第14講：庫倫定理

靜電場庫倫定律

知識點

電場和電勢分別描述的什么型雳？

電場是單位電荷在某個位置所受到的力，是矢量。
電勢是單位電荷在某個位置的能量大小纠俭，是標(biāo)量沿量。

電量為Q的點電荷(場源電荷)，在距離它為 $r$ 的場點產(chǎn)生的電場（場強）和電勢分別為冤荆？

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^3}\vec{r}$
$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r}$

電場和電勢遵守何種疊加原理朴则？

電場：矢量疊加
電勢：標(biāo)量疊加

表達(dá)題

電量分別為 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的點電荷(場源電荷)，相距為 $d=2r=2?$ 钓简，則其連線中點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

解答： $E_1=\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_1}{r^2}$ , $E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_2}{r^2}$
$E_總=E_1-E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon}$
$U_總=U_1+U_2=\frac{3}{4\pi\epsilon}$

電量分別為 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四個點電荷乌妒，分別位于正方形(邊長 $d=\sqrt{2}$ )的四個頂點上。則其中心點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

$E=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{Q_1}{R^2}$ , $R=1$
$E=\frac{\sqrt{2}}{2\pi\epsilon}$
$U=0$

圖片發(fā)自簡書App

電量分別為 $Q_{1}=Q_{3}=1$ 和 $Q_{2}=Q_{4}=-1$ 的四個點電荷外邓，分別位于正方形(邊長 $d=\sqrt{2}$ )的四個頂點上撤蚊。則其中心點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

$E=0$ (根據(jù)對稱可知）
$U=0$

一個電量為 $dq$ 的點電荷，在距離它為 $r$ 的場點產(chǎn)生的電場和電勢為

解答： $dE=\frac{1}{4\pi\epsilon}\times\frac{dq}{r^2}$
$dU=\frac{1}{4\pi\epsilon}\times\frac{dq}{r}$

均勻帶電的圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的場強和電勢分別為()

解答：
$E=0$
$U=\int dU=\int\frac{1}{4\pi\epsilon}\cdot\frac{dq}{R}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r}$

物理強調(diào)建模损话。如圖侦啸，求均勻帶電的細(xì)棒在場點P處的電場和電勢，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段席镀，則微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為(已知電荷密度 $\lambda$ )

解答： $dq=\lambda dx$
$r=\frac{a}{\sin\theta}$

如圖匹中，求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)在場點O處的電場和電勢夏漱，經(jīng)常把微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段豪诲，則公式中的 $dq$ 為

解答： $dq=\frac{Q}{\pi} d\theta$

積分法求場強，經(jīng)常需要定性分析合場強的方向挂绰。如圖屎篱，均勻“帶負(fù)電”的細(xì)棒在場點 $M$ 點和 $N$ 點的電場方向分別為

解答：M點的電場水平向右，N點的電場水平向左

如圖葵蒂，均勻帶異號電的半圓細(xì)環(huán)在圓心O點的電場方向為

圖片發(fā)自簡書App

解答：水平向左

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電場 $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考慮帶電體的對稱性交播，分析出合場的方向，記為 $\vec{e}$ 践付；
(b)取合適的電荷微元 $dq$ 秦士，找到該微元到場點的距離 $r$ ，
(c) 借助點電荷公式永高，寫出微元在場點產(chǎn)生的電場大小 $dE$ 隧土，進而寫出 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 。
(d)計算定積分命爬。

現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在場點P處的電場曹傀，讓我們按照以上四個步驟研究該問題。

第一步饲宛，定性分析出該場點合場強的方向皆愉，可能的結(jié)果為

(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$

第二步以中點為原點建立坐標(biāo)軸。微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 幕庐， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 久锥， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$

第三步分析該微元的場強 $dE$ ，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影异剥，可能的結(jié)果為

(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$

第四步奴拦，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計算定積分届吁，有如下列法

(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$

則正確的方程組是( )

解答：(1) (3）（5）（7）

現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電場错妖，讓我們按照以上四個步驟研究該問題。
第一步疚沐，定性分析出該場點合場強的方向暂氯，可能的結(jié)果為

解答：水平向右

第二步，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧亮蛔，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{Q}{\pi}d\theta,r=R$

第三步分析該微元的場強 $dE$ 痴施，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的結(jié)果為

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{r^2}\cos\theta d\theta$

第四步究流，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中辣吃，計算定積分，有如下列法

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\frac{Q}{\pi}}{R^2}\cos\theta d\theta$

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單芬探，因為電勢是標(biāo)量疊加原理神得。其基本思路是，

(a)取合適的電荷微元 $dq$ 偷仿，找到該微元到場點的距離 $r$ 哩簿，
(b)借助點電荷公式，寫出微元在場點產(chǎn)生的電勢 $dV$ 酝静，
(c)計算定積分节榜。
現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電勢
第一步，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧别智。則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ 宗苍， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ 薄榛，可能的結(jié)果為
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步讳窟，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計算定積分蛇数，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$ <br則正確的方程組是( )

解答：（1）（3）（5）

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單挪钓，因為電勢是標(biāo)量疊加原理。現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 處的電勢耳舅。
第一步碌上，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段圓弧倚评，則 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{dx}{L}Q$
$r=x$

第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ ，

解答： $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

第三步馏予，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中天梧，計算定積分

解答： $\int^{\frac{L}{2}}_\frac{-L}{2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Qdx}{xL}$

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