定義7.1 是整數(shù)，若存在整數(shù)使耘擂，則稱整數(shù)能整除整數(shù)胆剧，或稱能被整除，記作：醉冤。否則秩霍，稱整數(shù)不能整除整數(shù)，或稱不能被整除冤灾，記作：。
請(qǐng)根據(jù)以上定義判斷以下每對(duì)數(shù)是否整除：

表7.1.1

題7.2 以下說(shuō)法是否正確：
(1) 一個(gè)數(shù)同時(shí)能被3與7整除辕近，它一定能被21整除韵吨。
(2)一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與9整除，它一定能被54整除移宅。

定義7.3 是整數(shù)且归粉，如果存在整數(shù)，滿足且漏峰，則稱為除以的余數(shù)糠悼，記作。其中為商浅乔。
根據(jù)以上定義倔喂，求：
(1)
(2)
(3)

題7.4 證明：
(1) 3個(gè)除以5余3的整數(shù)相乘，其積除以5余2靖苇。
(2) 一個(gè)整數(shù)的平方席噩，除以4不能余2匣吊。
證明 (1) 設(shè)這三個(gè)數(shù)為括荡，根據(jù)題意，存在综看，滿足：

所以脾拆，
所以馒索，
(2) 討論奇偶性：(a) 如果此數(shù)為偶數(shù)莹妒，它的平方被4除余0；(b)如果此數(shù)是奇數(shù)绰上，它的平方被4除余1旨怠。綜上，任意的整數(shù)的平方被4除不余2渔期。

定理7.5 运吓，那么對(duì)于任意的整數(shù)，有
證明 因?yàn)? 疯趟，所以存在滿足：

所以
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=mk_1%2Bnk_2%5Cin%20%5Cmathbb%20Z" alt="mk_1+nk_2\in \mathbb Z" mathimg="1">拘哨，所以

題7.6 對(duì)于任意的整數(shù)，若信峻，那么倦青。
證明 以下使用反證法：
假設(shè)命題不成立，則是奇數(shù)盹舞，即存在整數(shù)产镐，使，所以：

可見踢步，與條件矛盾癣亚。所以假設(shè)不成立，命題成立获印。

題7.7 述雾，證明：
(1)
(2) 是平方數(shù)。
證明 (1) 中兼丰，必有一個(gè)偶數(shù)玻孟，所以2|n(n+1)(n+2);
中，必有一個(gè)是3的倍數(shù)鳍征，所以3|n(n+1)(n+2)黍翎。
綜上，艳丛。

(2)

評(píng)注7.8 題7.7(2)的思路如下：
令匣掸，可以驗(yàn)證：

所以，氮双，所以：

題7.9 (1) 1000之內(nèi)旺聚，能被3整除的正整數(shù)有多少個(gè)?
(2) 2022之內(nèi)的正整數(shù)中，既是8的倍數(shù)眶蕉，又是18的正倍數(shù)有多少個(gè)砰粹？
(3) 2022之內(nèi)的正整數(shù)中，3的倍數(shù)、8的倍數(shù)碱璃、18的倍數(shù)共有多少個(gè)弄痹？
解 (1) ，所以1000之內(nèi)嵌器，能被3整除的正整數(shù)有333個(gè)肛真。
(2) ，且爽航，所以它們共同的倍數(shù)有28個(gè)蚓让。
(3) 根據(jù)容斥原理計(jì)算：

所以，滿足條件的整數(shù)有個(gè)讥珍。

題7.10 9000的所有因數(shù)有_________個(gè)历极，它們的和是___________
解 ，所以衷佃，它的因數(shù)有個(gè)趟卸，其和為

定理7.11 整除有如下性質(zhì)：
(1)
(2)
解 (1) 由條件得，存在整數(shù)氏义，滿足锄列，所以，所以惯悠。
(2) 由條件得邻邮，存在整數(shù)，滿足克婶，所以
所以

定義7.12 記是的最大公約數(shù)筒严，是的最小公倍數(shù)。
(30,45)=_____,[30,45]=_____,=_____,=_____

定義7.13 如果的最大公約數(shù)是1鸠补，那么稱為互質(zhì)數(shù)萝风。

定理7.14
(1) 嘀掸，則自然數(shù)是的公約數(shù)紫岩，當(dāng)且僅當(dāng)
(2) ，則自然數(shù)是的公倍數(shù)睬塌，當(dāng)且僅當(dāng)

定理7.15 是整數(shù)泉蝌，當(dāng)且僅當(dāng)
證明 (1)先證必要性：假設(shè)命題不成立揩晴，則設(shè)。則存在硫兰，滿足
即得，所以矛盾劫映。所以假設(shè)不成立违孝，命題成立刹前。
(2) 再證充分性：假設(shè)命題不成立，則存在比大的公約數(shù)雌桑，其中喇喉。此時(shí)又有滿足：
于是：矛盾校坑。所以假設(shè)不成立拣技，命題成立。

定理7.16 是整數(shù)耍目，當(dāng)且僅當(dāng)
證明 (1)先證必要性：假設(shè)命題不成立膏斤，設(shè)
于是存在，滿足：
令制妄，則掸绞，即是的公倍數(shù)且小于，矛盾耕捞。所以假設(shè)不成立衔掸，命題成立。
(2)再證充分性：假設(shè)命題不成立俺抽，則令敞映，則存在
另，所以磷斧，于是：矛盾振愿。所以假設(shè)不成立，命題成立弛饭。

定理7.17
證明 設(shè)冕末，則存在整數(shù)，滿足
所以
另外侣颂，令档桃，則 ，所以
根據(jù)定理7.16得憔晒，再由(7.17.1)得藻肄。

推論 互素，

題7.18 求以下各數(shù)的所有因數(shù)：
(1) 的所有因數(shù)：________________________
(2) 的所有因數(shù)：________________________
(3) 的所有因數(shù)：________________________
(4) 的所有因數(shù)：________________________
解 (3) 因?yàn)?,19都是因數(shù)拒担，所以的所有因數(shù)是下式展開后不合并的各項(xiàng)：
所以嘹屯，其因數(shù)有：

題7.19 求以下各組數(shù)的所有公因數(shù)：
(1) 的所有公因數(shù)：________________________
(2) 的所有公因數(shù)：________________________
(3) 的所有公因數(shù)：________________________

定理7.20 是自然數(shù)，从撼，且州弟，那么.
定理7.21 是自然數(shù)，，且婆翔，那么.