? 對(duì)"調(diào)和"這個(gè)詞蜕该，很多人應(yīng)該比較熟悉犁柜，在生活、學(xué)習(xí)堂淡、工作中一般都會(huì)碰到與調(diào)和有關(guān)的概念與事物馋缅，例如調(diào)和油、調(diào)制酒水绢淀、調(diào)制配方萤悴、五味調(diào)和、五音調(diào)和皆的、調(diào)和陰陽(yáng)覆履、調(diào)和脾胃、色彩調(diào)和、矛盾調(diào)和硝全、調(diào)和平均數(shù)栖雾。可見(jiàn)伟众，“調(diào)和思想”應(yīng)用非常廣泛析藕，調(diào)和思想在數(shù)學(xué)中也有它的用處，例如復(fù)數(shù)(a+bi凳厢，a為實(shí)部账胧，b為虛部)就是對(duì)實(shí)數(shù)的調(diào)和，通過(guò)增加虛部對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行調(diào)和先紫；在不等式問(wèn)題中運(yùn)用配湊法求最值時(shí)缅疟，有時(shí)要對(duì)配湊代數(shù)式中的待定系數(shù)根據(jù)取等條件進(jìn)行調(diào)和與求解搅轿，這些在本人簡(jiǎn)書(shū)和今日頭條相關(guān)內(nèi)容中都有應(yīng)用资昧，例如簡(jiǎn)書(shū)數(shù)學(xué)思想方法揭秘-29后記14中的例3~例7旺嬉、一道最值題中的方法二。
? 調(diào)和仑鸥，指的是事物的多個(gè)部分之間吮播，相互配合得宜，調(diào)整得當(dāng)眼俊，協(xié)調(diào)一致，有機(jī)和諧地地聯(lián)系結(jié)合在一起粟关。如調(diào)制酒水飲料一樣疮胖，調(diào)和也是創(chuàng)造生成新事物、新結(jié)構(gòu)的方法闷板，數(shù)學(xué)中的調(diào)和平均數(shù)就是通過(guò)某種調(diào)和而產(chǎn)生的澎灸。
? ”待定模式”思想是假設(shè)、邏輯思維遮晚、合情合情設(shè)想性昭、模式思想等綜合而產(chǎn)生的一種數(shù)學(xué)思想。碰到問(wèn)題時(shí)县遣，開(kāi)始只能確定大致的模式糜颠，大致的框架，也就是其完整的清晰的模式是有待后面進(jìn)一步確定的萧求。待定模式的層次要高于待定系數(shù)法其兴，待定系數(shù)法是一種數(shù)學(xué)方法，在代數(shù)問(wèn)題中運(yùn)用待定模式思想時(shí)可能會(huì)用到待定系數(shù)法夸政。
? 在數(shù)學(xué)中運(yùn)用調(diào)和思想和調(diào)和法元旬，往往與待定模式思想、待定系數(shù)法、假設(shè)法匀归、合情設(shè)想坑资、組合思想、調(diào)整法穆端、配湊法袱贮、試探法、試驗(yàn)法徙赢、迭代法等結(jié)合在一起使用字柠，它們是調(diào)和法的伴侶。因?yàn)閷?duì)一些新問(wèn)題狡赐，往往還不知道”調(diào)制配方”窑业，不知道配方的組成（由哪些部分組成）和每個(gè)部分(成分)的比例或數(shù)量，所以往往要用到待定枕屉、假設(shè)常柄、合情設(shè)想等先把配方的大致模式確定下來(lái)。接下來(lái)逐步從模糊到清晰搀擂，使用合情設(shè)想西潘、調(diào)整法、試探法哨颂、試驗(yàn)法等確定待定的一些數(shù)學(xué)對(duì)象喷市，例如確定待定系數(shù)的值、確定變量的值威恼、確定關(guān)系和結(jié)構(gòu)品姓。
? 這里講解下調(diào)和思想在解方程中的應(yīng)用。
調(diào)和思想在解方程中的應(yīng)用
? ? 求方程
? ? 沒(méi)學(xué)過(guò)一元三次方程的求根公式腹备，這個(gè)方程也沒(méi)有特殊解，因式分解也困難斤蔓。怎么解這個(gè)方程植酥，非常規(guī)的解法是什么？
? ? 從解題思維的角度弦牡，每種思想方法都是啟發(fā)引導(dǎo)我們的思維念頭友驮，幫助我們探索解題方法的一個(gè)工具，我們的大腦中應(yīng)該有一個(gè)裝有多種思想方法和思維方法的數(shù)學(xué)思維工具箱喇伯。
? ? 對(duì)這道題喊儡，可以從工具箱中拿出調(diào)和思想，利用調(diào)和的思想意識(shí)和調(diào)和的眼光稻据，把看作雞尾酒艾猜，如何運(yùn)用調(diào)和思想把
調(diào)制勾兌創(chuàng)造出來(lái)买喧？
