有學過微積分的讀者畦韭，不妨先嘗試求下面這個定積分：
或許很快就會發(fā)現(xiàn)湿颅，微積分教科書里面提到的幾個積分求解辦法艘虎，包括換元法（Substitution）斋射，分部積分法（Integration by parts）或者部分分式法（Integration by partial fraction）均不能求得上面定積分。這道題實際上是幾年前印度理工學院入學考試JEE Advanced的題目之一蕾额。該考試的難度甚高早芭，能通過考試并獲得錄取的學生只有1%不到！诅蝶！
回到上面積分退个。這里引入一個讀者或許沒見過的積分公式：
這個公式很漂亮，首先被積函數(shù)里面是由f(x)和其變換后的f(a+b-x)組成的分式帜乞。另外，其結(jié)果剛好是上限b與下限a之差的一半筐眷。利用這個公式來解原來的積分黎烈，就變得十分簡單。
首先匀谣，令?照棋。
于是?
(不記得三角函數(shù)余角恒等式的讀者自己反省一下)。
因此武翎，原定積分可以寫成：
十分簡潔Ａ姨俊！
接下來宝恶，我們證明這個積分公式的正確性符隙。
首先，使用換元法垫毙，令u = a + b - x霹疫。可得x = a + b - u, 以及du = -dx, 即-du = dx综芥。
又有當x = a時丽蝎，u = b；當x = b時膀藐，u = a屠阻。因此，原定積分可以換成u為變量的定積分：
現(xiàn)在定積分的上下限顛倒了国觉，但是與du前面的負號結(jié)合，又可以顛倒回去臊泰，于是：
這一步是證明中最難轉(zhuǎn)過彎來的。首先我們要知道被積函數(shù)中的變量成為啞變量（Dummy Variable）缸逃，它用什么字母根本沒關(guān)系针饥，因為到最后，它需要被替換成上下限需频，求反導數(shù)值之差丁眼。又因為上面換元后定積分的上下限與原定積分一致，即a為下限昭殉，b為上限苞七，且a小于等于b藐守。因此，積分值I(x):
因此，這個換元后定積分實質(zhì)是原定積分的一個等價形式惠啄。于是慎恒，2I(x)等于這兩個等價的定積分相加：
因此趋距，得：
證畢粒氧！
