? ? 回前言。
? ? 作者：王國波
? ? 本系列先前在iteye網站上剧蚣，現搬遷到簡書支竹。
? ? 本系列適合有志于在數學上悟大道的人士，作為數學思維和數學思想方法論的啟蒙鸠按。
? ? 本系列為原創(chuàng),有感于社會上非常多的家長和學生誤以為數學和物理難學,不知道數學思想方法和思維方法的重要性礼搁。問題的主要原因是社會上、網絡上和學校數學教育絕大多數都是誤人子弟,偏重于教具體知識,缺少思想方法目尖、思維方法馒吴、思維過程的教學。
? ? 首先我們要知曉能力和知識的區(qū)別瑟曲，每門功課都有學科知識和學科思維饮戳，思維能力培養(yǎng)和知識傳授是教學的兩個方面。雖然教育界一直在喊鍛煉思維能力提高思維素養(yǎng)的口號洞拨，但實際情況是心有余而力不足：我們的小初高和大學本科的教育一直是偏重知識的傳授扯罐，幾乎每門功課在培養(yǎng)孩子們的學科思維方面都做的不到位，大打折扣烦衣，是跛腿式的教育歹河，只有一條腿在走路，弱化學生思維方法的教育就導致知識也難以學好琉挖，即使掌握了很多知識也不會靈活運用启泣，因為沒有思想方法論和思維方法做指導，沒有在思想上領悟開竅示辈，即使掌握再多的知識仍是沒有靈性的書呆子。沒有思想作指導的思維是呆板的片面的胡思亂想遣蚀，碰到難題往往就束手無策矾麻，無所適從，難以產生思路芭梯，因為不知道如何想险耀，不知道想什么，這就是思維障礙玖喘。具有思維障礙甩牺，掌握再多的知識也難以轉化成能力。思維能力和思想方法是靈魂累奈，鍛煉出有思想方法做后盾的深度思考能力贬派，有靈魂急但，知識才能如魚得水，源頭要有活水搞乏。
? ? 數學思維方法和數學思想方法是數學的靈魂,是數學領域的世界觀和方法論波桩，思想比形而下的知識和方法重要。不注重用正確的數學思想方法論來給學生洗腦请敦，沒有用正確的思想武裝頭腦镐躲，或根本就沒思想，沒有思想高度侍筛，這樣的教學導致學生不同程度存在數學思維障礙萤皂。假傳萬卷書，另一個是數學思維與思想方法書籍和文章不通透匣椰，在深度和廣度不夠敌蚜，有的講的不全面,有的不接地氣太理論化,有的空泛如隔靴搔癢不透徹,高(形而上)不成低不就(形而下),所以根據自身自學數學的經驗，創(chuàng)作了該系列窝爪。
思維能力的7個指標和數學思維能力構成
如何才能稱得上具有良好的高品質數學思維弛车，其衡量標準主要有7點。
1.數學思維的靈活性
? 數學思維必須具有靈活性蒲每，善于變通纷跛，拒絕呆板。對數學問題邀杏，能從多維度多視角去看問題思考問題贫奠，思路受阻時能迅速敏捷地調整解題思路/解題策略，反思分析總結先前的方法中存在的問題望蜡，否定先前的方法唤崭，打破先前的思維定勢做出調整或徹底改變，一計不成再生一計脖律，迅速找到新的解題方向和解題方法谢肾。數學的靈活性要求必須真懂辯證法，多維度地變化思維小泉，而不只是在哲學中學過但不會在解題實踐中運用芦疏，要在數學解題實踐中運用辯證法來指導思維過程。
2.數學思維的批判性
? 注意批判性不是貶義的那種批判或批評微姊，它是指要有辨別力酸茴、洞察力、判斷力兢交，要有審慎思辨的態(tài)度薪捍，要講理性講邏輯。對已有的解題方法和理論不盲從，不迷信權威酪穿，能獨立思考凳干，有質疑并驗證的習慣。例如在解題過程中根據題目的已知條件檢查自己的解題思路昆稿，不斷地對自己提問來驗證自己的思路進而調整糾正取舍纺座；學會對結果進行驗算；多總結反思反省自己解題方法中的問題和不足溉潭，加以改進提高净响。
3.數學思維的嚴謹性
? 思考問題符合邏輯無矛盾、準確喳瓣。
4.數學思維的系統(tǒng)性
? 考慮問題系統(tǒng)全面馋贤，縝密無遺漏。
5.數學思維的廣闊性
? 思維開闊發(fā)散開放畏陕，拓展思維空間配乓，從多維度多方面多角度考慮問題，靈活調整變化惠毁，例如一題多解犹芹。
6.數學思維的深刻性
7.數學思維的創(chuàng)新性
? 這7個指標是從多維度多層次多角度相互補充的。嚴謹性體現在邏輯思維上鞠绰，體現在數學公式數學定理上腰埂，體現在塑造實事求是求真務實的態(tài)度上；靈活性蜈膨，在思考問題時不能死板屿笼、不能循規(guī)蹈矩思維定勢、僵化固化和機械教條翁巍，要有辯證思維驴一，靈活變通，鮮活開放灶壶，系統(tǒng)全面肝断，在數學學習中要深刻理解和運用辯證法和數學解題策略。講辯證例朱，這是一直被強調和提倡的孝情，而形而上學機械教條，在書本上是經常被批駁的洒嗤，但如果沒有領悟到如何在具體實踐中運用辯證法，辯證法很容易變成口頭文字上的詭辯魁亦，高來高去渔隶，空對空不接地氣。在本系列中，將主要從實踐層面講述如何把辯證法靈活應用到數學學習和解題思維過程中间唉，讓它落地變現绞灼，真正能指導實踐。
? 數學思維能力是如上所述的思維品質在解決問題等實踐活動中的具體化和體現呈野，是表象與內在的關系，虛與實的關系。如果思維能力不強仑性，即使再有思維再有靈活性蠕搜、批判性，面對問題也是束手無策昨悼，一籌莫展蝗锥，抓不住問題的本質和關鍵，找不出解題方向和突破口&起點&切入點率触，找不出規(guī)律和特征终议。
? 在7個思維能力指標上要有長進，必須要用正確的數學思想方法和解題策略來武裝頭腦葱蝗，用它們來引導和驅動自己的思維穴张，展現思維的嚴謹縝密、邏輯理性而又不失系統(tǒng)全面两曼、靈活辯證皂甘、批判性，也就是指導我們如何思考：在研究合愈、學習或解題的思維過程中怎么想和想什么叮贩，做什么和怎么做。
? 數學思維能力構成
? 觀察力佛析、洞察力 益老、理解力、領悟力寸莫、預見力捺萌、判斷力、決策力膘茎、選擇力桃纯、想象力、推理力披坏、聯結力态坦、直覺力、鑒賞力 棒拂、運算力伞梯、質疑力玫氢、分析力、抽象力谜诫、創(chuàng)造力漾峡、審美力、把控力喻旷、記憶力生逸。
數學思維體系與數學思想方法
? 數學思維有多種思維形式，例如聯想且预、類比等槽袄，數學思維體系中的思維形式是思維學中的子集。
思維活動有兩大要素辣之，這兩大要素是形式與內容的關系掰伸，外在與內在的關系。第一要素是”怎么想”怀估，也就是思維的外在形式狮鸭，我們要熟悉多種思維形式。第二個要素是”想什么”多搀，也就是思維的內容歧蕉，內在。主要靠多種思想方法來指導我們看問題思考問題時的觀點(指導我們可用哪些觀點來看問題)康铭、引導我們高效找到”想的內容”(啟發(fā)我們的思維內容,引導我們該想些什么)惯退，指導我們對數學問題采取各種行動，例如數學對象的進行各種操作：變形从藤、配方催跪、平方等。例如數形結合思想指導我們對代數題可以考慮代數式的幾何意義夷野，想到對應的幾何圖形懊蒸，借助圖形的直觀特征來解題。
思維的形式與思維的內容是辯證統(tǒng)一的悯搔，思維形式和思想方法一起決定思維的起點或突破口骑丸、思維的方向和視角。沒有思想或思想貧瘠膚淺妒貌，那我們的思維活動就很空洞通危，大腦一片空白。
? 碰到問題要先有方案和計劃灌曙，要先搞清楚問題菊碟，先知道做什么，然后才是怎么做在刺。對數學題框沟，特別是難題藏古，我們學的數學知識點通常是被動的增炭，是工具忍燥，它沒有驅動力和生命力或多少智慧，要靠思維方法論來驅動它們隙姿，指揮它們梅垄，利用它們，來把它們串起來組織起來输玷，而解題方法是怎么想出來的怎么探索出來的队丝？怎么解決”妙法難思”的問題？
數學思維方法論(思維方法欲鹏、數學思想方法机久、解題(思維)策略)的作用與意義
? 為何很多掌握了數學知識的學生存在數學思維障礙？也就是不知道”怎么想(思維形式)“赔嚎，不知道”想什么(思維內容)“膘盖、想不到、思維不嚴謹不全面不高效不辯證尤误、胡思亂想侠畔。
? 為何要掌握數學思維，要領悟思想方法和思維策略损晤？肯定是它們對我們有作用和意義软棺，值得我們去研究它們。
