markdown15 高斯定理by阮道杰

平面捅暴、球、圓柱帶電體的場強(qiáng)：高斯定理

知識點

電通量
高斯定理
- 高斯面
- 矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分
- $Q_內(nèi)$
平面對稱的電場
球?qū)ΨQ帶電體的電場
- (a)做通過某場點的同心球面作為高斯面纱皆，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的歇父。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解再愈。
- (c) 設(shè)該場點的電場強(qiáng)度榜苫，大小為 $E$ ，則該面的電通量必然為 $E\cdot4\pi r^{2}$ 翎冲，其中 $4\pi r^{2}$ 是高斯球面的面積垂睬。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可抗悍。
軸對稱帶電體的電場
- (a)通過該場點做同軸圓柱作為高斯面驹饺，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量檐春。一定要想清楚電荷到底是如何分布的逻淌。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解疟暖。
- (c) 設(shè)該場點的電場強(qiáng)度卡儒，大小為 $E$ 田柔，則該面的電通量必然為 $E\cdot2\pi rh$ ，其中 $2\pi rh$ 是高斯面(圓柱)的側(cè)面積骨望。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 硬爆，解出 $E$ 即可。

表達(dá)題

一個非閉合面的電通量擎鸠，其直觀物理意義是貫穿某個面(比如一張紙缀磕，一面是紅色，一面是黑色)的電場線的條數(shù)劣光。注意袜蚕，這里的貫穿，是指的從一面紅色绢涡，從黑色穿出牲剃；即：電場線必須跟那張紙發(fā)生“交叉”，而不能是平行雄可。則在勻強(qiáng)電場( $E$ )中凿傅，如圖所示的半徑為 $R$ ，高度為 $H$ 的半圓筒数苫，圓筒的軸線與電場線平行聪舒。則其電通量為( )

解答：0.

一個閉合面的電通量，其直觀物理意義是穿出虐急、穿入它的電場線的次數(shù)箱残。注意，穿出為正貢獻(xiàn)止吁、穿入為負(fù)貢獻(xiàn)疚宇。則如圖所示，,則其電通量為( )

解答：0

勻強(qiáng)電場中赏殃，平面的電通量的計算式為：

$\vec E\cdot \vec S$

電通量的積分表達(dá)式為：

$\int\vec{E}\cdot d\vec{S}$

高斯定理的公式是 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$ 。如圖所示有三個點電荷间涵，分別為 $q_{1},q_{2},q_{3}$ 仁热。我們畫一個封閉的曲面，將 $q_{1},q_{2}$ 圍在里面勾哩，而讓 $q_{3}$ 呆在該封閉曲面的外圍抗蠢。在此情形下，請分析高斯定理中的各項思劳。

解答：封閉曲面的通量跟內(nèi)電荷有關(guān)迅矛，跟外電荷無關(guān)。
$Q=$ $q_1+q_2$ 潜叛。
根據(jù)場強(qiáng)疊加原理秽褒，任一點的 $\vec{E}?$ 跟-所有電荷__有關(guān)壶硅。

所有無限大的均勻帶電的平面或平板，以及由它們彼此平行合成的各種組合體销斟，均簡稱“平面帶電體”庐椒。畫圖描述這類帶電體的場強(qiáng)特征：

解答：

圖片發(fā)自簡書App

任何無限大均勻帶電平板，做圖示的高斯面蚂踊，則其通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 計算出來必然為

解答： $\frac{\sigma S}{\epsilon}$

“平板帶電體”求電場 $\vec{E}$ 的思路是：(a)通過某場點约谈，在平板兩邊對稱地做一個圓柱型表面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 犁钟；
(b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量棱诱。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中涝动，往往需要借助電荷密度來求解迈勋。
(c) 設(shè)該場點的電場強(qiáng)度，大小為 $E$ 捧存，則該面的電通量必然為 $2ES$ 粪躬，其中 $S$ 是圓柱型表面的底面積。
(d)于是得到核心方程： $2ES=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 昔穴，解出 $E$ 即可镰官。
現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為 $\rho$ 吗货，平板的厚度是 $D$ 泳唠。我們想求出該平板外部，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x>D/2$ )宙搬。我們過該點笨腥，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 勇垛，則核心方程可能為：

