中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
集合吼蚁、函數(shù)與命題
1. 集合與函數(shù)
1.1. 常用集合
對與數(shù)集，有時我們在表示數(shù)集的字母的右上角標上“*”來表示排除0 的集染乌，標上“+”來表示排除0 與負數(shù)的集。常用集合符號如下：
- R懂讯，表示數(shù)軸上所有實數(shù)的集合荷憋，R*表示僅非零實數(shù)集，R+表示全體正實數(shù)集褐望；
- ?空集記作勒庄，且規(guī)定空集是任何集合A的子集
- N = {0,1,2,3,…,n,…}，非負整數(shù)集(自然數(shù))集合瘫里；N*或N+ = {1,2,3,..,n,…}实蔽，正整數(shù)基；
- Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}谨读，整數(shù)集局装；
- Q = {p/q|p∈Z,q∈N+且p與q互質(zhì)}，有理數(shù)集漆腌；
1.2. 集合關(guān)系
設(shè)A贼邓、B 是兩個集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素闷尿，則稱A 是B的子集塑径，記作A?B（A包含于B）或B包含A。如果集合A 與集合B 互為子集填具，即 A?B（A包含于B）且B包含于A 统舀，則稱A=B。若A?B且A≠B劳景，則稱A是B的 真 子集誉简，記作A?B,例N?Z?Q?R。A∪B={x|x∈A 或x∈B}盟广，并集闷串；A∩B={x|x∈A 且x∈B}，交集筋量；A\B={x|x∈ A 且x?B}烹吵。
設(shè)A 碉熄、B 、C 為任意三個集合肋拔，則有下列法則成立锈津。交換律A∪B = B∪A；結(jié) 合律(A∪B)∪C = A∪(B∪C)凉蜂；分配律(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)琼梆；補集C<sub>u</sub>A={x|x∈U，且x?A}窿吩，A∪(C<sub>u</sub>A)=U茎杂，(C<sub>u</sub>A)∪(C<sub>u</sub>B)= C<sub>u</sub>(A∩B)；對偶律(A∪ B)C = AC∩BC纫雁。對偶律的第一個等式蛉顽，兩個集合的并集的**余集**等千它們的余集的交集＂證明有：x∈(AUB)<sup>c</sup> ? x?A∪B（或） ? x∈A<sup>c</sup>∩B<sup>c</sup>（且），所以(A∪B)<sup>c</sup> ? A<sup>c</sup>∩B<sup>c</sup>先较。
1.3. 函數(shù)（映射）區(qū)間與鄰域
設(shè)a和b都是實數(shù)，且a<b,數(shù)集{x|a<x<b}悼粮，此為開區(qū)間（a闲勺，b） = {x|a<x<b}。開區(qū)間[a扣猫，b] = {x|a≤x≤b}菜循，半開區(qū)間（a，b] = {x|a<x≤b}申尤。[a癌幕，+∞） = {x|x≧a}，（-∞,b） = {x|x<b}都是無限區(qū)間昧穿。
設(shè)δ是任一正數(shù)勺远，則開區(qū)間(a-δ,a+δ) 就是點a 的一個鄰域，為點a 的δ鄰域时鸵，記作U(a,δ)胶逢，即U(a,δ)={x|a-δ<x<a+δ}={x||x-a|<δ}。a 的去心δ鄰域饰潜，記作Uo(a,δ)初坠，即Uo(a,δ)={x|0<|x-a|<δ}。
復(fù)合函數(shù)彭雾。復(fù)合映射fog:X→Z中碟刺，g:Dg→Y1，f:Y2→Z薯酝。其中Y1包含于Y2半沽，則由映射g和f可以得到從X到Z的對應(yīng)法則爽柒，它的x∈X，對應(yīng)f[g(x)] ∈Z抄囚。復(fù)合函數(shù)y = f[g(x)]霉赡，x∈Dg，稱為由函數(shù)u = g(x)與y = f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)幔托，定義域為Dg穴亏，變量u為中間變量。
反函數(shù)重挑。逆映射f-1對應(yīng)的f-1(y) = x嗓化。設(shè)f：[-π/2,π/2]→[-1,1]，對每個x∈[-π/2,π/2]谬哀，f(x)=sin x刺覆。此f是一個映射，其定義域Df=[-π/2,π/2]史煎，值域Rf=[-1,1]谦屑。f-1，即f的逆映射g：Df-1 = Rf → X篇梭，g(x)=f-1(x)=arsin x氢橙，其定義域Df-1∈[-1,1]。反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域分別是f(x)的值域和定義域恬偷。在圖像上悍手，該互為反函數(shù)的y=f-1(x)與y=f(x)關(guān)于直線y=x對稱。
1.4. 函數(shù)范例
1.4.1. 常用函數(shù)
常數(shù)函數(shù)：y=2袍患，D=（-∞坦康，+∞) ，W={2}诡延。