? ? 不談數學思維方法和數學思想方法在其他方面的作用和價值尤勋，在解題思維層面(這里的題不一定是數學題喘落，也可以是其他領域的問題，問題也可以有大有小)最冰，它們最直接最主要的作用就是具有思維功能：啟發(fā)&引導&提醒我們“怎么想(思維形式)”瘦棋、“想些什么(思維內容)”，“怎么看(看問題的思維眼光&視角&方向)”锌奴、"要做什么(意圖)“兽狭、"怎么做"、"(思維)起點是什么"鹿蜀，誘導激發(fā)我們產生思維念頭箕慧、對策、靈光閃現茴恰。也就是在思維形式颠焦、思維內容、思維主客體三方面起到引領作用往枣，拓展思維空間伐庭，幫助我們消除思維障礙粉渠，高效地探索發(fā)現，高效地找到問題突破口和解題思路圾另。每一種思維方法都會指導我們“怎么想”霸株，例如聯想思維指導我們要由此及彼地思考，類比思維指導我們根據從相同或相似的其他事物類推另一事物的特征&規(guī)律或借鑒解決方案集乔。每一種數學思想都會啟發(fā)我們的思維內容(想些什么)或思維方向或思維視角去件，例如方程思想指導我們要找等量關系列方程，“找等量關系列方程”就是在方程思想指導下出現的思維內容或念頭扰路，而特殊思想指導我們要考慮特殊情況尤溜。你對各種思想方法和思維方法掌握的越多領悟的越深刻，或者說你領悟了通透系統(tǒng)的思維方法論或思維框架&模型汗唱，當你碰到問題宫莱，就容易想到。反過來哩罪，就容易出現思維障礙：不知道怎么想授霸，不知道想些什么、不知道要做些什么识椰、不知道變通改變思維視角和方向绝葡。
思維方法論給思維功能賦能：大家都知道大腦具有思維功能，可以理解為思維功能的硬件是大腦腹鹉，要有良好的思維能力藏畅，還需要給大腦配備好的思維軟件，即好的思維操作系統(tǒng)：通透系統(tǒng)的思維方法論(思維方法+思想方法+元認知)功咒。計算機中只有硬件和操作系統(tǒng)還不行愉阎，還要安裝應用軟件和工具庫，而各種學科知識(陳述型知識)就好比計算機中的各種應用軟件(工具軟件)和工具庫力奋。思維操作系統(tǒng)管理&調度&激活這些應用軟件榜旦。大腦中沒有安裝好的思維操作系統(tǒng)，思維能力低下是必然的景殷。思維鍛煉和熏陶就是不斷地升級思維操作系統(tǒng)溅呢，讓它越來越好。
? 數學思維方法論猿挚、數學思想方法咐旧、解題策略在思考數學問題時，讓我們的思維能高效正確地運轉绩蜻，看透問題本質铣墨，它們可以在思維的外在形式和思維的內容兩個維度指引和啟發(fā)我們怎么想、想什么办绝、做什么伊约、怎么做(操作)姚淆、用什么樣的數學眼光和觀點去看問題，指引和調節(jié)思維方向和思維視角屡律。
? 到這里腌逢，建議先回到<<數學思想方法揭秘-前言>>一文，重新閱讀其中的“思維形式和思維內容”部分疹尾。思維方法主要決定思維形式上忍，它啟發(fā)引導我們”怎么想“，例如聯想思維指引我們或提醒啟發(fā)我們要聯想纳本，類比思維指引啟發(fā)提醒我們要類比。如果不知道數學思維工具箱中有哪些思維方法腋颠，碰到問題時繁成，就不容易想到要采用這些思維方法。而各種數學思想方法啟發(fā)引導我們”想什么“淑玫，讓我們的思維有內容巾腕，大腦不至于一片空白。例如方程思想啟發(fā)提醒我們關注問題中隱藏的方程模式絮蒿，要我們想到方程尊搬，要找出問題中的等量關系列方程。思維方法和思想方法的區(qū)別在<<前言>>中已經講解過土涝，在實際運用時或講解思維方法時佛寿，思想方法和思想方法通常是合在一起使用的，水乳交融的但壮，例如“相似聯想”這種聯想思維方法冀泻，其實是相似性思想加聯想思維。知識是僵死的蜡饵，在有靈性的思維方法和思想方法的啟發(fā)引導下弹渔，我們就容易激活&調動&組織&編排&利用大腦中沉睡的僵死知識，讓這些知識派上用場溯祸，發(fā)揮作用肢专，把這些知識轉化為解題能力，否則這些僵死的知識是不會主動解決問題的焦辅。為何很多學生掌握了數學知識博杖，但碰到有些難度的問題，所學的數學知識利用不上氨鹏，一看答案所用的數學知識都學過欧募，但自己當時就是想不到，所學的知識不能變現轉化為能力仆抵？原因就在于我們的學校數學教育和培訓班普遍在學生思維訓練方面一直是心有余而力不足跟继，主要是灌輸數學知識种冬，缺乏到位的思維訓練，即便是頭部的(悟性好舔糖、有些學習天賦)很多學生也沒有得到通透系統(tǒng)的思維訓練娱两，容易出現思維障礙。巧婦難為無米之炊金吗，有時候是由于我們數學知識掌握不好導致問題沒有解決十兢，這都不是啥問題，去學知識就行摇庙，初高中知識很容易學旱物，很多可以自學，相比較而言卫袒，無形的思維難以掌控宵呛，難以領悟思維之道，這也是寫這個系列的原因夕凝，力圖傳授通透系統(tǒng)的數學思維之道思維方法論宝穗。
思想是行動的指南，在思想觀點的引領下指引啟發(fā)我們看問題的視角和方向码秉，有什么樣的思想就有什么樣的行動逮矛，在數學解題思維過程中，有什么樣的思想就有什么樣的解題操作转砖，例如對代數題须鼎，如果運用數形結合思想，我們就會思考代數式的幾何意義堪藐，構造對應的幾何圖形莉兰。數學思想就是數學的基本觀點，是對數學概念和數學方法的本質認識礁竞。學的知識多并不意味就有智慧糖荒，并不意味會靈活運用。數學考試成績好模捂，甚至能在數學競賽中獲獎也并不表示數學真正好捶朵，真正好是要有智慧，也就是要能領悟到數學思維之道狂男，而數學思想就是數學中的智慧和道综看，沒有悟道，即使小初高階段能獲獎但沒有悟道數學思維岖食，也很可能后繼乏力红碑。
? 大海航行靠舵手，數學思想方法是解決數學難題的金手指、敲門磚析珊、思維的火花塞羡鸥、金剛鉆、橋梁紐帶忠寻、魚餌惧浴、藥引子、催化劑奕剃、導火索衷旅，是黑暗中的指路明燈。很多數學難題和奧數題的解題方法是怎么想出來的纵朋？難題開頭難或中間卡殼時柿顶，如何探索出解題方向解題思路和解題方法，其實這個也是有章可循的倡蝙，真不需要有天才的頭腦九串，就是靠一套數學思想方法(包括解題策略)來做指導，運用它們來推導探索出具體問題的解題突破口寺鸥、解題方法和或看清問題本質，來做已知和未知(包括解題中間環(huán)節(jié)和答案結論)的溝通橋梁品山，來穿針引線建立幾個對象之間的聯系胆建，來穿針引線形成解題思路和解題方法，最終把知識點串起來組織起來解決問題肘交。星星之火可以燎原笆载，對數學難題，沒有數學思想方法這個火花涯呻，后面的熊熊大火也就是解題思路和解題方法難以產生凉驻，數學思想方法也類似小雞破殼而出前關鍵的一啄，沒有這一步复罐，很難找到題目中隱藏的解題突破口和解題方向涝登。
? 訓練良好的數學思維能力，主要是在教學中啟發(fā)引導學生的思路效诅，在教學中滲透數學思想方法胀滚，例如聯想、類比乱投、歸納咽笼、轉化、抽象等思想方法戚炫，輸貫數學思想方法剑刑，引導學生在分析問題解決問題過程中運用數學思想方法來探索出題目的解題方法。只有知識沒有思想双肤，在解題時對知識的運用是被動的施掏，自發(fā)的钮惠，盲目的，局限的其监，而有了思想覺悟萌腿，解題就是主動的、自覺的抖苦、有意識的毁菱、辯證靈動的、高屋建瓴的锌历、批判的贮庞、高觀點指導下的。掌握了知識不一定掌握思想究西，例如掌握了方程知識窗慎，不一定具有方程思想，就看你是自發(fā)還是自覺使用方程來解題卤材，如果在半迷糊蒙昧狀態(tài)下使用遮斥，或還需要題目文字中用'方程'兩個字來明確提示你才意識到墩朦，那就是自發(fā)占键，還沒有這種思想意識，方程思想還沒入心入腦情萤。
? 知識點是死的帆精，對難題较屿，像迷霧一樣看不清前進的道路和方向，很多時候只能模糊猜測到要用哪些知識點卓练，有的根本想不到要用哪些知識點或用上熟悉的知識點也解決不了問題隘蝎，無法形成和展開自己的解題思路和解題方法，此時就需要有數學思想方法來撥云見日襟企，做開路先鋒探路者嘱么，來做問題域到解決方案域的橋梁和藥引子，運用它們來探索出解題方法和解題過程整吆，使解題思路和解題方法自然呈現出來拱撵，由隱到顯，從模糊到清晰表蝙。在探索過程中隨著解題方法的逐漸清晰和成形拴测，此時感覺難題已經不太難了，思路脈絡和解題方法已經變得清晰明朗可見了府蛇，像簡單熟悉的題一樣集索，此時自然而然就知道要運用哪些知識點，所以說知識點需要數學思想方法來盤活、來激活調動它們务荆，否則它們就在你腦中沉睡妆距。
