均勻靜止理想流體小振幅波運(yùn)動(dòng)方程

還是熟悉的圖,假設(shè)各時(shí)空壓強(qiáng)滿足p=p(x,y,z,t)

根據(jù)壓強(qiáng)分析上圖所示微元受力情況曙砂,首先分析x方向上AB面所受壓力:
\overset{\rightarrow}{F_{A}}=dydz(p-\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2}dx)\overset{\rightarrow}{i}

\overset{\rightarrow}{F_{B}}=-dydz(p+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{1}{2}dx)\overset{\rightarrow}{i}

得到x方向上所受到的力:
\overset{\rightarrow}{F_{x}}=-dxdydz\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}=-dV\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}

個(gè)方向上受到的合力:
\overset{\rightarrow}{F}=-dV(\frac{\partial p}{\partial x}\overset{\rightarrow}{i}+\frac{\partial p}{\partial y}\overset{\rightarrow}{i}+\frac{\partial p}{\partial z}\overset{\rightarrow}{i})=-dVgradp=-dV\bigtriangledown p

代入牛二定律得:
m\overset{\rightarrow}{a}=-dV\bigtriangledown p

\rho\frac{d\overset{\rightarrow}{u}}{dt}=-\bigtriangledown p

根據(jù)均勻靜止理想流體小振幅波的條件p_{0}艇拍、\rho_{0}為常數(shù)狐蜕,u_{0}為0:
p=p_{0}+\Delta p

u=u_{0}+\mu

\rho=\rho_{0}+\Delta\rho

代入條件得:
(\rho_{0}+\Delta\rho)\frac{d\overset{\rightarrow}{\mu}}{dt}=-\bigtriangledown\Delta p

(\rho_{0}+\Delta\rho)(\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial z}\frac{dz}{dt})=-\bigtriangledown\Delta p

由小振幅波的條件可知,\Delta\rho卸夕、\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}层释、\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial x}\frac{dx}{dt}等均為一階小量快集,方程最后化為:
\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+...=-\bigtriangledown\Delta p

其中省略部分包含二階和三階小量贡羔,相較于一階小量\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}可以忽略不計(jì),因此運(yùn)動(dòng)方程化為:
\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}=-\bigtriangledown\Delta p

另外碍讨,對(duì)方程兩端時(shí)間積分得歐拉方程(流體力學(xué)):

\overset{\rightarrow}{\mu}=-\frac{1}{\rho_{0}}\int\bigtriangledown\Delta pdt

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