解答： $2ES=\frac{\rho D S}{\epsilon_0}$

現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板脖母，電量體密度為 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 闲孤。我們想求出該平板內(nèi)部谆级，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x$ < $D/2$ )。我們過該點讼积，做圖示的高斯面肥照。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：

解答： $ES=\frac{\rho x S}{\epsilon_0}$

無限大均勻帶電平面勤众，電荷面密度為 $\sigma$ 舆绎，則其電場為

解答： $\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

組合帶電體的場強(qiáng)請用疊加原理∶茄眨考慮如圖的“組合帶電體”：由一個平面(電荷面密度 $\sigma$ )和一個平板(電荷體密度 $\rho$ )進(jìn)行平行組合而成吕朵。則P點的場強(qiáng)為( ) ","

解答: $\frac{\rho D}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

所有均勻帶電的球體猎醇，球殼，球面边锁，以及由它們合成的各種“同心”組合體姑食，均叫做“球?qū)ΨQ帶電體”。請畫圖表示這類帶電體的場強(qiáng)特征

提示：距離球心為 $r$ 的各點茅坛，場強(qiáng)的大小都相等音半，并且方向一定在徑向(球心——場點連線方向)上。

某半徑為 $R$ 的均勻帶電實心球體贡蓖，設(shè)某場點到球心的距離是 $r$ 曹鸠，場強(qiáng)的大小是 $E$ 。現(xiàn)在做半徑為 $r$ 的虛擬球面(高斯面)斥铺，則該面的電通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 為( )

解答： $\frac{Q}{\epsilon_0}$

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼彻桃，總電量為 $Q$ ，球殼的半徑是 $R$ 晾蜘，球殼厚度可以忽略邻眷。我們想求出該球殼內(nèi)部，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r<R$ )剔交。我們過該點肆饶，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 岖常，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來驯镊，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納竭鞍、記憶)
(5) 均勻帶電的薄球殼板惑，內(nèi)部場強(qiáng)為零。
(6) 均勻帶電的薄球殼偎快，內(nèi)部場強(qiáng)不為零冯乘。
進(jìn)而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體，空腔里的場強(qiáng)為
(7) 零晒夹。
(8) 不一定往湿。
則正確的是( )

解答：(1)(5)(7)

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為 $Q$ 惋戏，球殼的半徑是 $R$ ，球殼厚度可以忽略他膳。我們想求出該球殼外部响逢，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )。我們過該點棕孙，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面舔亭。設(shè)該點電場大小為 $E$ 些膨，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解钦铺、歸納订雾、記憶)：均勻帶電薄球殼的外部場強(qiáng)，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場矛洞。
(5) 能
(6) 不能
進(jìn)而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體洼哎，球外的場強(qiáng)，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場沼本。
(7) 能
(8) 不能噩峦。
則正確的是( )

解答：(1)(5)(7)

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為 $Q$ 抽兆，球的半徑是 $R$ 识补。我們想求出該球體外部，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )辫红。我們過該點凭涂，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 贴妻，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來切油，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納揍瑟、記憶)
(5) 均勻帶電球體的外部場強(qiáng)白翻，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

(6) 均勻帶電球體的外部場強(qiáng)绢片，不等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場滤馍。

則正確的是( )

解答：(1)(5)

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為 $Q$ 底循，球的半徑是 $R$ 巢株。我們想求出該球體內(nèi)部，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r<R$ )熙涤。我們過該點阁苞，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 祠挫，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ , with $Q_{\text{內(nèi)}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}$
結(jié)合以上求解過程知那槽，均勻帶電球體內(nèi)部某場點的場強(qiáng)，可等效為( _ )集中到球心時產(chǎn)生的電場等舔。<font color=""#FF0000"">(請理解骚灸、歸納、記憶)</font>
(5) 所有電荷慌植。
(6) 高斯面內(nèi)所有電荷甚牲。
則正確的是( )

