為了估計(jì)轉(zhuǎn)換模型的哪些參數(shù)可以最好地同時(shí)顯示兩個(gè)圖像，我們需要一種方法來定義圖像之間的差異状植，這被稱為成本函數(shù)津畸。當(dāng)圖像對準(zhǔn)良好時(shí)肉拓，一個(gè)好的成本函數(shù)應(yīng)該很小，并且隨著它們逐漸變得越來越不對準(zhǔn)暖途，一個(gè)好的成本函數(shù)應(yīng)該變得更大驻售。選擇合適的成本函數(shù)在很大程度上取決于您嘗試配準(zhǔn)的圖像類型芋浮。如果圖像是相同類型的(例如纸巷，跨不同時(shí)間點(diǎn)重新對準(zhǔn)fMRI數(shù)據(jù))眶痰，則成本函數(shù)只需要確定跨兩個(gè)圖像的圖像強(qiáng)度的相似性存哲。如果圖像完全對齊祟偷，則圖像中的強(qiáng)度值應(yīng)該彼此非常接近(暫時(shí)不考慮它們可能由于激活等有趣因素而改變的事實(shí))打厘。這個(gè)問題通常被稱為“醫(yī)療模式內(nèi)”配準(zhǔn)户盯。另一方面，如果圖像具有不同類型的對比度(例如吗伤，T1加權(quán)的MRI圖像和T2加權(quán)的圖像)足淆，則最優(yōu)對齊將不會在圖像之間產(chǎn)生相似的值夕冲。這被稱為“模態(tài)之間”配準(zhǔn)歹鱼。對于T1加權(quán)圖像和T2加權(quán)圖像卜高，在T1加權(quán)圖像中掺涛，白質(zhì)將比灰質(zhì)亮，而在T2加權(quán)圖像中秧廉，灰質(zhì)比白質(zhì)亮(參見圖2.4)疼电，因此我們不能簡單地匹配所有圖像的強(qiáng)度蔽豺。相反拧粪，我們希望使用一種對不同體素集的相對強(qiáng)度敏感的方法可霎；例如号杏，我們可能希望將一幅圖像的亮部與另一幅圖像的暗部進(jìn)行匹配。
在這里草丧，我們描述了幾個(gè)最常見的成本函數(shù)昌执，用于MRI圖像的模態(tài)內(nèi)和模態(tài)間配準(zhǔn)懂拾。
1.? 最小平方
最小二乘成本函數(shù)可能是最熟悉的厂汗，因?yàn)樗谴蠖鄶?shù)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)委粉。此成本函數(shù)衡量每個(gè)圖像中體素強(qiáng)度之間的均方差：
其中和
分別指圖像A和B中的第v個(gè)體素的強(qiáng)度。因?yàn)樗鼫y量每個(gè)體素上的值的相似性娶桦，所以最小二乘代價(jià)函數(shù)僅適用于模態(tài)內(nèi)配準(zhǔn)贾节。即使在模態(tài)中，如果兩幅圖像具有不同的強(qiáng)度分布(例如衷畦，其中一幅整體比另一幅更亮或強(qiáng)度范圍更廣)栗涂，它的性能也會很差。一種方法是在使用最小二乘成本函數(shù)之前首先對強(qiáng)度分布進(jìn)行縮放祈争，這是AIR軟件包中的一個(gè)選項(xiàng)斤程，以便它們在圖像上落在相同的范圍內(nèi)。
2. 歸一化相關(guān)
歸一化相關(guān)性測量兩幅圖像中體素強(qiáng)度之間的線性關(guān)系忿墅。它被定義為：
這一措施僅適用于醫(yī)療機(jī)構(gòu)內(nèi)的配準(zhǔn)棍弄。在進(jìn)行運(yùn)動校正的許多不同成本函數(shù)的比較中痕支，詹金森（Jenkinson故慈，2002年）發(fā)現(xiàn)，歸一化相關(guān)性比包括最小二乘在內(nèi)的其他幾種成本函數(shù)的配準(zhǔn)更準(zhǔn)確。它是FSL軟件包中運(yùn)動校正的默認(rèn)成本函數(shù)闸度。
2.3?互信息
盡管前面描述的用于模態(tài)內(nèi)配準(zhǔn)的成本函數(shù)以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)哟冬，但互信息成本函數(shù)(Pluim等人错敢，2003)(可用于模態(tài)間或模態(tài)內(nèi)配準(zhǔn))源自信息論中的熵概念。熵指的是信號中存在的不確定性或隨機(jī)性的量：
其中是變量的每個(gè)可能值