數學思維方法論、數學思想方法函匕、思維策略&解題策略是數學領域形而上的大道娱据，是數學思維活動本質和思想規(guī)律觀點的總結概括。
? 常用的數學思維方式和數學思想方法具體有哪些盅惜，總結如下：
? 思維方式：思維的分類維度比較多中剩，例如邏輯思維與非邏輯思維、創(chuàng)新思維與常規(guī)思維抒寂，求同思維與求異思維结啼、理性思維與感性思維、橫向思維與縱向思維屈芜、建構思維與求解思維郊愧、經驗思維與科學思維。從思維的形式來分井佑，有：聯想属铁、類比 、歸納躬翁、演繹红选、抽象邏輯思維、逆向思維姆另、形象思維&具象思維、觀察與試驗思維坟乾、相似性思維迹辐、直覺思維、靈感思維甚侣、發(fā)散思維明吩、組合(聚合)思維、決策思維殷费、辯證思維印荔、系統(tǒng)思維、結構化思維详羡、溯源思維仍律、多視角思維&立體思維、屬性(性質)思維实柠、層次思維水泉、棋局思維(謀局&做局、識局、破局草则、控局钢拧、算局、定局)炕横、(情景&context)場景思維源内、柔性思維。
? 思想方法：分類思想&分組與整合&歸并&配對思想份殿、枚舉(窮舉)&遍歷思想膜钓、關系思想&網絡化思想、轉化思想&化歸&轉譯&轉移伯铣、數學變換思想呻此、代換思想&置換思想、等價(等效)思想腔寡、本質思想焚鲜、數形結合、分析思想放前、要素思想忿磅、互逆思想、主線思想&主題思想凭语、確定性思想葱她、簡約(簡縮)思想、分離思想似扔、賦義思想吨些、有無思想、母體思想炒辉、篩選豪墅、隱含條件思想、符號化思想黔寇、集合思想&集束&族系思想偶器、對應思想、方程思想缝裤、函數思想屏轰、假設思想、均衡&中道思想憋飞、平均思想霎苗、特殊化思想&極端性思想(考慮特殊情況或極端情況：特殊值、特殊對象搀崭、特殊情況叨粘、最大值猾编、最小值、最優(yōu)值升敲、最差值答倡、最理想&最糟糕情況、邊界&臨界值驴党、端點值) 瘪撇、無窮遞降思想、極限思想港庄、估值思想倔既、試驗思想、對稱思想和對偶思想鹏氧、補美思想與完形思想渤涌、算兩次思想、周期思想把还、運動思想实蓬、階段思想(過程&流程思想)&中途點思想、遞推和遞歸思想吊履、整體思想/整體觀/系統(tǒng)思想安皱、模型思想、模式思想艇炎、結構思想酌伊、基底思想/基本量思想/最小維度思想、變基思想缀踪、模糊思想居砖、秩序/有序化思想、順序思想驴娃、比較思想悯蝉、規(guī)約化&歸一化思想&單位1思想、放縮思想托慨、多樣性思想、比例思想暇榴、局部調整思想厚棵、逼近(漸進)思想、遍歷思想蔼紧、迭代思想婆硬、優(yōu)化思想、優(yōu)先級思想&權重思想奸例、微積分思想彬犯、分層(層次)思想向楼、構造思想、組合(集成/重組/重構)思想谐区、配湊思想湖蜕、遷移/轉移思想、算法思想宋列、計算思想(通過計算運算來解題昭抒。數形結合中的數就意味著它包含有計算思想。另外有些關系炼杖、規(guī)律灭返、特征在解題開始階段看不出來，要經過計算之后才能凸顯出來)坤邪、分而治之思想熙含、概率思想&隨機思想、采樣思想艇纺、統(tǒng)計思想怎静、編碼思想&標識(編號)思想、離散思想喂饥、工具思想/功能思想/功用(效應)思想消约、角色思想、合理合理推理&猜想&設想&想象员帮、傳遞性思想或粮、核心(中心)思想、對象化&概念化思想捞高、移植與雜交思想氯材、原子與元化思想、維度思想&最小維度思想&公理化思想硝岗、媒介(中介)思想氢哮、參數化思想、守恒思想(變中有不變思想)型檀、常變思想冗尤、調節(jié)(調整)與調和思想、兼容(兼容并蓄)擴展思想胀溺、相對性思想裂七、擬合思想&模擬思想、虛擬化&虛構思想仓坞、變格思想(升格/降格/縮格/更格/分格)背零、統(tǒng)一性思想、標準化思想无埃、最小作用量思想徙瓶、齊次思想毛雇、齊物&平等思想、動態(tài)生成&構建思想侦镇、增殖效應思想&繁衍&推演思想灵疮、數學美(審美/美感)思想、參照系思想虽缕、理想化思想始藕、外推思想、族系思想氮趋。
思想方法按詞性可分為兩種：名詞(概念)型思想與動詞型思想伍派。
名詞型思想，比如方程思想剩胁、函數思想诉植、關系思想。
動詞型思想昵观，比如組合思想晾腔、運動思想、數形結合思想啊犬、分類思想灼擂、構造思想。
在小學階段就應該開始進行數學思維形式和思想方法啟蒙觉至，在高中階段就應該領悟掌握這里面的絕大多數剔应。
思維策略和解題策略：學習思維策略，最好先了解下元認知语御。元認知就是對認知的認知峻贮。是個人對自己的認知加工過程的自我覺察、自我評價和自我調節(jié)应闯。解題策略就是解題時遵循的總體方法和原則纤控，一般是靈活的，變通的碉纺，柔性的船万。俗話說當局者迷，旁觀者清骨田，這些策略好像一位旁觀者或監(jiān)工者唬涧，對思維起點、思維方向盛撑、思維視角起到指導、調節(jié)捧搞、變通抵卫、反思狮荔、優(yōu)化、監(jiān)控的作用介粘，在解題中對解題思路和方向進行調整殖氏，防止思維出軌或即便偏離正確軌道也能及時調整到正確軌道，防止思維呆板僵化或陷入思維定勢或即便陷入呆板狀態(tài)也能及時反省意識到姻采，從而擺脫雅采。
解題思維策略主要有：
? 1）基于辯證法和辯證思維對立面進退互化的轉化策略。具體的進退互化策略非常多慨亲，至少幾百種婚瓜，常見的一些有：
? ? 抽象-具體策略&抽象到具體-具體到抽象/抽象化策略&具體化策略，碰到抽象問題刑棵，如果難以解決就想法具體化巴刻；碰到具體問題，如果難以解決就抽象化蛉签，一句話抽象不行就具體胡陪，具體不行就抽象，要靈活辯證地利用抽象和具體的辯證關系來進行轉化變通碍舍。
? ? 直接-間接策略柠座、復雜-簡單簡化/簡化策略、一般-特殊/一般化策略&特殊化策略片橡、主要-次要妈经、主-從、已知-未知锻全、陌生-熟悉狂塘、正向-逆向&正難則反、高次-低次鳄厌、高維-低維荞胡、整體-局部、數字/常量-變量了嚎、相等-不等泪漂，還有很多，例如內-外歪泳，數-形萝勤、矛-盾，都是根據辯證法辯證思維中的一些對立統(tǒng)一的概念和矛盾關系或關聯關系來采取靈活的變通策略呐伞。后面會有一套辯證思維詞匯表配合該策略的實際運用敌卓。
? ? 對立面進退互化的策略，要結合矛盾分析法找出問題中存在的和諧的伶氢、不和諧的各種因素趟径。
? 2）基于特征驅動的策略瘪吏。
? 3）基于關系思想的策略。
? 4）基于模式識別的策略蜗巧。
? 5）基于合理推理掌眠、合情設想&意圖、合情猜想的策略幕屹。
? 6）基于監(jiān)控反思調整的重認識策略蓝丙。
? ? ? 在解題過程中思維受阻時，要運用監(jiān)控反思調整策略擺脫思維困境望拖。
? 7）避重就輕策略渺尘。從薄弱地方入手，繞過難以直接解決的因素靠娱，體會下庖丁解牛的故事就大體明白了沧烈。
? ? ? ? 在解題過程中，要關注和評估當前解題方法的復雜性和進展情況像云，例如覺得方法繁瑣锌雀，運算量大、出現蠻力求解迅诬、求解困難時腋逆，此時要對該方法的好壞優(yōu)劣、適用性侈贷、正確性有所警覺質疑惩歉，是否此路不通？回頭是岸俏蛮，要及時調整思路和方法或甚至放棄轉向探求新思路和新方法撑蚌。
? ? ? 對有難度的問題，在解題受阻時搏屑，要反問提醒自己争涌，多維度地發(fā)散反思：是否陷入思維定勢?問題中不和諧的因素(痛點)有哪些？當前方法和思路的特點和切入途徑辣恋？如何利用好已知條件亮垫？是否還有一些條件沒有充分利用？是否還有一些隱藏的條件或線索沒有發(fā)現伟骨？遍歷自己的數學知識庫饮潦，還有哪些數學知識和數學方法沒有使用？是否有些知識不熟悉携狭？還有哪些思維方法和思想方法沒有使用?解題操作還能怎么變一下继蜡？數學對象還能怎么變化一下？思維視角、思維方向還能怎么變一下切換一下稀并？還有哪些對象和問題沒有考慮到鲫剿？還能發(fā)現哪些關系？還能建構哪些關聯關系稻轨？是否還隱藏著一些模式&模型？是否能建構一種新的數學模式&模型把數學對象納入到模式中?