? ? 首先確定大致的調(diào)制配方&調(diào)制模型：合情設(shè)想加待定模式，假設(shè)x的待定模式為
匆赃。代入方程中可得：
? ? ? ? 1）
? ? m淤毛、n是待定的變量(未知數(shù))，目前還不知道它們的具體數(shù)值算柳，也不知道它們之間除了1)之外的其他關(guān)系低淡，顯然單靠1)是無(wú)法求出確定m、n的瞬项，還缺少關(guān)系(方程式)蔗蹋。
? ? 怎么增添新關(guān)系&構(gòu)造新關(guān)系&衍生繁衍關(guān)系？
? ? 還是合情設(shè)想囱淋，令猪杭，則
。
皂吮，
。
? ? ? 由韋達(dá)定理税手，可想到構(gòu)造兩個(gè)根分別為。解這個(gè)方程最終求得
? 上面令芦倒，可以這樣理解：先放后收艺挪，開(kāi)始的時(shí)候m+n=
，顯然在（m兵扬，n）空間中,有無(wú)窮個(gè)（m,n）對(duì)滿足m+n=
,但后面我們用調(diào)整法闺属、加強(qiáng)條件（添加約束限制條件進(jìn)行收緊處理）：把m、n調(diào)整&調(diào)節(jié)&收緊為滿足
的那些（m周霉，n），從而”一生二”亚皂，從1）式的一個(gè)關(guān)系生出兩個(gè)關(guān)系：
，構(gòu)造一元二次方程求出了合適的調(diào)和變量m灭必、n狞谱。
? ? 推廣到一般，對(duì)方程，用調(diào)和思想可得到該方程的解播歼。
題外
? 思維比知識(shí)重要伶跷，思維是本是靈魂是漁，是知識(shí)之母，知識(shí)是末是魚(yú)是子叭莫，這是共識(shí)蹈集。不知母，焉知子雇初？所以要多研究思維學(xué)拢肆，多研究學(xué)科思維方法論，多研究思想方法靖诗。
? 我們的初高中數(shù)學(xué)教育幾十年來(lái)一直存在致命的問(wèn)題郭怪，就是一直喊著鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的口號(hào)，實(shí)際上卻心有余而力不足刊橘，打左燈向右轉(zhuǎn)鄙才，一直以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心，而不是真正以數(shù)學(xué)思維為中心伤为，舍本逐末咒循，買櫝還珠，掛羊頭賣狗肉绞愚。其他學(xué)科也類似叙甸，都是以學(xué)科知識(shí)為主，缺少真正到位的學(xué)科思維鍛煉位衩，學(xué)科思維鍛煉落地效果是不理想的裆蒸，連差強(qiáng)人意都算不上。
? ? 本人在IT軟件開(kāi)發(fā)領(lǐng)域糖驴，從業(yè)余人士的視角談?wù)勆鲜鰡?wèn)題的根源：
? ? 第一僚祷，人的問(wèn)題，數(shù)學(xué)教育界缺少真正的數(shù)學(xué)思維明師贮缕。做老師的辙谜，智商和學(xué)習(xí)成績(jī)應(yīng)該都一般，肯定算不上拔尖感昼，初高中數(shù)學(xué)老師也不例外装哆，我們的大學(xué)數(shù)學(xué)教授研究水平也普遍一般，不是數(shù)學(xué)研究強(qiáng)國(guó)定嗓，雖然有些人不愛(ài)聽(tīng)蜕琴，但這是實(shí)話和真相，所以廣大吃瓜群眾不要過(guò)度迷信初高中數(shù)學(xué)老師與數(shù)學(xué)教授宵溅。當(dāng)然凌简，他們經(jīng)過(guò)多年的浸淫，刷題多恃逻，見(jiàn)識(shí)多雏搂，看書(shū)多藕施，掌握豐富數(shù)學(xué)知識(shí)，具有較豐富的解題經(jīng)驗(yàn)畔派，所謂的數(shù)學(xué)名師多铅碍，但“無(wú)它，唯手熟爾”线椰，刷題刷出了感覺(jué)而已胞谈，有術(shù)無(wú)道，數(shù)學(xué)名師非數(shù)學(xué)思維明師憨愉。在數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域烦绳，可以說(shuō)幾乎沒(méi)有思維明師。數(shù)學(xué)思維方法論領(lǐng)域還有較多發(fā)展創(chuàng)新空間配紫，數(shù)學(xué)教育界在數(shù)學(xué)思維方面缺乏真正的創(chuàng)新開(kāi)拓径密，思想僵化，固步自封躺孝，我們連個(gè)像樣些的數(shù)學(xué)思維方法論體系框架都沒(méi)有享扔，遑論足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論，數(shù)學(xué)書(shū)籍中關(guān)于數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容都存在不通透植袍，不系統(tǒng)(零碎)的問(wèn)題惧眠。這也是本人在簡(jiǎn)書(shū)和頭條上寫(xiě)數(shù)學(xué)思維系列文章的原因，闡述足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論于个。
