高等數(shù)學(xué)(二)導(dǎo)數(shù)與微分

（一）導(dǎo)數(shù)與微分的概念

1、導(dǎo)數(shù)的概念

定義1
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$
定義2
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x_{0} \rightarrow 0} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$
定理1 可導(dǎo)?左右導(dǎo)數(shù)存在且相等

2盾鳞、微分的概念

定義3 若當(dāng)△x→0時
$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) \Rightarrow \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$
可寫成上面的形式犬性，則稱f(x)在點x₀處可微，稱A△x為微分腾仅，記作 $d y=A \Delta x$

定理2 函數(shù)y=f(x)在點₀處可微的充分必要條件為y=f(x)在點x₀處可導(dǎo)乒裆，且有 $d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x$

3、導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f'(x₀)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x₀,f(x₀))處切線的斜率
微分的幾何意義：微分 $d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$ 在幾何上表示曲線y=f(x)的切線上的增量

4推励、連續(xù)鹤耍，可導(dǎo)，可微的關(guān)系

可導(dǎo)→連續(xù)
可導(dǎo)?可微
可微→連續(xù)

f(x)在x₀處可導(dǎo)→f(x)在x₀處連續(xù)（對）
f(x)在x₀處可導(dǎo)→f'(x)在x₀處連續(xù)（錯）
f(x)在x₀處可導(dǎo)→ $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在（錯）

f(x)n階可導(dǎo)→洛必達法則用到n-1階導(dǎo)數(shù)
f(x)n階連續(xù)可導(dǎo)→洛必達法則用到n階導(dǎo)數(shù)

（二）導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則

1验辞、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

只列舉出幾個

$\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a$
$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a}$
$(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$
$(\tan \theta)^{\prime}=\sec ^{2} \theta$
$(\cot \theta)^{\prime}=-\csc ^{2} \theta$
$(\sec \theta)^{\prime}=\sec \theta \tan \theta$
$(\csc \theta)^{\prime}=-\csc \theta \cot \theta$
$(\arccos \theta)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}$
$(\arcsin \theta)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}$
$(\arctan \theta)^{\prime}=\frac{1}{1+\theta^{2}}$
$(\operatorname{arccot} \theta)^{\prime}=-\frac{1}{1+\theta^{2}}$

2稿黄、求導(dǎo)法則

有理運算法則
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法
隱函數(shù)求導(dǎo)法
反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
若y=f(x)可導(dǎo)，且f'(x)≠0跌造，則其反函數(shù)x=φ(y)也可導(dǎo)杆怕，且 $\varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$
參數(shù)方程求導(dǎo)法
設(shè)y=y(x)是由 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\Phi(t)\end{array}\right.$ 確定的函數(shù)，若 $\varphi(t) \Phi(t)$ 都可導(dǎo)壳贪，則 $\frac{d y}{d x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(\mathrm{t})}$
對數(shù)求導(dǎo)法

（三）高階導(dǎo)數(shù)

1陵珍、定義

$y^{(n)}=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}$
若函數(shù)f(x)在x處n階可導(dǎo)，則在點x的某領(lǐng)域內(nèi)f(x)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)

2违施、常用的高階導(dǎo)數(shù)公式

$(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)$
$(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)$
$(\mu v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} v^{(n-k)}$

3互纯、相關(guān)變化率

求解方法：

建立相關(guān)率與變量之間的關(guān)系
方程兩邊同時對t求導(dǎo)

最后編輯于：2021.08.14 14:54:14

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