? ? ? 這樣不斷地反問雕凹，誘導自己產生新的解題念頭殴俱，從而有可能產生解題突破和轉機。
? ? ? 解題完成后，也要反思總結自己的感悟、得失（心得體會）肯适、經驗赌躺，提煉思想方法，完善自己的思維方法體系惩系。
? 思維原則
? ? 合情合理原則、熟悉化原則、數學美原則（和諧化趴泌、簡單化、有序化拉庶、統(tǒng)一化嗜憔、標準化）、充分利用條件原則/用好條件(用好用足原則)氏仗、直觀化原則吉捶、具體化原則、開放性原則皆尔、條件集中原則呐舔、模式化原則、系統(tǒng)化思考原則(包含了辯證思考)等慷蠕。
? ? 合情合理原則是思維也是數學思維需要遵循的的第一原則(首要原則)珊拼，包含合情與合理兩部分，合情和或合理地分析思考砌们，合情合理地設想&猜想&推理&想象杆麸，合情合理不排斥大膽想象。邏輯思維和非邏輯思維都要遵守該原則浪感，此外不要把此處的”合理”狹義地理解為為百分之百的符合邏輯才算合理昔头，非邏輯思維，例如直覺影兽、想象揭斧、聯想、類比等就不符合嚴格的（百分之百）邏輯，這些非邏輯思維應該理解為廣義的合理讹开。
? 鍛煉邏輯思維能力不難盅视，甚至可以說很容易，難在鍛煉各種非邏輯思維能力旦万。只偏重訓練邏輯思維的數學教育是不及格的教育闹击，是對數學思維錯誤的理解，數學思維高手的思維功底成艘，更多地體現在非邏輯思維能力方面赏半，非邏輯思維才是數學發(fā)現、發(fā)明創(chuàng)新的利器淆两。
? ? 上述這些原則是通用的原則断箫，每種思維方法和思想方法自身還有自己的一些原則，例如對數學思想方法中的分離思想而言秋冰，高內聚低耦合原則是運用分離思想通常需要遵循的原則仲义，一般情況下不要逾越。
? 解題策略和數學思想是左右手的關系剑勾，好比太極圖中的陰陽魚埃撵，一剛一柔，相互配合甥材，相互協(xié)作盯另，相互協(xié)調，相互聯系又相互調節(jié)制衡洲赵，達到一種動態(tài)的和諧平衡鸳惯，一陰一陽之謂道。
? 這些數學思想方法和解題策略可以說每一種都提供了思考問題/看問題的不同的視角或觀點叠萍，從總體上芝发，它們之間也有一定的層次關系和結構，如下圖1苛谷，有些思想之間是相互滲透交融辅鲸，其中關系思想和解題策略是高層次的、形而上的數學思想方法腹殿，其他思想方法相對而言都是形而下的独悴，都是從這兩個具體化和派生出來的，例如方程思想锣尉、函數思想刻炒、數形結合思想，就是因為存在關系自沧，例如數形結合思想就是因為存在數和形的關系坟奥。更進一步，可以說整個數學思想方法論體系包括解題策略思維策略都是為了指導我們的思維和行動，讓思維和行動能靈活變化爱谁，數學思維的本質是變化晒喷，就是辯證法中所講的運動變化。只有在運動發(fā)展過程中不斷地去合道访敌，不斷地從多維度多層次靈活辯證理性地去探尋事物的本質規(guī)律凉敲。絕對的運動變化，對應相對的靜止不變寺旺，在認識事物的過程中荡陷，有個不變的，就是思想方法論迅涮，成熟的方法論是相對不變的。
聯想徽龟，思維由此及彼是運動變化;抽象叮姑，去粗取精，去偽存真据悔，提煉本質传透，是運動變化;分析綜合是運動變化；轉化化歸更是運行變化极颓。這是在無形的思維和決策層面的運動變化朱盐，在行動操作層面更是運動變化，就拿數學解題過程舉例菠隆，解題過程中的各種運算兵琳、變形、變換也是運動變化骇径。
事物的發(fā)展規(guī)律包括思維規(guī)律思想方法論和解決問題的方法本來就客觀存在躯肌，也就是道本來就存在，我們只不過是去合道破衔，與道相合相應清女，發(fā)現它，體認它晰筛。
沒有哪種數學思想方法是萬能的嫡丙，在解決具體數學問題時，一般是綜合運用多種數學思想方法读第，有機結合起來使用曙博。
數學思想方法和解題方法的區(qū)別和關系
? 數學思想方法和具體問題具體題目的解題方法的關系，就像漁和魚卦方，難題的解題方法是隱藏在渾水中的魚羊瘩，不能一眼看見它，洞見它，此時需要用漁把魚釣出來尘吗，類似地逝她，需要運用數學思想方法把解題方法找出來探索出來，數學思想方法是方法的方法睬捶。
? 數學思想方法和具體問題的解題方法的關系黔宛，也可用另一種方式來比喻，是母與子的關系擒贸。數學思想方法是母臀晃，具體的解題方法是子，由母產子介劫，要有一套數學思想方法論來做指導徽惋。不知母，焉知子座韵？不知母的結果就是難產或產出歪瓜裂棗险绘，就是難以高效地想出解題方法或想出來的是較繁瑣的方法。但在我們的多年的教育中誉碴，不管是數學還是其他學科宦棺，不管是先前的應試教育和現在所謂的素質教育都不注重思想方法的培養(yǎng)。對語文教育例如寫作黔帕，有寫作思想方法論教學生如何寫出一篇好作文的教學嗎代咸？在數學教育中，有數學思想方法的教學內容嗎成黄？不管是學校的教材和教學呐芥，以及各種校外奧數培訓機構，幾乎都不注重訓練數學思想方法奋岁，最多是擠牙膏似的所謂滲透點數學思想方法贩耐，蜻蜓點水輕輕帶過。大多教的是知識點和低級低層次的數學方法厦取，例如分數的裂項法潮太、方程的消元法、換元法虾攻、配方法铡买，或者讓學生死記結論公式，記題型霎箍。但學生不知道這些低層次的數學方法體現的是什么數學思想方法奇钞，例如不知道消元法體現的是轉化這種數學思想，把未知轉化成已知(例如把二元一次方程轉化成先前學過的已知的一元一次方程)漂坏、把不熟悉轉化成熟悉景埃、把不好處理轉化成好處理媒至。知其然不知其所以然，碰到新的題型谷徙，低層次的方法存在較大局限性拒啰，適用范圍有限，學生就束手無策完慧，傻眼沒新思路了谋旦，再說學生總要走上社會要獨立解決新問題的。不是說這些不重要屈尼，這些是低層次的形而下的册着，有較大局限性，只教這些是不夠的脾歧，要有普適性指導性強的數學思想方法甲捏。
? 數學思想方法的三種層次：
? 思想理論指導實踐。圖1中低層次的數學方法在我們平常的教學中就有傳授鞭执，它具有實踐性摊鸡，是包含有具體操作步驟的方法，適用面較窄(如待定系數法一般只在多項式分解中使用)蚕冬，不具有方法論的意義，我們大多把它們稱為數學方法而不是數學思想方法是辕，較高層次的數學方法是屬于邏輯學中的數學思維方法囤热， 平常的教學中也有傳授。而高層的數學思想方法具有理論指導性获三，適用面教廣旁蔼，層次高。低層和較高層的數學方法體現高層的數學思想疙教，它們是數學思想方法在數學解題中落地實施的手段和工具棺聊。數學思想是數學方法的升華。
? 在該系列中贞谓，我們主要講述較高層次和高層次的數學思想方法限佩，特別是高層次的數學思想方法。這些思想方法還可進一步劃分為更精細的層次和結構裸弦，其中轉化(化歸祟同、變化)和構造法是兩種基本的思想方法，構造法思想也一定程度上體現了轉化思想理疙，所以大體上可以認為其他的數學思想方法都可歸結為轉化思想的一種實現手段晕城，轉化思想是高層次的數學思想方法。
? 從整個數學思維體系來分窖贤，大致可分為三層：思維層砖顷、思想層贰锁、實踐操作執(zhí)行層。配方法滤蝠、待定系數法豌熄、各種變形&變換&運算如幾何中的平移變換等都位于實踐操作執(zhí)行層。
