量子光學(xué)入門4-電磁場的量子態(tài)

前面把電磁場的物理量用算符描述诗良，現(xiàn)在考慮把電磁場的狀態(tài)用態(tài)矢量來描述汹桦。也就是說，用某個態(tài)矢量能夠代表某個場的狀態(tài)鉴裹，?電磁場在這個態(tài)的平均值則可以表示為算符在態(tài)矢量的平均值舞骆。

一、單模場的量子態(tài)

1 光子數(shù)態(tài)(下面在一維情況下討論径荔，如果是三維 $a^+a$ 是矢量)

1.1 單模電磁場的只有一個頻率分量有貢獻督禽，哈密頓量為

$H=\hbar\omega (a^+a+\frac{1}{2})=\hbar\omega (n+\frac{1}{2})$

由于H與n對易，它們有共同的本征態(tài)总处，能夠同時具有確定的值狈惫。

由于

$[a,a^+]=1$

可以推出算符n的本征方程為

$n |n>=n|n>$ , n=0,1,2,...

哈密頓量在該態(tài)中的本征值為

$\hbar \omega (n+\frac{1}{2})$

由于一個光子的能量為 $\hbar \omega$ , 于是該態(tài)中可以看做含有n個光子（加上零點能），于是把n成為光子數(shù)算符鹦马，|n>成為光子數(shù)態(tài)虱岂，在該態(tài)中電磁場具有確定的能量玖院。

由于 $a,a^+$ 滿足下列關(guān)系

$a|n>=\sqrt{n} |n-1>$

$a^+|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$

$|n>=\frac{(a^+)^n}{\sqrt{n!}}|0>$

有前面n賦予的光子數(shù)的含義，這里的 $a,a^+$ 賦予其光子湮滅算符和光子產(chǎn)生算符的含義第岖。

假設(shè)存在某個電磁場的狀態(tài)就是光子數(shù)態(tài)|n>难菌，那么在該態(tài)中的電磁場的平均值為

$<E>==0$

$<E^2>==2(E^s)^2\sin^2(kz)(n+\frac{1}{2})$

也就是說，如果真實世界存在這個態(tài)蔑滓，那么這個態(tài)的電場是一種均值為0郊酒，對于這個我是這么理解的，光子數(shù)態(tài)并不是電場算符的本征態(tài)键袱，那么如果將光子數(shù)態(tài)用電場算符的本征值展開的話燎窘，展開系數(shù)的模方表示電場在這個態(tài)下取某個值的概率，如果此時畫出其概率分布曲線蹄咖，那么將是一種偶函數(shù)的分布褐健。這種正負對稱分布使得電場均值為0。不過對于真空態(tài)澜汤，方差不為0蚜迅，此時的漲落成為真空漲落。

光子數(shù)態(tài)隨時間演化

$|n(t)>=e^{-\frac{i}{\hbar}H}|n>=e^{-\frac{i}{\hbar}E_n}|n>$

此時光子數(shù)態(tài)只是多了個無關(guān)緊要的相位因子俊抵，也就是還是處于這個態(tài)谁不。

1.2 電磁場正交分量算符

由于算符a對應(yīng)一個展開系數(shù)，往往是一個復(fù)數(shù)徽诲，引入它的實部和虛部刹帕。

$X_1=\frac{1}{2}(a+a^+)$

$X_2=\frac{1}{2i}(a-a^+)$

（用這個算符描述電磁場和 $a,a^+$ 沒有什么差異，不過此時 $X_1,X_2$ 為實數(shù)谎替，用起來挺方便）

$H=\hbar\omega (X_1^2+X_2^2)$ ?(能否定義算符 $X^2_1+X_2^2$ 偷溺，此時用這個算符表示光子數(shù)，那么將消去零點能)

$E(z,t)=2E^s\sin(kz)[X_1\cos(\omega t)+X_2 \sin(\omega t) ]$

可以看出钱贯，不過是將傅里葉級數(shù)的表示形式換了一種挫掏，這時候需要用這兩個展開系數(shù)來表示電磁場。

$[X_1,X_2]=\frac{i}{2}$ ,兩個分量不對易說明兩個分量不能同時具有確定的值（這說明了電場在任意態(tài)都不能具有確定值嗎喷舀？）

在光子數(shù)態(tài)中

$<X_1>==0$ ，（電場E的均值都為0了淋肾，兩個分量也應(yīng)該為0）

$V(X_1)=V(X_2)=\frac{1}{4}(2n+1)$ ?

真空態(tài)中是正交分量的最小不確定度態(tài)硫麻。

$\Delta X_1=\frac{1}{2}$ , $\Delta X_2=\frac{1}{2}$ , $\Delta X_1\Delta X_2=\frac{1}{4}$ ，（真空態(tài)中電場兩分量的分布最集中樊卓，此時的電場也有比較確定的值拿愧？）

2 相干態(tài)

——相干態(tài)是最接近經(jīng)典的一個態(tài)，電磁場算符碌尔，坐標(biāo)動量算符滿足最小不確定度關(guān)系浇辜。當(dāng)α模趨于∞時券敌，電磁場相對不確定度為0，光子數(shù)相對不確定度(振幅)和相位不確定度為0柳洋，趨于經(jīng)典待诅。

1.1 相干態(tài)是光子湮滅算符的本征態(tài)

