半純函數(shù)的留數(shù)給出了復(fù)平面周線的同構(gòu)類劃分六孵，把極點(diǎn)視為錨點(diǎn)，圍繞極點(diǎn)畫閉曲線幅骄， 通過(guò)周線積分獲得等價(jià)類的不變量劫窒。
這一套流程就是幾何形的不變量分解，有意思的地方在于昌执，幾何形依賴于函數(shù)誘導(dǎo)的空間烛亦，可以看做解析流形，不過(guò)這里是半純函數(shù)懂拾，或許應(yīng)該稱為半純流形煤禽，所謂的解析流形，意味著每點(diǎn)全純同構(gòu)于n維復(fù)空間岖赋，這就是多復(fù)變函數(shù)理論的內(nèi)容檬果。最后歸結(jié)為復(fù)幾何與復(fù)代數(shù)幾何。
解析函數(shù)零點(diǎn)與半純函數(shù)極點(diǎn)本身就很難區(qū)分唐断，他們相差一個(gè)函數(shù)反演选脊，1/f(z)，這種對(duì)偶性帶來(lái)了很多有趣的性質(zhì)脸甘，半純函數(shù)的全純部分可以給出空間的平凡結(jié)構(gòu)恳啥，而全純反演部分給出了局部性質(zhì)，整體平凡而局部奇異丹诀，但是钝的，這與光滑流形不一樣，光滑流形可以實(shí)現(xiàn)任意局部拼接铆遭，就像幾張紙片通過(guò)膠帶可以流暢的拼在一起硝桩，而全純則是特定的曲面組合起來(lái)，不具備任意性枚荣，每一個(gè)局部都會(huì)影響整體碗脊。
就像多項(xiàng)式一樣，給定了多項(xiàng)式的零點(diǎn)集橄妆，多項(xiàng)式就已經(jīng)被表示出來(lái)了衙伶，頂多相差一個(gè)常數(shù)倍祈坠，選定首一多項(xiàng)式就是唯一的。
多項(xiàng)式是特殊的全純函數(shù)矢劲，一般的全純函數(shù)是對(duì)零點(diǎn)集個(gè)數(shù)的推廣颁虐，從有限推廣到可數(shù)無(wú)窮。獲得無(wú)窮乘積展開卧须，其實(shí)就是零點(diǎn)展開。
留數(shù)定理的主要用意就是分類儒陨，通過(guò)極點(diǎn)分類區(qū)域花嘶，但是，不同極點(diǎn)可以獲得同樣的值就說(shuō)明分類不完全蹦漠。
其實(shí)完全可以定義一種周線代數(shù)椭员，將周線等價(jià)類看做元素，周線留數(shù)為元素的值笛园，那么對(duì)周線的運(yùn)算等價(jià)于對(duì)數(shù)值的運(yùn)算隘击，由此，獲得積分定義函數(shù)的概念研铆，這也是特殊函數(shù)論的重要組成部分埋同。特殊函數(shù)的積分定義。
積分定義函數(shù)很奇異棵红，因?yàn)楦杏X上是離散的凶赁，因?yàn)槎际屈c(diǎn)的求和，但是逆甜，實(shí)際上卻是連續(xù)的虱肄，因?yàn)闊o(wú)窮個(gè)點(diǎn)的求和可以收斂到任意值，所謂的實(shí)數(shù)交煞，復(fù)數(shù)的完備性咏窿，使用有理點(diǎn)就可以構(gòu)造逼近任意實(shí)數(shù)的序列。因此素征，這一部分也是很有意思的集嵌。
積分定義函數(shù)還有其他類型，變上限實(shí)值函數(shù)稚茅，這就與周線無(wú)關(guān)了纸淮，畢竟這樣的函數(shù)本身就有無(wú)窮小單位，選取足夠接近的自變量亚享，就有足夠接近的函數(shù)值咽块，也可以視為離散值域與連續(xù)值域的區(qū)別。
積分定義函數(shù)欺税，是對(duì)既有函數(shù)的劃分與累積侈沪，劃分取決于定義域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)揭璃，累積決定了函數(shù)的局部性質(zhì)，是測(cè)度與賦值的關(guān)系亭罪。由此而觀瘦馍，是一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)值層的加性理論。
自然的应役，如果數(shù)值層結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單情组，函數(shù)性質(zhì)也簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單意味著可取數(shù)值少箩祥，只有有限個(gè)數(shù)值院崇，就是周線積分與留數(shù)定理，有可數(shù)個(gè)數(shù)值就是變限積分與完備性袍祖。無(wú)限化有限底瓣，就是對(duì)定義域網(wǎng)格化，誘導(dǎo)數(shù)值層的網(wǎng)格化蕉陋。通常的積分就不太行捐凭，可以使用泛函積分，每一個(gè)局部微調(diào)凳鬓，獲得完全不同的積分函數(shù)茁肠，有點(diǎn)意思，說(shuō)不定卷積理論可以由此而理解村视。卷積核為權(quán)官套，獲得的積分定義函數(shù)。
那么如果想要完全理解積分函數(shù)蚁孔，就必須窮舉所有的可能性奶赔，又歸結(jié)為長(zhǎng)序列的規(guī)律性問(wèn)題，空間上的函數(shù)性質(zhì)杠氢。結(jié)果站刑，還是函數(shù)圖像，繞了一大圈鼻百，又回來(lái)了绞旅。
只不過(guò)，此時(shí)的函數(shù)圖像代表了函數(shù)的空間性質(zhì)温艇，需要仔細(xì)區(qū)分重復(fù)因悲，落差，整體勺爱，局部晃琳，順序，高低，提取出幾種基本模式卫旱，然后定義出對(duì)應(yīng)的函數(shù)等價(jià)類人灼，就能完全理解函數(shù)擬合理論的奧秘了。
