a2-1）/2]
=（a2-1）2/4+1+a2-1
=（a?-2a2）/4+a2
a2+{[（a-1）/2]×（a+1）}2
=a2+（a2-1）2/4
=a2+（a?-2a2）/4
=（a?-2a2）/4+a2
因此在代數(shù)的層面，我們也可以證明我們這一組公式所構(gòu)建出的數(shù)組確實(shí)是勾股數(shù)展辞。
那么假設(shè)a是個(gè)偶數(shù)奥邮，很明顯就不能使用這一套公式來構(gòu)建勾股數(shù)了（因?yàn)檫@一套功是指在a是奇數(shù)的時(shí)候有效），那么當(dāng)a是偶數(shù)時(shí)罗珍，是否有一套新的公式來構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)組呢洽腺？
也是有的。
可以再觀察一下構(gòu)造奇數(shù)時(shí)中間大的數(shù)的表達(dá)式：[（a-1）/2]×（a+1）
如果把它稍微換一下覆旱，也就會(huì)變成：
（a2-1）/2
相當(dāng)于我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)中間大的數(shù)的兩倍蘸朋，應(yīng)該比最小的數(shù)的平方差了一，那么在尋找偶數(shù)的關(guān)系式的時(shí)候扣唱，是否我們也可以猜想最小的數(shù)的平方和中間大的數(shù)的幾倍之間有一個(gè)特定的差呢藕坯？
以6团南，8，10為例
6的平方是36炼彪，8的4倍和6的平方吐根，差的最近是32，因此可以做出猜想：設(shè)最小的數(shù)為a（偶數(shù)）辐马，中間大的數(shù)也就是（a2-4）/4
再以8拷橘，15，17為例
8的平方是64喜爷，15的4倍是60冗疮，和8的平方之間也差了4，可見猜想應(yīng)該是正確的贞奋，且通過觀察赌厅，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的數(shù)和中間大的數(shù)差了2穷绵，
所以最大的數(shù)也就是：（a2-4）/4+2
最后就需要用代數(shù)來證明一下我們的猜想是否正確轿塔，最終的答案肯定是正確的，但是這里為了方便就不再做以證明了仲墨。
因此在現(xiàn)在的狀態(tài)下勾缭，任何人隨便給出一個(gè)a的值，在判斷完它是奇數(shù)或者偶數(shù)之后目养，我們就可以馬上用剛才找到的規(guī)律來構(gòu)造出一組與之相對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)俩由，這便是對(duì)于構(gòu)造勾股數(shù)公式的探索。