解答：(1)(6)

組合帶電體的場強(qiáng)請用疊加原理义郑。在上面幾道題中，我們總結(jié)歸納了幾條直觀經(jīng)驗丈钙，具體地：
(1) 均勻帶電的薄球殼非驮，內(nèi)部場強(qiáng)為零。
(2) 均勻帶電薄球殼的外部場強(qiáng)雏赦，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場劫笙。
(3) 均勻帶電球體的外部場強(qiáng)，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場喉誊。
(4)均勻帶電球體的內(nèi)部某場點的場強(qiáng)邀摆，可等效為高斯面內(nèi)所有電荷集中到球心時產(chǎn)生的電場。
結(jié)合以上四點伍茄，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進(jìn)行同心組合而成栋盹。其中，實心球體電量為 $Q_{1}$ 敷矫，球殼電量為 $Q_{2}$ 例获。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得帶電體外部場點 $M$ 處的電場大小為：

解答： $\frac{Q_1+Q_2}{\epsilon_0}$

結(jié)合以上四點曹仗，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進(jìn)行同心組合而成榨汤。其中，實心球體電量為 $Q_{1}$ 怎茫，球殼電量為 $Q_{2}$ 收壕。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得空腔中場點 $P$ 處電場大小為：

解答： $\frac{Q_1}{\epsilon_0}$

如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進(jìn)行同心組合而成轨蛤。其中蜜宪，實心球體電量為 $Q_{1}$ ，球殼電量為 $Q_{2}$ 祥山。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理圃验，得球內(nèi)部場點 $N$ 處的場強(qiáng)電場大小為 $E$ 為：

解答： $\frac{Q_1\frac{r^3}{R_1^3}}{\epsilon_0}$

所有無限長、均勻帶電的細(xì)桿缝呕、空心圓筒澳窑、實心圓柱，以及由它們合成的各種“同軸”組合體供常，均叫做“圓柱型帶電體”摊聋。請圖示這類帶電體的場強(qiáng)特征。

提示：距離軸線為 $r$ 的各點栈暇，場強(qiáng)的大小都相等栗精，并且方向一定與軸線垂直。

某圓柱型帶電體(紅色)，設(shè)某場點到軸線的距離是 $r$ 悲立，場強(qiáng)的大小是 $E$ 。現(xiàn)在過該場點做一個高度為 $h$ 的虛擬圓柱(藍(lán)色新博，高斯面)薪夕，則該面的電通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 為：( )

解答： $\frac{\pi R^2 h\rho}{\epsilon_0}$

現(xiàn)在有一個無限長、均勻帶電的細(xì)棒赫悄，電荷線密度為 $\lambda$ 原献。我們想求出距離軸線(即細(xì)棒的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場。我們過該點埂淮，做高度為 $h$ 的同軸圓柱姑隅。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：

解答： $\int_{0}^{2\pi rh}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{\lambda h}{\epsilon_0}$

現(xiàn)在有一個無限長倔撞、均勻帶電讲仰、半徑為 $R$ 的圓柱體，電荷體密度為 $\rho$ 痪蝇。我們想求出帶電體外部鄙陡、距離軸線(即圓柱的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r>R$ )。我們過該點躏啰，做高度為 $h$ 的同軸圓柱面趁矾。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程為：

解答： $\int_{0}^{2\pi rh}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{\pi R^2 h\rho}{\epsilon_0}$

現(xiàn)在有一個無限長给僵、均勻帶電毫捣、半徑為 $R$ 的圓柱體，電荷體密度為 $\rho$ 帝际。我們想求出圓柱帶電體內(nèi)部蔓同、距離軸線(即圓柱的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r<R$ )。我們過該點胡本，做高度為 $h$ 的同軸圓柱牌柄。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程為：

解答:

------- $\int_{0}^{2\pi rh}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{\pi r^2 h\rho}{\epsilon_0}$

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