? 萬般神通皆小術几睛，唯有空空是大道房轿，道和術，每個學科每個領域都有形而上的道和形而下的術所森，都有一套方法論囱持，就看你是否能悟道能領悟它們。先哲說過：以道蒞天下焕济，其鬼不神纷妆。掌握了大道，牛鬼蛇神還能神奇晴弃？? 數學思想方法就是數學領域的大道掩幢，它不是陽春白雪，不是高高在上高不可攀上鞠，一般智力的學生靜下心來通過正確思維訓練和熏陶模仿际邻，通過在解題中運用體會這些思想方法，大多數人是可以掌握的芍阎，即使在小學高年級也是可以學會大部分的世曾，初中或高中理解掌握起來就更容易了，大學就太晚了谴咸。這一套數學思想方法論是一得永得轮听，一悟永悟。領悟之后岭佳，在小初高或以后都能用血巍，其他理工科學習也能借鑒，數學思想方法論是終身受用珊随。
數學思想方法與數學知識的關系
? ? 不是說數學知識和低層次的數學方法不重要述寡，它們是基礎很重要，肯定要有豐富的知識儲備叶洞，數學思想方法雖然重要但也不是萬能的辨赐，在解題過程中思想和知識兩者缺一不可。數學知識和數學思想方法的關系好比魚和水的關系：只有魚沒有水京办，那魚會死掀序，只有數學知識，沒有數學思想方法惭婿，數學知識是死的不恭，不知怎么用到難題上叶雹，門都沒有，解題思路都沒有换吧，皮之不存折晦，毛將焉附。只有水沒有魚沾瓦，那就是一灘清水满着，只有數學思想方法卻沒有掌握足夠的數學知識和低層次的數學方法，那就是空談清談贯莺，巧婦難為無米之炊风喇，有心無力，只有將沒有兵缕探。數學思想方法是金手指魂莫，指方向定戰(zhàn)略找解題突破口，是高層次的爹耗，數學知識和低層次的數學方法是戰(zhàn)術執(zhí)行耙考，高低搭配良好配合才能解決難題。
? ? 綜上所述潭兽，真要有數學家的頭腦或良好的數學思維能力倦始，在數學思維過程中一定要有數學思想方法的教學和運用。那種閹割思維過程山卦，不講述思維過程鞋邑，只注重具體題目的解題方法，不讓學生明白和領悟解題方法是如何在思維過程中運用數學思想方法探索出來的教學方法怒坯，不給學生說明具體的數學方法(例如消元法)體現了什么數學思想方法，這些都是沒有思想的教學方法藻懒，是教育的失敗,是誤人子弟剔猿。點石成金，有幾個人不熟悉金子的嬉荆，關鍵是金子怎么來的归敬，是那個能點石成金的手指頭，這樣的手指頭不容易擁有鄙早，這個是難點汪茧。對數學難題，如果給出了題目的解題方法和解題過程限番，相信大多數學生自己都能看懂舱污，不需要老師花功夫講解。但這個解題方法是怎么想出來的弥虐，把解題方法想出來的思維過程扩灯，這個才是關鍵才是難點媚赖，也是大多數老師和書籍講不清楚或不愿意講的，這樣好比是直接給你魚珠插，不傳授漁惧磺，給你金子而不訓練你點石成金的手指頭。如果要培養(yǎng)數學頭腦數學思維捻撑，我們最需要的是點石成金的手指和漁磨隘，而不是金子和魚，雖然金子和魚也要顾患，數學思想方法指導下的思維過程就是數學領域中的金手指和漁番捂，但這個恰恰在教學過程中和學習實踐中被忽視。沒有思想的教育描验，造成培養(yǎng)出來的人自學能力和思維創(chuàng)新能力不足白嘁，缺少質疑和否定反思的習慣，絕大多數素質不高膘流，很少有領軍人物絮缅，這可能也是老校友錢學森提出世紀之問的一個原因。畢竟大多數人不可能自覺悟道數學思想方法呼股，我們的教學方式耕魄，導致沒有掌握數學思想方法的人很多，即使數學系的學生彭谁，還是其他專業(yè)的博士還是教授吸奴，無論是哪個學校，他們大多只是學的知識點多缠局，就如同看的新聞多而已则奥，缺少靈活運用的思維能力。
數學思想方法的重要性
? ? 本人在初中開始自學數學狭园，自己領悟數學思想方法读处。在80年代的農村學校，沒有現在隨處可見的參考書籍資料唱矛，沒有網絡和電腦罚舱，想提高只有自學。高中數學和物理幾乎不聽老師講課绎谦，也不做老師的作業(yè)管闷，因為一看就會，就靠自學幾本有些零星數學思想的數學參考書窃肠，邊學邊總結領悟包个，在高中對數學思想方法和數學思維有了較深入的領悟，也鍛煉了自學能力冤留。小初高數學一直非常好赃蛛，喜歡研究總結解題規(guī)律和數學思想方法恃锉，對思維方法也感興趣，玩數學思維必須要了解些思維學呕臂。本系列主體內容均來自初高中階段對數學的領悟破托。
? ? 1990年高考填自愿時曾想報考國際數學大師陳省身所在的南開大學數學系，聽老師建議上了西交大電氣工程系電器專業(yè)歧蒋，電氣工程屬于西交大的王牌土砂，電器是王牌中的王牌。北大屬于理科類大學谜洽，在工科類大學中萝映，90年代以及之前，西交大實力只在清華之后阐虚。下圖是1989年國家教委聯合國家權威機構在報紙上公布的工科大學排名序臂，不是現在社會機構的排名。老一輩有一些知道有這樣一句話:'北有清華实束，南有交大'奥秆，指的是當時的上海交大，但50年代交大西遷咸灿，從上海搬到西安后疫向，交大主體在西交纬凤，錢學森本科老師在西交嚎花。至于后來的衰落龟再，主要是因為改革開放后經濟發(fā)展、地理位置审胸、資金投入等原因亥宿，孔雀東南飛是趨勢。
? 從高中二年級上學期開始接觸某個和學習無關的領域砂沛，課余看那方面的書籍烫扼，有時晚自習之后外出到河堤上練一會，幾乎沒有考大學的焦慮和壓力尺上，還真不擔心自己能不能考上大學材蛛。在大學階段圆到，更是癡迷于那個領域怎抛，很少去上課也很少去圖書館，去圖書館也主要是看那領域的雜志芽淡，很少去上課马绝，即使上課也是心不在焉和中途逃課，大學4年絕大多數時間就是看那領域的書籍挣菲、打撲克升級和睡覺富稻，學習沒放在心上掷邦，也不覺得有必要放心上。大學考試時不只是數學椭赋，其他理工科課程考前突擊學習幾天就能考出不錯的成績抚岗，別人還以為是天才，數學競賽也能獲獎哪怔。數學思維上了層次宣蔚，其他理工科課程也能受益。這些就是靠上大學之前通過數學思想方法鍛煉出來的數學思維能力和自學能力认境，靠先前鍛煉出來的深厚的數學思維內功胚委。
? ? 個人覺得真領悟了數學思想方法，真會自學叉信，大學大多數理工科專業(yè)不難亩冬，至少本科，都是爛大街的知識硼身，不需要老師教硅急，自學就行，除非是很前沿的并且是沒有書籍的才需要精通的老師傳授和指點鸠姨。另外真的把數學自學能力鍛煉出來了铜秆，一般會識別書籍的質量好壞。理工科的書籍讶迁，看看目錄连茧，翻幾頁就知道書籍好不好，書籍作者的功底怎樣巍糯，好的書籍有較完整的體系啸驯，對概念之間、知識點之間的區(qū)別與聯系講的比較清楚祟峦，對難點和重點講的比較透徹罚斗，有一些方法論，有一定的思想深度宅楞，不能只有干巴巴的知識针姿。學校給個課程表，有圖書館等資源厌衙，找好書自學比絕大多數老師教的效果好多了距淫，并且還節(jié)約時間。