? 這個(gè)系列文章氛魁，簡(jiǎn)書(shū)文章前言標(biāo)題為”自從一讀本系列，始覺(jué)從前錯(cuò)用心”厅篓，就是說(shuō)我們幾十年來(lái)接受的都是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)教育秀存，主要是灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生沒(méi)有得到真正到位的數(shù)學(xué)思維熏陶訓(xùn)練羽氮，我們的數(shù)學(xué)教育一直在誤人子弟或链。
? 第二，還是人的問(wèn)題档押，廣大吃瓜家長(zhǎng)和學(xué)生不明上面的真相株扛，不知道數(shù)學(xué)教育皇帝新裝，目光短淺汇荐，飲鴆止渴追求短期利益：能升學(xué)，能考上理想的大學(xué)盆繁，能競(jìng)賽獲獎(jiǎng)能保送掀淘。在沒(méi)有到位的思維熏陶訓(xùn)練的情況下，學(xué)校和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)采取的補(bǔ)救補(bǔ)拙的措施就是：嚴(yán)格的時(shí)間管理油昂，抓緊時(shí)間革娄，對(duì)學(xué)生進(jìn)行海量刷題倾贰、大量培訓(xùn)大量訓(xùn)練和大量看書(shū)學(xué)習(xí)，事倍功半拦惋，從而獲得家長(zhǎng)學(xué)生需要的短期利益匆浙，學(xué)校、老師厕妖、培訓(xùn)機(jī)構(gòu)也名利雙收首尼。在一定程度上，這其實(shí)是忽悠不明白數(shù)學(xué)教育沒(méi)有思維真相的吃瓜家長(zhǎng)和學(xué)生言秸。對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽软能，還要花費(fèi)不菲的家庭財(cái)力去進(jìn)行校內(nèi)校外培訓(xùn)，犧牲綜合學(xué)科举畸，但即便獲獎(jiǎng)查排，長(zhǎng)遠(yuǎn)看有多大效果？這種缺乏到位的思維方法思想方法熏陶的教育抄沮，靠海量刷題看書(shū)跋核，靠拼命灌輸知識(shí)進(jìn)行快餐式喂養(yǎng)，有術(shù)無(wú)道叛买，掌握的大多是數(shù)學(xué)解題的雕蟲(chóng)小技砂代，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思維大道的訓(xùn)練和領(lǐng)悟，這樣培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生聪全，思想底蘊(yùn)不足泊藕，思維固化，在創(chuàng)新研究方面一般注定是后繼乏力难礼，曇花一現(xiàn)娃圆，走不遠(yuǎn)的。
? 數(shù)學(xué)家陳省身：”我們每個(gè)人一生都花了很多時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)蛾茉，但我們其實(shí)只是學(xué)會(huì)了計(jì)算讼呢，而不是數(shù)學(xué)”? 。這與我們的數(shù)學(xué)教育拼命灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)谦炬，缺乏到位的數(shù)學(xué)思維熏陶鍛煉有極大關(guān)系悦屏。掌握豐富數(shù)學(xué)知識(shí)，而思維能力一般的學(xué)生很多键思，這就屬于“只是學(xué)會(huì)了計(jì)算础爬，而不是數(shù)學(xué)”。
