行列式
范德蒙行列式的應(yīng)用
(北京郵電大學(xué),2022)計算
階行列式
solution
利用加邊法及拆分法,并結(jié)合范德蒙行列式可知
(南開大學(xué),2022)計算行列式
solution
將原行列式按照第一行拆分為兩個行列式,結(jié)合范德蒙行列式可得
(南昌大學(xué),2022)計算行列式
solution
記行列式為,先將
加邊為
階行列式,然后將第1行的
倍加到第
行,再將第
行提出
,最后將后
列倒排,結(jié)合范德蒙行列,有
代數(shù)余子式
(中南大學(xué),2022)設(shè)4階方陣
的第2列元素為
,其行列式
的第2列的代數(shù)余子式為
,第4列元素的代數(shù)余子式依次為
,且
,求
的值.
solution
根據(jù)行列式的性質(zhì),有
解得 .
(武漢大學(xué),2022)已知
階行列式
且滿足為任意常數(shù),求下列行列式
solution
為了方便,記 ,由
可知
,兩邊取行列式可得
,若
為奇數(shù),則
,這與
矛盾,所以
為偶數(shù),進(jìn)而
的伴隨矩陣
滿足
由此可知 ,從而
現(xiàn)將 拆為
個行列式之和,其中每個行列式的第
行元素要么都為
,要么為
,這
個行列式可以 分為三類: 第一類是每行都不為
的行列式,這樣的行列式只有一個,即
; 第二類是至少有兩行均為
的行列式,顯然這一類行列式的值均為零; 第三類是只有一行元素為
的行列式,若
在第
行,則按照第
行展開可知行列式為
,所以這一類行列式之和為
.即
(重慶大學(xué),2022)設(shè)有行列式
求.
solution
根據(jù)行列式展開的性質(zhì),有
(北京交通大學(xué),2022)設(shè)
為行列式
中元素
的代數(shù)余子式,且
,又
,求
.
solution
由 可知
,取行列式可得
所以 或
,若
,有
,若
,則
的二階子式均為零,于是
,即
,所以
,這與
矛盾.若
,根據(jù)
可知
的列向量均為方程組
的解,所以
的列向量可以由
的基礎(chǔ)解系線性表出,而
說明
的基礎(chǔ)解 系中只含有一個向量,從而
,這與
矛盾.所以只能是
.
note
因為沒有已知 A 為實矩陣,所以通過
并不能得到 |A|>0.上述解答本質(zhì)上是用了關(guān)于伴隨矩陣秩的結(jié)論,即如下命題: 已知 是一個
級方陣,則