? ? 畢業(yè)后6年轉行到IT行業(yè)婶希，也沒覺得軟件編程有多難榕暇，看了幾本核心的書籍，半年就熟悉了軟件知識體系和核心技能，曾先后在華為(深圳)彤枢、阿里(杭州)狰晚、大疆創(chuàng)新從事軟件開發(fā)，擔任技術專家和軟件架構師缴啡。雖然高中畢業(yè)后就沒再鉆研數學壁晒，幾十年后，碰到小初高的難題和奧數題业栅，雖然是沒見過的題型讨衣，絕大多數題仍能運用數學思想方法探索出解題方法。即使是一些小學數學難題或奧數題式镐，沒有掌握扎實的數學思想方法和思維方法反镇，博士教授也是束手無策無可奈何。真正數學好不只是難度大的考試分數高娘汞，這個只是必要不充分條件歹茶，充要條件是掌握數學思想方法，這個真掌握了你弦，考試分數不在話下惊豺，考試成績必然好。悟道了數學思想方法論禽作，才能保證思維靈活上層次尸昧，才能反哺其他理工科課程的學習，要感覺學其他理工科課程也輕松旷偿，例如物理和其他理工科課程烹俗。理工科自學能力和多年后解決新題型數學難題的能力，以及是否能把數學思想方法與哲學思想融匯貫通萍程，相互印證的能力幢妄，是驗證自己是否真掌握數學思想方法，是否在數學領域真開竅真開悟以及悟道層次的一種有效方式茫负。
? 現在的年代接受初等教育和高等教育是很容易的蕉鸳，現在的文盲不是不識字和沒知識的人，而是不會自學忍法，不知道思想方法重要性的人潮尝，沒有系統(tǒng)掌握思維方法，沒有正確思想方法論的人饿序。
是否有必要學奧數
? 數學學習勉失，我們除了要掌握數學知識點之外，學有余力且有興趣在數學思維方面進一步提升自己的同學嗤堰，在初高中階段還要注重接受數學思想方法的熏陶和學習戴质，這才是本，學奧數的主要目的也是為了領悟數學思想方法踢匣，通常奧數里面的數學思想方法的內容多一些告匠，奧數題也比較適合用來闡釋數學思想方法，當然并不一定只有奧數題才能起到這個作用离唬，用一些簡單的題或有些難度的題也適合用來闡釋數學思想方法后专，所以學奧數是末，數學思想方法才是關鍵本質输莺，不要本末倒置戚哎。
? 大多奧數培訓和數學思維培訓都是本末倒置和掛羊頭賣狗肉，不注重數學思想方法的奧數培訓班很多嫂用，這就是在忽悠學生和家長型凳。缺少數學思想方法教育的奧數是走邪路，誤人子弟嘱函。參加這樣的培訓班甘畅，雖然比不參加的要強，但因為沒有思想方法往弓，所以只是短期有效果疏唾，不能走遠，難以獨立解決新的難題函似。另外即使打著數學思維培訓的幌子槐脏，真正有水平的數學思想的培訓很少。另一方面是有關部門不作為撇寞，教學大綱中缺少數學思想方法的教學顿天，只提及從牙縫里滲透一點數學思想方法，至今沒有初高中階段的數學思想方法課本蔑担，只有純教數學知識點的課本露氮。對老師的數學思想方法的水平也沒有作考核和要求。
哲學層面的理解
? 數學思想方法是數學思維中的道钟沛，但還不是最高的道畔规，它還只是具體學科中的道。哲學研究世界觀和方法論恨统，也就是形而上的道叁扫，這個就比數學中的道層次要高一些⌒舐瘢科學的科學是哲學莫绣，任何具體科學或任何學問，沒有上升到形而上的哲學層面（道）悠鞍，總是處于形而下（具體學科中的道和術）对室，那通常說明這種科學和學問還沒完全成熟，還不完美，境界還不夠高掩宜，類似地蔫骂，如果個體/個人沒有悟道形而上的道，那就說明他的思維層次還不夠高牺汤。這里我們來高大上一下辽旋，和哲學套下近乎，這些數學思想再升華到哲學上檐迟，就是辯證法辯證思維：矛盾觀补胚，矛盾對立統(tǒng)一，相互轉化追迟；聯系觀溶其，萬物普遍聯系/關系，聯系的多樣性敦间、普遍性握联、客觀性等，聯系是橋梁是紐帶每瞒。以及運動發(fā)展觀金闽，整體觀、質變量變剿骨、否定之否定代芜。這些哲學思想必須要能指導具體科學，指導思考過程浓利、幫助人們理解思維規(guī)律挤庇。
? 聯想、類比贷掖、歸納嫡秕、抽象等等這些數學思想歸根揭底是萬物包括數學對象之間存在各種類型的聯系和對立統(tǒng)一，才衍生出這些數學思想方法來反應聯系的多樣性和普遍性苹威。
? 即使是知識點和各種概念昆咽，也應該要融匯貫通，知曉它們之間的聯系關系和區(qū)別牙甫，要有這樣的習慣和意識掷酗。簡單的如加法和乘法的聯系，可能學生們覺得這個聯系太簡單了窟哺，以致于不重視這種習慣泻轰。其實應該給他們多講幾個深刻些的例子來重視培養(yǎng)這種習慣。例如且轨，我在教小孩用抽屜原理解題時浮声，忽然聯想類比到平均數虚婿，意識到抽屜原理和平均數之間的關系，抽屜原理就是離散情況下的平均數泳挥，又給他補充講解離散/量子和連續(xù)的區(qū)別和關系然痊，借助連續(xù)情況下的平均數讓他理解抽屜原理中有時加1有時不加1是為什么，這樣就把零散的知識點連成片羡洁，融匯貫通形成知識網絡知識體系結構，借助對容易理解的平均數爽丹，加深了對抽屜原理的理解掌握筑煮。在教小孩將軍飲馬問題時，同時教他光反射定律粤蝎，將軍飲馬走的最短路線就是光反射時走的路線真仲，告訴他光真聰明，將軍或馬如果是光初澎，就會自動走最短線路秸应，就不需要你來解將軍飲馬問題了，讓他明白大自然的神奇碑宴，也讓他明白事物之間存在各種關聯和聯想類比软啼，再讓他總結光反射和將軍飲馬中都有對稱。
數學中研究各種關系包括數量關系延柠，要善于觀察發(fā)現題目中隱藏的關系祸挪，利用好關系。
真能了解萬物的普遍聯系贞间，建立了關系網絡贿条，融匯貫通，沒有孤島增热，又加上沒有知識盲點整以，那就會游刃有余，左右逢源峻仇，隨心所欲公黑，思維豈能不靈活？
? 碰到問題時和解題碰壁時摄咆，要多方面多維度反思：反思先前的觀察和審題的視角是否有問題帆调，是否能從新的角度來觀察和審題；反思是否用好和用足了已知條件和結論豆同；反思先前的思想方法和解題行動番刊。在反思基礎上做出調整。
? 數學問題千變萬化,對應地影锈，我們的思維也要靈活地變化芹务。要想既快又準的解題,總用一套固定的方案是行不通的,必須具有思維的發(fā)散性蝉绷、靈活變通性：善于根據題設的相關知識,提出靈活的設想和解題方案，碰壁時能及時反思枣抱，調整變換思路熔吗，這就是解題策略或思維策略。思維要靈活地變化佳晶，但并不是天馬行空桅狠，變中也有不變，一定程度上也是有章可循的轿秧，這就是升華總結出來的一套思想方法論(包括解題策略方法論)中跌。
? 思維要靈活變通，很大程度上離不開發(fā)散思維菇篡、辯證思維漩符，解題策略：如抽象化原則，利用抽象與具體的辯證關系來解題(抽象化原則：當覺得陷入具體化的泥潭中時驱还，要對問題進行抽象嗜暴，去粗取精去偽存真，過濾剝離一些非本質的噪聲和干擾因素议蟆，得到本質的抽象的問題描述和本質的問題模型闷沥，在抽象的基礎上進行研究，再把研究結果運用到原來的問題上咐容；具體化原則：當對抽象的問題沒有經驗狐赡，缺少感性認識和理性認識時，以退為進疟丙，先研究具體的簡單的簡化的情況颖侄，得到感性認識、經驗享郊、啟發(fā)览祖、規(guī)律，有一些經驗或理性認識之后再回到抽象問題上炊琉≌沟伲總體上，靈活運用抽象和具體的關系進行變通就是一句話：抽象不行就具體苔咪，具體不行就抽象)锰悼，利用一般與特殊的辯證關系來解題。解題策略不全是辯證思維团赏，一些解題策略如基于特征驅動的思維箕般、合情推理、合情假設&合情設想&猜想&想象舔清、基于意圖的思維等就不屬于辯證思維丝里，但通常在解題中要結合辯證思維曲初。