? ? 對(duì)數(shù)學(xué)考試數(shù)學(xué)競(jìng)賽與數(shù)學(xué)研究吼鳞，吃瓜群眾還有一些誤解看蚜。其實(shí)數(shù)學(xué)研究創(chuàng)新和數(shù)學(xué)考試&競(jìng)賽在思維和內(nèi)容方面均有區(qū)別，不是一回事赔桌。我們幾十年拼命灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生供炎，即便在數(shù)學(xué)考試或競(jìng)賽中取得好成績(jī)渴逻，并不意味著數(shù)學(xué)研究創(chuàng)新能力就強(qiáng)，我們是數(shù)學(xué)競(jìng)賽強(qiáng)國(guó)但不是數(shù)學(xué)研究強(qiáng)國(guó)音诫，這難道不是佐證惨奕？而數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)不好，也并不意味著不適合做數(shù)學(xué)研究竭钝，知名數(shù)學(xué)家梨撞、數(shù)學(xué)教授不會(huì)做初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題甚至是普通初高中數(shù)學(xué)題，這種情況多的很蜓氨，不奇怪聋袋，也并不是他們不熟悉初高中數(shù)學(xué)知識(shí)。而這些題穴吹，特別是偏怪題幽勒，有些初高中數(shù)學(xué)老師會(huì)做，“無(wú)它港令，唯手熟爾”啥容，他們?cè)谶@些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題上投入的時(shí)間多，鉆研的深顷霹，掌握的經(jīng)驗(yàn)技巧多咪惠，但有術(shù)無(wú)道。國(guó)內(nèi)還沒(méi)有如西方國(guó)家那樣的數(shù)學(xué)天才淋淀，但有數(shù)學(xué)天賦的人不少遥昧。把過(guò)多時(shí)間精力花在初等數(shù)學(xué)這種低層級(jí)的上面不劃算，特別是普遍沒(méi)有到位的數(shù)學(xué)思維熏陶鍛煉的時(shí)候朵纷，如果有到位的思維熏陶訓(xùn)練炭臭，倒不反對(duì)通過(guò)學(xué)習(xí)研究初等數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)鍛煉數(shù)學(xué)思維，但現(xiàn)實(shí)是幾乎沒(méi)有到位的思維熏陶訓(xùn)練袍辞。我們學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)的目的主要是為了鍛煉數(shù)學(xué)思維能力鞋仍，不是單純?yōu)榱藢W(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)知識(shí)，初等數(shù)學(xué)知識(shí)不難學(xué)搅吁，不難自學(xué)威创，難在如何思維。
? 第三谎懦，還是人的問(wèn)題肚豺，這部分人就不談了。
? 三年前界拦，有感于我們數(shù)學(xué)教育存在的上述問(wèn)題详炬，期望能為數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域的研究注入新的觀點(diǎn)與活力，在簡(jiǎn)書(shū)和今日頭條上利用業(yè)余時(shí)間創(chuàng)作了多篇關(guān)于數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域的內(nèi)容，主要結(jié)合自己初高中自學(xué)數(shù)學(xué)的感悟呛谜，融匯了其他學(xué)科核心思想之后的所思所想，沒(méi)有參考其他書(shū)籍和資料枪萄。
? 如本人先前在今日頭條文章中所講：當(dāng)有一些學(xué)生念念不忘的是各種思維方法(例如聯(lián)想隐岛、類比)和各種思想方法，而不只是勾股定理瓷翻、力的分解與合成等知識(shí)的時(shí)候聚凹；當(dāng)教材中白紙黑字包含學(xué)科思維內(nèi)容。我們的數(shù)學(xué)教育和其他學(xué)科教育大概才算有些起色齐帚，學(xué)科知識(shí)教育與學(xué)科思維教育協(xié)調(diào)發(fā)展才是正道妒牙。
? 由于是數(shù)學(xué)業(yè)余人士，大學(xué)階段及工作后多年也沒(méi)玩數(shù)學(xué)对妄，本人所寫(xiě)的這些內(nèi)容湘今，自我感覺(jué)還有很多不如意的地方，目前也只是把它們作為一版草稿剪菱，待以后有空再修訂補(bǔ)充完善摩瞎，力求構(gòu)建足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論，為數(shù)學(xué)思維方法論的開(kāi)拓發(fā)展作點(diǎn)貢獻(xiàn)孝常，盡點(diǎn)綿薄之力旗们。
? ? ? ? 道悅(王國(guó)波)? 2022.9.15于廣州
