探索了勾股定理之后泊脐，我們知道了直角三角形它三邊之間的關(guān)系慎冤，我們也證明出了勾股定理的逆定理岗照，在這個過程中我們發(fā)現(xiàn)有一些奇特的整數(shù)，他們所組成三角形不用計算我們也知道這個三角形是直角三角形温艇，比如（3，4堕汞，5）（5勺爱，12，3）（9讯检，12琐鲁，15）這樣的數(shù)所組成的三角形一定是直角三角形。像這樣的一組數(shù)我們叫做：勾股數(shù)

有這么多的勾股數(shù)人灼，可我們要怎么知道這三個數(shù)是不是勾股數(shù)呢围段？每組勾股數(shù)之間又有什么規(guī)律呢？我們先觀察一些勾股數(shù)：

（3挡毅，4蒜撮，5）（5，12跪呈，13）（6段磨，8，10）（7耗绿，24苹支，25）……

但是光這樣看我們看不出任何規(guī)律，那我們可不可以將這些勾股數(shù)分一下類误阻，在找出每一類中勾股數(shù)的關(guān)系债蜜。我們看每一組數(shù)中最小的數(shù)，分別是3究反，5寻定，6，7……我們可以將這些數(shù)分成兩部類第一部類是：一組勾股數(shù)中最小值為奇數(shù)精耐。第二部類是：一組勾股數(shù)中最小值為偶數(shù)狼速。這次我們先看其中一類，第二類卦停。

我們先將勾股數(shù)中最小值為偶數(shù)的勾股數(shù)列出來一些：

（6向胡，8，10）（8惊完，15僵芹，17）（10，24小槐，26）（12拇派，35，37）……

這樣觀察也不好直接看出規(guī)律，因為勾股數(shù)跟勾股定理有關(guān)系攀痊，而勾股定理是三角形三邊平方之間的關(guān)系桐腌，那么勾股數(shù)之間的關(guān)系有沒有可能也跟平方有關(guān)呢？通過觀察苟径，我們可以發(fā)現(xiàn)在第一組勾股數(shù)中8=32-1，10=32+1躬审，而6=3×2棘街。那我們再看下一組勾股數(shù)，在這組勾股數(shù)中也是15=42-1承边，17=42+1遭殉，8=4×2。同樣后面的勾股數(shù)組中也可以發(fā)現(xiàn)這樣的一個規(guī)律博助。所以我們可以得出一個猜想：當勾股數(shù)中的最小值為偶數(shù)時险污，勾股數(shù)中的另外兩個數(shù)就分別等于最小值1/2的平方減1和最小值1/2的平方加1「辉溃可是這些只是一個特例蛔糯，我們怎么把它變成一個普遍規(guī)律呢？

首先我們先用小寫字母（a,b,c）（a為偶數(shù)）來表示一組勾股數(shù)窖式。那么根據(jù)我們上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律蚁飒， 可以用a表示b和c，那么b=（1/2a）2-1萝喘，c=（1/2a）2+1淮逻，那么我們要怎么證明? a，b阁簸，c是一組勾股數(shù)呢爬早？如果a，b启妹，c是一組勾股數(shù)筛严，那么a2+b2=c2。過程如下圖：

那么現(xiàn)在我們就證明了翅溺，當勾股數(shù)中的最小值為偶數(shù)時脑漫，勾股數(shù)中的另外兩個數(shù)就分別等于最小值1/2的平方減1和最小值1/2的平方加1是一個普遍規(guī)律。這樣的一組勾股數(shù)（a咙崎，b优幸，c）（a為偶數(shù)）也可以表示為（a，（1/2a）2-1褪猛，（1/2a）2+1）（a為偶數(shù)）

那在我們探索完网杆，勾股數(shù)中最小值為偶數(shù)的情況后，接下來我們需要探索的就是勾股數(shù)中最小值為奇數(shù)的情況，我們把勾股數(shù)中最小值為奇數(shù)的勾股數(shù)列出來

（3碳却，4队秩，5）（5，12昼浦，13）（7馍资，24，25）（9关噪，40鸟蟹，41）……

光這樣看這些勾股數(shù)組，我們只能發(fā)現(xiàn)4+1=5使兔，12+1=13 建钥，24+1=25……但是沒有辦法發(fā)現(xiàn)前兩個數(shù)之間的關(guān)系，觀察它們的平方虐沥，我們也發(fā)現(xiàn)不了其他的規(guī)律熊经。因為我們不是第1個探索的人，已經(jīng)有人探索過了欲险，所以我們先借助一個式子來幫助我們進行探索镐依。

每一組勾股數(shù)對應一個式子。

4=1×（3+1）盯荤，12=2×（5+1）馋吗，24=3×（7+1）……

這樣我們就發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)組中的第2個數(shù)字等于第1個數(shù)字加1乘以某個數(shù)，那么到底乘以幾我們?nèi)绾沃滥兀?/p>

通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)秋秤。1=3×1/2-0.5宏粤，2=5×1/2-0.5，3=7×1/2-0.5……

那么現(xiàn)在我們就得到了一個猜想：勾股數(shù)中最小值為奇數(shù)時另外兩個數(shù)就分別等于這個數(shù)的1/2與0.5的差乘以這個數(shù)與1的和灼卢，第3個數(shù)就等于第2個數(shù)加1绍哎。

但是這只是一個特例，我們要怎么證明它是一個普遍規(guī)律呢鞋真？我們用小寫字母（a崇堰，b，c）（a為除1外的奇數(shù)）來表示這個勾股數(shù)組涩咖，我們就可以用a來表示b和c海诲，

b=（1/2a-0.5）×（a+1）

c= b+1

證明過程如下

那么現(xiàn)在我們就證明了勾股數(shù)中最小值為奇數(shù)時另外兩個數(shù)就分別等于這個數(shù)的1/2與0.5的差乘以這個數(shù)與1的和，第3個數(shù)就等于第2個數(shù)加1檩互。一組勾股數(shù)（a特幔，b，c）（a為除1外的奇數(shù)）也可以表示為（a闸昨，（1/2a-0.5）×（a+1）蚯斯，b+1）（a為除1外的奇數(shù)）

這樣我們就把勾股數(shù)之間的關(guān)系探索完了薄风。