圓周運動by 胡庭碩

圓周運動的“角量度”描述

可能用到的符號

$\omega$ 、 $\alpha$ 波岛、 $\beta$
對應(yīng)代碼

$\omega$茅坛、$\alpha$、$\beta$

知識點

1.圓周運動可用標量，不需要用矢量

給定一個圓心贡蓖，只有順時針轉(zhuǎn)動和逆時針轉(zhuǎn)動之分
可用正負來標記轉(zhuǎn)動方向（即規(guī)定順時針轉(zhuǎn)動為“-”曹鸠，逆時針轉(zhuǎn)動為“+”）

2.位置： $\theta$

約定逆時針轉(zhuǎn)動為正，且起點為參考軸正方向（x軸的正方向）
- 請思考斥铺， $\theta=\pi$ 代表運動到哪里了彻桃？
- 若 $\theta=-\frac{\pi}{3}$ ,運動到了哪里？
- $\theta=\frac{4}{3}\pi$ 與 $\theta =-\frac{2}{3}\pi$ 是表示不同的位置嗎晾蜘？
- $\theta=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$ 表達的是什么樣的運動邻眷？

解：1.x軸負半軸
2.x正半軸與第四象限夾角 $\theta=-\frac{\pi}{3}$ 3.一樣
4. $\theta=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$ 表示初始位置在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ,以角速度 $\omega=\frac{\pi}{10}$ （逆時針方向）運動的勻速圓周運動。

3.角速度: $\omega$

角速度即為轉(zhuǎn)速剔交，表征轉(zhuǎn)動的快慢肆饶。
比較：
- $\theta(t_1)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
- $\theta(t_2)=\frac{\pi}{9}t+\frac{\pi}{2}$
  $\theta(t_1)$ , $\theta(t_2)$ 表示的兩物體的轉(zhuǎn)動初始位置相同，而角速度即為自變量 $t$ 前的系數(shù)岖常，故從
  直觀角度上來看驯镊， $\theta(t_1)$ 相對 $\theta(t_2)$ 轉(zhuǎn)動得要慢一些。
角速度表達式 $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ (即 $\omega$ 為 $\theta$ 對時間 $t$ 的一階導數(shù))
4.角加速度: $\alpha$ (or $\beta$ )
表征角速度變化的快慢
- $\theta(t_1)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
- $\theta(t_2)=\frac{\pi}{9}t^2+\frac{\pi}{2}$
解：角加速度 $\alpha$ 為 $角速度\omega$ 對時間 $t$ 的一階導數(shù)
$\omega(t_1)=\frac{\pi}{10}$ $\omega(t_2)=\frac{\pi}{9}t$
$\alpha(t_1)=0$ $\alpha=\frac{\pi}{9}$
由此可見竭鞍， $\theta(t_1)$ 在做角速度恒定的圓周運動（即勻速圓周運動）阿宅， $\theta(t_2)$ 在做角速
度不斷增大的圓周運動（即越轉(zhuǎn)越快）
角加速度表達式 $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ (即 $\alpha$ 為 $\omega$ 對時間 $t$ 的一階導數(shù),為 $\theta$ 對時間 $t$ 的二階導數(shù))

例題：

請用以上工具分析圓周運動： $\theta(t)=4t^2+4t-\frac{\pi}{3}$ .
$\theta_0=-\frac{\pi}{3}$
$\omega(t)=8t+4$
$\alpha(t)=8$
所以，物體的初始運動位置在 $\theta_0=-\frac{\pi}{3}$ 處笼蛛，以初始角速度 $\omega_0=4$ （逆時針），角加速
度 $\alpha=8$ 做圓周運動蛉鹿。

習題：

請寫出一個圓周運動滨砍，使得它：初始位置在 $\frac{\pi}{3}$ ,初始角速度為 $10$ (逆時針)，角加速度為 $2$ (逆時針)(順時針)妖异。

解：
$\theta_0=\frac{\pi}{3}$
$\omega(t)=2t+10$
$\alpha(t)=2$ （ $\alpha(t)=-2$ ）
則 $\theta(t)=t^2+10t+\frac{\pi}{3}$ （ $\theta(t)=-t^2+10t+\frac{\pi}{3}$ ）

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