的概率；對于連續(xù)變量峭竣，這些值被分組到N個(gè)箱中哲银，通常稱為直方圖箱。熵測量變量的每個(gè)不同可能值在信號中出現(xiàn)的程度盲泛。如果只能出現(xiàn)一個(gè)信號值（即村视，xi的概率為pi=1）讥蟆，熵將被最小化。如果每個(gè)不同的值出現(xiàn)的頻率相等(即，對于所有Xi，pi=1/N)蝎土，則熵最大化暴构。以這種方式砾隅，它與信號的方差以及不確定性密切相關(guān)，人們可以利用該不確定性來預(yù)測信號的下一個(gè)值。通過檢查圖像的聯(lián)合直方圖唐含，可以將熵?cái)U(kuò)展到多個(gè)圖像淮捆，該直方圖繪制出圖像中所有體素的所有可能值上強(qiáng)度組合的頻率(參見圖2.5)。如果兩個(gè)圖像相同，則聯(lián)合直方圖僅在對角線上具有值(因?yàn)樵诿總€(gè)圖像中的體素s中的值將是相同的)石挂，而圖像之間的差異導(dǎo)致值在直方圖上的更大分散里伯；請注意弦蹂，對于這種模態(tài)內(nèi)的情況，相關(guān)性將是比互信息(MI)更合適的成本函數(shù)度量。對于來自不同模式的圖像，在互信息更合適的情況下刹碾，配準(zhǔn)錯(cuò)誤越大，聯(lián)合直方圖中的離散度越大(見圖2.6)奈搜。然后，可以從該聯(lián)合直方圖計(jì)算兩個(gè)圖像A和B的聯(lián)合熵蛇摸，如下所示：
其中i為A的索引值雪标，j為B的索引值，pij為兩者同時(shí)出現(xiàn)的概率僻弹。當(dāng)圖像B的值完全可由圖像A中的相同體素的值預(yù)測時(shí)，該度量最低忠聚。
互信息是各個(gè)圖像的總熵和聯(lián)合熵之間的差：
其中H(A)和H(B)是分別為每個(gè)圖像中的值單獨(dú)計(jì)算的熵(稱為邊際熵)巡社，H(A中符，B)是聯(lián)合熵。當(dāng)聯(lián)合熵最小時(shí)饲鄙，互信息最大，當(dāng)一幅圖像的值可從另一幅圖像中最大限度地預(yù)測時(shí)就會發(fā)生這種情況戈稿。因此，互信息可以用作兩個(gè)圖像之間的相似性的度量历帚。
互信息的一個(gè)潛在問題是，在某些情況下野来，即使圖像之間的重疊減少，互信息也會增加弹澎。為此竿屹，建議對互信息系數(shù)進(jìn)行歸一化(Studholme et al., 1999):
所有主要的軟件包(FSL、SPM和AFNI)都提供了用于圖像配準(zhǔn)的常規(guī)和歸一化互信息代價(jià)函數(shù)淳玩。
2.5?T1加權(quán)圖像和T2加權(quán)圖像之間的聯(lián)合直方圖示例铁蹈。圖像的暗度表明直方圖的這一區(qū)間出現(xiàn)的頻率更高颂龙。顯示了每幅圖像中兩個(gè)不同體素的強(qiáng)度，一個(gè)在灰質(zhì)(頂部切片)神帅，另一個(gè)在白質(zhì)(底部切片)滔驶。
2.6?圖2.5中T1加權(quán)和T2加權(quán)圖像的聯(lián)合直方圖。左面板顯示了原始配準(zhǔn)圖像的聯(lián)合直方圖戈盈。中間面板顯示其中一個(gè)圖像旋轉(zhuǎn)1度后的聯(lián)合直方圖，而右側(cè)面板顯示其中一個(gè)圖像旋轉(zhuǎn)180度后的聯(lián)合直方圖击敌。每個(gè)比較的MI值都顯示在面板標(biāo)簽中哮针；MI隨著圖像變得不那么相似而減小捂齐。
2.4?相關(guān)比
相關(guān)性比率(Roche et al.待锈，1998)衡量一個(gè)度量中的方差被另一個(gè)度量中的方差捕獲的程度宽气。兩個(gè)圖像A和B的相關(guān)比定義為
其中，k是B的每個(gè)唯一值的索引，N是B的唯一值的數(shù)目。如果A和B相同淀衣，則在具有某些特定B值的所有體素上膨桥，A值將沒有方差蕴掏，并且相關(guān)比變?yōu)榱恪Ｔ摲椒愃朴谧畛踉贏IR軟件包中為PET-MRI共同配準(zhǔn)實(shí)施的Woods標(biāo)準(zhǔn)(Woods等人，1993年)，盡管它在某些情況下表現(xiàn)不同(Jenkinson&Smith庄吼，2001)缎除。它既適用于模態(tài)內(nèi)配準(zhǔn)，也適用于模態(tài)間配準(zhǔn)总寻，是FSL軟件包中默認(rèn)的模態(tài)間成本函數(shù)器罐。
以上內(nèi)容來自《Handbook of functional MRI Data Analysis》。