$a|\alpha >=\alpha |\alpha >$

相干態(tài)可以通過真空態(tài)平移產(chǎn)生

$D(\alpha )=e^{\alpha a^+-\alpha ^*a}$ ?（由于 $D(\alpha )|\beta>=e^{iIm(\alpha \beta ^*)}|\alpha +\beta >$ ,所以稱為平移算符）

$|\alpha >=D(\alpha )|0>$ ?（真空態(tài)既是光子數(shù)算符的基態(tài)，也是湮滅算符的本征態(tài)）

相干態(tài)的平均光子數(shù)熊镣，光子數(shù)方差卑雁，光子數(shù)分布

$V(n)=\bar{n}=|\alpha|^2$

$p_n=e^{-\bar{n}}\frac{\bar{n}^n}{n!}$ ?（泊松分布，此時Mandel Q參數(shù)為0）

相干態(tài)在光子數(shù)態(tài)展開

$|\alpha >=e^{-\frac{1}2|\alpha |^2}\sum_n \frac{\alpha ^n}{\sqrt{n!}}|n>$

相干態(tài)是超完備（不正交绪囱，對角元含有更多的信息）的

$\frac{1}{\pi}\int d^2\alpha |\alpha >?（其中<img class=$ 表示在復(fù)數(shù)平面做面積分测蹲，等于 $rdrd\theta$ 或 $dxdy$ ）

1.2 相干態(tài)中電磁場正交分量

$<X_1>=\frac{1}{2}（\alpha +\alpha ^*）$

$<X_2>=\frac{1}{2i}（\alpha- \alpha ^*）$ ?（可見正交分量在相干態(tài)中的平均值為其實部和虛部，電磁場處在某個正交分量為X1鬼吵，X2的態(tài)扣甲，可以說處于實部為X1，虛部為X2的相干態(tài)齿椅？）

$\Delta X_1=\frac{1}2$ , $\Delta X_2=\frac{1}2$ ?,? $\Delta X_1\Delta X_2=\frac{1}4$ ?(相干態(tài)的漲落跟真空態(tài)一樣)

相干態(tài)中電場的平均值

$<E(z,t)>=2E^s\sin(kz)|\alpha |\cos(\omega t+\varphi )$ ?（其中 $\varphi$ 是 $\alpha$ 的相位角琉挖，可以看出，在相干態(tài)中測出電場的振動跟經(jīng)典情況下十分類似媒咳，所以從這個方面說相干態(tài)是最接近經(jīng)典場的一種狀態(tài)粹排。相干態(tài) $\alpha$ 看做電場的復(fù)振幅，其模表示電場強度涩澡，其相位表示電場振動的初相顽耳。那么 $\sqrt{<X_1>^2+^2}$ ?表示電場的振幅平均， $\arctan(\frac{<X_1>}{})$ 表示電場的相位角平均妙同，漲落圓中中心點表示所處的相干態(tài)）

相干態(tài)中電場的方差為

$V(E(z,t))=(E^s)^2\sin ^2(kz)$ （為恒定的常數(shù)射富，跟真空態(tài)的漲落是一樣的）

1.3 其他討論

處于相干態(tài)時的哈密頓量為

$|\alpha (t)>=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}|\alpha >=e^{-\frac{i}{2}\omega }e^{-i\omega a^+a }|\alpha >=?$

3 壓縮態(tài)

——壓縮態(tài)是一種正交分量的最小不確定度態(tài)，但是其分量可以小于真空態(tài)或相干態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)偏差粥帚。

1.1 壓縮態(tài)的定義

$|\xi >=S(\xi)|0>$ ?（為算符 $(\mu a+\nu a^+)$ 的本征態(tài)）

$S(\xi)=e^{\frac{1}2(\xi^*a^2-\xi(a^+)^2)}$ ?（為壓縮算符胰耗，參量 $\xi=re^{i\theta }$ 為壓縮參量，r為壓縮幅芒涡， $\theta$ 為壓縮角）

壓縮態(tài)平均光子數(shù)柴灯，光子數(shù)方差，光子數(shù)分布

$\bar{n}=\sinh^2r=|\nu|^2$ ?（ $\nu =e^{i\theta }\sinh r$ ）

$V(n)=2\sinh^2r\cosh^2r=2|\nu|^2 \mu ^2=2\bar{n}(1+\bar{n})$ ?（為超泊松分布费尽，非經(jīng)典分布赠群，只能探測到偶數(shù)個光子就很非經(jīng)典了）

$|\xi>=\frac{1}{\sqrt{\mu }}\sum_m(\frac{-\nu }{2\mu })^m\frac{\sqrt{(2m!)}}{m!}|2m>$ ?（壓縮態(tài)中只能探測到偶數(shù)個光子）

$p_{2m}=\frac{1}{\mu }(\frac{|\nu| }{2\mu })^{2m}\frac{(2m)!}{m!}^2$ ?（光子概率分布）

正交算符的平均值和方差

$<X_1>==0$ ?（反映出電場在這種態(tài)下平均值為0）

$V（X_1）=\frac{1}{4}(2\sinh^2r+1-2\sinh r\cosh r\cos\theta )$

$V（X_2）=\frac{1}{4}(2\sinh^2r+1+2\sinh r\cosh r\cos\theta )$

$\Delta (X_1)\Delta (X_2)=\frac{1}{4}$ ?？（可見壓縮態(tài)仍是最小不確定度態(tài)）

當(dāng) $\theta =0,\pi$ 時旱幼，分別對應(yīng) $X_1,X_2$ 方向壓縮查描， $X_2,X_1$ 展寬，幅度為 $e^{\pm r}$ 。

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