第一章樣本空間與概率

概率模型

每一個(gè)概率模型都關(guān)聯(lián)著一個(gè)試驗(yàn)规哪，這個(gè)試驗(yàn)將產(chǎn)生一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果禁荸，該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果形成樣本空間萍程。其中某些試驗(yàn)結(jié)果的集合被稱為事件艺糜。

概率模型包括了離散模型和連續(xù)模型剧董。

概率律

在概率模型中確定了某些結(jié)果或某些結(jié)果的集合（事件）的似然程度。

概率三公理

非負(fù)性
可加性
歸一化

概率律的性質(zhì)

a. 若 $A \subset B$ , 則 $P(A)\leq P(B)$
b. $P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(A\bigcap B)$
c. $P(A\bigcup B) \leq P(A) + P(B)$
d. $P(A\bigcup B \bigcup C) = P(A) + P(A^c \bigcap B) + P(A^C \bigcap B^C \bigcap C)$

條件概率

$P（A|B）=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}$
條件概率是一個(gè)概率律破停，因此也滿足概率三公理送滞。

全概率定理

設(shè) $A_1, A_2, \dots,A_n$ 是一組互不相容的事件，形成樣本空間的一個(gè)分割（每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果必定使得其中一個(gè)事件發(fā)生）辱挥。又假定對(duì)每一個(gè) $i$ , $P(A_i)>0$ .則下列公式成立
$\begin{align} P(B) = P(A_1\bigcap B)+\dots+P(A_n\bigcap B) = P(A_1)P(B|A_1)+\dots+P(A_n)P(B|A_n) \end{align}$

貝葉斯準(zhǔn)則

設(shè) $A_1, A_2, \dots,A_n$ 是一組互不相容的事件犁嗅，形成樣本空間的一個(gè)分割（每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果必定使得其中一個(gè)事件發(fā)生）。又假定對(duì)每一個(gè) $i$ , $P(A_i)>0$ .則對(duì)于任何事件 $B$ , 只要它滿足 $P(B) > 0$ , 下列公式成立
$\begin{align} P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+\dots+P(A_n)P(B|A_n)} \end{align}$

獨(dú)立性

$P(A\bigcap B）= P(A)P(B)$
若兩個(gè)事件互不相容晤碘，就可以判定它們互相獨(dú)立褂微。若事件A和事件B互相獨(dú)立，那么B發(fā)生园爷，不會(huì)對(duì)A發(fā)生與否提供任何信息宠蚂。

條件獨(dú)立

計(jì)數(shù)法

n個(gè)對(duì)象的排列： $n!$
n個(gè)對(duì)象中取k個(gè)對(duì)象的排列數(shù)： $\frac{n!}{(n-k)!}$
n個(gè)對(duì)象中取k個(gè)對(duì)象的組合數(shù)： $\tbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
n個(gè)對(duì)象分成r個(gè)組的分割數(shù)童社，其中第i個(gè)組具有 $n_i$ 個(gè)對(duì)象： $\tbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_r!}$

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