? ? 古代典籍例如道德經和易經中就處處體現辯證思維，例如道德經第②章中的'有無相生杯聚，難易相成臼婆，長短相較，高下相傾幌绍，音聲相和颁褂，前后相隨'。反者道之動傀广，我們要善于運用辯證法中矛盾的對立統(tǒng)一相互聯系相互轉化來解題颁独。在解題過程中包括反思過程中，辯證法的矛盾觀主儡，對立統(tǒng)一奖唯，以及普遍聯系觀等都對我們的解題思維有助益和指導惨缆，在解題中要靈活運用如下存在對立統(tǒng)一辯證關系的概念來幫助思考問題糜值，這是一套辯證思維詞匯表，指導我們思考過程中的解題策略坯墨，勇于用開放的心態(tài)有意識的打破思維定勢和機械教條寂汇，走出思維死胡同和思維障礙，多維度多角度全面思考問題捣染，數學課本中特有的逆運算和概念以及存在相互聯系骄瓣、相互轉化的、相對的耍攘、相反的概念和知識點在辯證思維詞匯表中就不列出了榕栏，例如加與減、加與乘蕾各、各種運算與逆運算(如平方與開方扒磁、對數與指數)、函數與反函數式曲、定理與逆定理妨托、數與形、奇數與偶數吝羞、代數與幾何兰伤、方程與函數、方程&等式與不等式钧排、最大值與最小值敦腔、點與線、線與面恨溜、平面與立體会烙、抽屜原理與平均數负懦。
辯證思維詞匯表
? 詞匯表內容：對立與統(tǒng)一、和諧與不和諧柏腻、互補&相容與互斥纸厉、具體與抽象、特殊與一般五嫂、直接與間接颗品、思想與方法、形式與內容沃缘、感性認識與理性認識躯枢、直覺與理性、純粹性和完備性槐臀、邏輯思維與非邏輯思維锄蹂、邏輯與直覺、二值邏輯思維與多值思維&模糊思維&辯證思維水慨、辯證邏輯與形式邏輯得糜、個性與共性、求同與求異晰洒、重復與唯一朝抖、泛化與窄化、同構與異構谍珊、相同-相近(相似)-相異-相反治宣、相關與無關、相似與接近砌滞、局部相同/相近與整體相同/相近侮邀、模式與同構、狀態(tài)與過程贝润、問題空間與解空間绊茧、融合與沖突(分歧)、內在與外在题暖、現象(表象)與本質按傅、形(象)與質(神)、形似與神似胧卤、目標(目的唯绍、意圖)與手段&做什么與怎么做、機制與策略枝誊、過程與結果况芒、原因與結果、條件與結論(題設叶撒、已知條件與目標結論/答案绝骚，證明題中的結論也相當于是已知條件)耐版、充要條件與必要條件&充分條件、等價(等效)與不等價压汪、歸納與演繹粪牲、合情推理與演繹推理、體與用止剖、形而上與形而下腺阳、主要(關鍵、重點)與次要(輔助)穿香、主與次(從亭引、輔)&主與客、主角與配角皮获、動與靜焙蚓、平等與等級(尊卑碉纳、歧視)残揉、自由與約束(限制)雅任、孤立&獨立與聯系(聯合)措近、依賴與獨立、部分&個體&局部與整體&群體&系統(tǒng)&集合丁眼、完整與殘缺、元素與集合&個體與集體、點與線将宪、線與面、平面與立體橡庞、平面與曲面较坛、二維與三維&多維、符合(滿足)與違背違反(反例）扒最、不規(guī)則與規(guī)則丑勤、規(guī)范與不規(guī)范、形式化與非形式化吧趣、質變與量變法竞、突變與漸變、結構-(屬性)性質-功能(作用)强挫、形式與功能岔霸、性質與特征、定量與定性俯渤、包容與排斥呆细、少數與多數、常規(guī)與非常規(guī)八匠、推理與想象&猜想&設想絮爷、否定與繼承趴酣、決定性與輔助性、作用與反作用坑夯、相關(關聯)與無關(獨立)岖寞、任意與限定、限定與非限定柜蜈、物理與邏輯慎璧、通用與專用、分裂&分類與統(tǒng)一跨释、線性與非線性胸私、靈活與呆板、破與立鳖谈、進與退岁疼、升格與降格、歷史與邏輯缆娃、解構與重構捷绒、趨同(同一化、統(tǒng)一化贯要、標準化暖侨、規(guī)范化、模式化)與向異崇渗、保守與激進字逗、理想與現實、粗略與細致宅广、良性與惡性葫掉、膚淺與深刻、簡單與復雜跟狱、難與易俭厚、已知與未知、確定與待定驶臊、確定性與不確定性挪挤、可控與不可控、構造性與非構造性关翎、構成與生成扛门、預設與生成、發(fā)揚(選擇笤休、繼承)與拋棄尖飞、取與舍、熟悉與陌生、變量與常量政基、順應與同化贞铣、改造(改進、變更)與創(chuàng)造沮明、同化&歸一化與異化辕坝、障礙(矛盾)與助益、（目標)意圖與(功能)功用荐健、變化與恒定(穩(wěn)定)酱畅、嚴謹與猜想(想象設想)、嚴格與寬松江场、完備與欠缺纺酸、通用與專用、一元與多元/單一與多樣&多元&多面址否、增與減&遞增與遞減餐蔬、高與低、目標意圖與功能實現佑附、美與丑樊诺、平衡與失調(傾向)、平均與參差音同、擬合與逼近词爬、公平(均衡、中庸調和)與偏向权均、深度與廣度顿膨、和諧與沖突、規(guī)整(秩序)與雜亂螺句、耦合與解耦虽惭、緊耦合與松耦合橡类、折疊與展開蛇尚、松散與緊密、分解與組合(聚和)&分與合顾画、分解與重組(重構)取劫、混亂與秩序(有序)、熵增與熵減研侣、分析與綜合谱邪、內(里)與外(表）、主觀與客觀庶诡、主動與被動惦银、攻與守、主與從、自變量與因變量扯俱、絕對與相對书蚪、時間與空間、統(tǒng)一與分裂(分化)迅栅、偶然與必然殊校、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術、本(基礎)與末读存、根源與末流为流、聚與散、先與后让簿、頭與尾敬察、開始與結束、虛與實尔当、實在與虛構/虛擬静汤、自然物與人造物、存在與構造居凶、存在與虛無虫给、新與舊、有與無侠碧、遞推與遞歸抹估、前驅與后繼、過去-現在-未來弄兜、先天與后天药蜻、無為與有為、平衡與失衡替饿、來與往语泽、凸與凹、直與曲视卢、橫向與縱向踱卵、真與假、是-否-未知据过、成與敗惋砂、得與失、長與短绳锅、顯與隱(潛)西饵、有形與無形、剛與柔&剛性與柔性鳞芙、明與暗眷柔、陰與陽期虾、左與右、上與下驯嘱、前與后彻消、進與出、臺前與幕后宙拉、順與逆宾尚、升維與降維、高維與低維谢澈、升次與降次煌贴、高階與低階、弱化(退化&泛化)與強化锥忿、疊加與分離牛郑、折疊與展開、扭曲與還原敬鬓、開放(開)與封閉(閉)淹朋、分(開)與合、分散(分布)與集中&聚與散钉答、發(fā)散與收斂&定向础芍、放與收、寬泛與嚴格数尿、允許與禁止仑性、連續(xù)與離散、連貫與跳躍右蹦、相同(統(tǒng)一)與不同 (差異)诊杆、區(qū)別與聯系、有限與無限何陆、極大與極小晨汹、精確與近似、模糊與清晰贷盲、有序與無序(混亂)淘这、動(運動)與靜(靜止)/靜態(tài)與動態(tài)、割(拆分)與補(拼湊)&裁剪與增補晃洒、解構與整合慨灭、忽略與保留、正面與反(側)面球及、放與縮/放大與縮小/擴張推廣&收縮內聚、正與反呻疹、正道與岐道吃引、順與逆筹陵、損與益、消與長镊尺、彼與此朦佩、優(yōu)與劣、好與壞庐氮、快與慢语稠、大與小、最大與最小弄砍、最大(小)與極大(小)仙畦、程式化模式化與個性化&靈活性、微與著音婶、宏觀與微觀慨畸、強與弱、用弱(懷柔)與用強衣式、多與少寸士、遠與近、利與弊碴卧、有界與無界弱卡、廣義與狹義、決定與影響住册、直譯與意譯谐宙、先決條件(前置)與后置條件、優(yōu)先與平等界弧、矛盾與和諧凡蜻、明示與暗示、巧與拙垢箕、硬與軟划栓、活性與惰性、對與錯条获、肯定與否定忠荞、經驗與創(chuàng)新、原型與模型帅掘、串聯與并聯委煤、馬甲與本真、轉化-轉移-轉換(變換)修档、改造與構造碧绞、名詞與動詞、想與做吱窝、思維與思想讥邻、(數據)信息與方法迫靖、想什么與怎么想、P問題與NP問題兴使、what與how(是什么系宜、想什么、做什么與怎么想发魄、怎么做)盹牧、and與or(與和或）、and與not等励幼。
這套詞匯表幾乎囊括了在數學思維過程中需要關注的對立面汰寓，以及一些相關的、相近的發(fā)散維度赏淌，在"對立面進退互化"解題策略中會用到這些對立面踩寇。
? 我們熟知數學中一些常用的思維方法和策略：數形結合、正難則反六水、抽象到具體俺孙、一般到特殊/特殊化、直接到間接(迂回策略)掷贾、以簡馭繁睛榄、數形結合、進退互用想帅、化生為熟场靴、倒順相還、動靜轉換港准、分合相輔旨剥。其實基于上面的對立統(tǒng)一辯證思維詞匯表衍生出來的“相互結合、相互轉化”的數學思想和策略遠遠不只這10多種浅缸，至少可以上百種：例如除了我們熟知的“數與形”衍生出的“數形結合思想”轨帜，上面列出的一長串(至少200多種)存在辯證關系的每對概念(概念對)都可以衍生出對應的結合思想或進退互化解題策略，例如辯證思維詞匯表中的”宏觀與微觀”可以衍生出”宏微結合思想”及”宏微相互轉化策略”衩椒。再考慮多維度的組合蚌父，例如每個維度有N種策略，那兩個維度就有種策略毛萌，它們都是在數學解題中(也不限于數學領域苟弛，在其他領域也是適用的，例如物理)可能用來幫助我們切換思維視角和思維方向阁将，確定或重新定位思維起點和切入點(突破口)膏秫，進而指引我們探索解題途徑的，啟發(fā)我們靈活思維的冀痕，例如變更數學題的一些形式荔睹、變更思維的內容或變更解題操作狸演。舉個例子言蛇，辯證思維詞匯表中的抽象與具體僻他，當我們碰到抽象的數學題時，如果不好解決腊尚，那就變?yōu)榫唧w問題吨拗，從解決具體問題中獲得經驗啟發(fā)規(guī)律之后，再回到抽象問題婿斥，此時可能就有解決方法了劝篷，這就是抽象到具體的解題策略，也是辯證法的否定之否定的循環(huán)往復之道(抽象到具體民宿，再到抽象)娇妓，反過來就是具體到抽象的策略。
辯證思維詞匯表不可小看活鹰，在解題中要能想到這些哈恰，時刻提醒自己要辯證看問題，在數學知識學習過程中也會碰到很多這樣存在對立統(tǒng)一或相對的志群、相互聯系的或有相似性的一些概念和運算着绷，例如乘法與除法、加與減锌云、相反數荠医、倒數、遞增與遞減桑涎、最大值與最小值彬向、各種反函數和逆運算。每個學數學的都應該有類似如上的一套詞匯表攻冷，當然也不限于這些娃胆，在實踐中要不斷地豐富它完善它，或根據具體問題讲衫、具體題目的已知條件缕棵、結論在數與形方面的各種特征來聯想出&提取出存在辯證關系(存在相對的、相似的涉兽、相反的招驴、相互聯系的)概念對。辯證地看問題絕不是很多人理解的那樣枷畏，認為是一句空話别厘，是耍滑頭的詭辯拥诡，在第三篇文章以及后續(xù)的文章中將看到我們實實在在地利用一些辯證關系在幫助解題触趴，例如抽象與具體氮发，一般與特殊，直接與間接冗懦、數形結合(數與形)爽冕、圖形特征中的封閉與展開(數學思想方法揭秘3-3中第3題的具體與抽象、第7題中的封閉與展開等)披蕉。再比如常量/數字與變量(未知數)颈畸，它們的界限和劃分不是一成不變的，在解題時有時要把常量/數字看成變量没讲，看成變量的一個具體取值眯娱，把題目中的變量看成常量，變量和常量角色相互轉化爬凑，這個常量與變量的辯證關系也有具體的解題例子來作示范徙缴。先前講到的抽象和具體的靈活運用，正向思維和逆向思維嘁信，都是說明要靈活辯證的看問題于样，不要固化僵化自己的觀點、視角吱抚、思維百宇。這套詞匯表和辯證思維是指導我們靈活變通思考問題的，辯證法就是靈活的變化法秘豹。在解題反思携御、解題策略制定、數學思想方法的運用上它們都能發(fā)揮戰(zhàn)術戰(zhàn)略上的指導作用既绕。解題反思的核心是總結和識別解題過程中的經驗和教訓啄刹，肯定要有辯證思維。解題策略例如正難則反的逆向思維凄贩、基于特征驅動的思維(基于特征展開思維誓军，進行聯想類比等思維活動)，還有直接不行就間接疲扎，抽象不行就具體昵时，具體不行就抽象，這些解題策略其實都是來源于這套詞匯表椒丧，那一個不體現辯證思維壹甥？數學思想方法中的轉化，將復雜轉化成簡單壶熏、不熟悉變成熟悉句柠，這些也是來自這套詞匯表，都體現了辯證思維。在比如數形結合思想溯职，也是因為有數與形的辯證關系精盅。
? 真體會到如何利用辯證法來解決數學問題，真在數學解題中有實證谜酒，就能體會到辯證法在數學思維過程中的巨大指導作用叹俏，它可幫助我們制定解題策略(廣義上就是思維策略)。學以致用甚带，理論要用于實踐她肯，學了辯證法卻在具體的學科中例如數學中不會運用它佳头，沒有實際體會到它的作用的人鹰贵，學的是死的辯證法，碰到難題康嘉，連紙上談兵都不如碉输，我們要活學活用靈活使用。數學思想方法體現了辯證法亭珍，數學思想方法結合辯證法在數學中的靈活運用見數學思想方法揭秘-3-1敷钾、數學思想方法揭秘-3-3等文章，將會看到如何利用辯證法中的一些觀點來指導解題思維過程肄梨，例如矛盾觀點來指導我們的解題策略阻荒，例如具體與抽象、特殊與一般众羡、直接與間接侨赡。
? 從數學問題域到解決方案域，就是從起點(已知條件)到目標終點(答案)的狀態(tài)空間的逐步遷移粱侣，在起點到目標終點(答案)之間羊壹，存在很多路徑或者不知道有什么路徑，特別是最開始的路徑齐婴，此時我們要善于運用數學思想方法和解題策略來探索/發(fā)現解題路徑解題思路油猫，一步步接近終點。
? 有意識和無意識柠偶，自覺和自發(fā)情妖，科學和藝術，從認識論的角度來講一下诱担。我思故我在淮捆，如果你平時沒有掌握一些數學思想方法或完整的數學思想方法論，沒有辯證思維意識習慣漏峰，沒有掌握上面提到的的辯證思維詞匯表障陶，你碰到問題就很難有意識地自覺利用這些思想方法，就難以辯證思維，難以從辯證思維詞匯表的多角度出發(fā)來靈活思考問題秦效，你的思維層次難以達到應有的高度雏蛮，不識廬山真面目，只緣身在此山中阱州，思維靈活性一般也是受限的挑秉，你的認識是自發(fā)的，無意識的苔货，此時主要靠你的偶然性因素和無意識的習慣和潛意識犀概，例如可遇不可求的靈感，靠天才的思維藝術而不是科學思維夜惭。例如一些幾何題姻灶，如果你心中有辯證思維詞匯表中的不規(guī)則和規(guī)則、整體和局部诈茧、割與補的辯證關系概念對产喉，大腦思緒在它們的引導下，那你就能自覺識別出或自覺認識到幾何圖形的不規(guī)則性敢会，能較快地想到把不規(guī)則圖形修補成規(guī)則圖形來解題曾沈，相反，如果你沒有掌握這些鸥昏，那你可能運氣好碰巧能認識到圖形的不規(guī)則性或走了較多彎路塞俱，花費較長時間無意識自發(fā)地認識到圖形的不規(guī)則性。
? 有意識思考和無意識思考存在辯證關系吏垮，是相互聯系相互轉化的障涯。我們要提高思維能力，一般是先有意后無意惫皱，當然也不排斥先無意再有意像樊，例如靈感直覺思維到邏輯思維。先有意后無意：先經過有意識的思考旅敷，逐步培養(yǎng)無意識的習慣生棍，例如我們先有意識地運用本系列講述的數學思想方法和策略、各種思維方法(邏輯思維媳谁、直覺思維涂滴、發(fā)散思維、辯證思維晴音、批判思維）和辯證思維詞匯表柔纵，大腦中就會逐漸潛移默化，融入到下意識锤躁，變成我們無意識的思考習慣搁料，以后碰到問題就能比較自然地運用。