多值函數(shù)：以“X2+Y2= r2且y≥0” 作為對應(yīng)法則滞欠，就可得到一個單值分支 y= y1(x) = √(r2-x2)；若附加 “y≤0”的條件孕暇，就可得到一個單值分支 y= y2(x) = -√(r2-x2)仑撞。
-
絕對值函數(shù)：
-
符號函數(shù)：D=（-∞，+∞) 妖滔，Rf={-1,0,1}隧哮，x = sgn x *|x|。
取整函數(shù)：y = [x]座舍，對于圖像為階梯函數(shù)沮翔。
狄利克雷函數(shù)：
1.4.2. 基本初等函數(shù)
冪函數(shù)：y = xu(u∈R)；
指數(shù)函數(shù)：y = ax(a>0且a≠1); 對數(shù)函數(shù)：y = logax(a>0且a≠1), y = ln x曲秉；
-
三角函數(shù)：y = sin x(x∈R), y = cos x, y = tan x(x∈R\ {x|x ≠ Π/2 + kΠ, k∈Z})采蚀；反三角函數(shù)：y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x等疲牵；
余切函數(shù): y = cot x, x∈R\ {x|x ≠ kΠ, k∈Z}; 反正弦函數(shù)：y = arcsin x,D=(-1，+1),R=(-Π/2,Π/2); 反余弦函數(shù)：y = arccos x, D=(-1榆鼠，+1),R=(0,Π); 反正切函數(shù)：y = arctan x, D=(-∞纲爸，+∞),R=(-Π/2,Π/2); 反余切函數(shù)： 三角函數(shù)乘積變換和差公式： 兩同相乘得兩cos，二分sin對減來cos對加妆够，cos減前要加負识啦。兩不同對兩sin，二分sincos加來cossin減神妹。 sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2颓哮； cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2； sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2鸵荠； cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2. 三角函數(shù)和差變換乘積公式： 兩s和差兩不同冕茅，加對sincos來減對cossin，2倍各有二分A+-B蛹找。 兩c和來兩c乘姨伤，兩c差來負兩sin。 sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]庸疾； sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]姜挺； cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]； cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]; tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB). 三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化公式: 平移存在左加右減彼硫，上加下減 sin(-α)=-sinα;cos(-α)=cos(α); sin(π/2-α)=cosα;cos(π/2-α)=sinα; sin(π/2+α)=cosα;cos(π/2+α)=-sinα; tan(α)=sinsinα/cosα; tan(π/2+α)=-cotα;tan(π/2-α)=cotα; tan(π+α)=tanα;tan(π-α)=-tanα. 二倍角公式： 正弦有sin(2A)=2sin(A)cos(A) 余弦有cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A); cos(2A)=2cos^2(A)-1; cos(2A)=1-2sin^2(A) 弦注xian
1.5. 函數(shù)性質(zhì)
- 函數(shù)的有界性，即函數(shù)在X上有界的充分必要條件時它同時具備上界和下界凌箕。
- 函數(shù)的單調(diào)性（對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2拧篮，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)小于或者大于f(x2)）牵舱，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)串绩。
- 函數(shù)的奇偶性，定義域D原點對稱芜壁。對于任一點x礁凡，偶函數(shù)f(-x)=f(x)，圖像關(guān)于x軸對稱慧妄，奇函數(shù)f(-x)=-f(x)顷牌，圖像關(guān)于原點(0,0)對稱。
- 函數(shù)的周期性塞淹，定l表示最小正周期窟蓝，f(x)為周期函數(shù)。周期函數(shù)中饱普，對于對于任一點x∈D有(x+l)∈D运挫，恒有f(x+l) = f(x)状共。
函數(shù)運算：f±g: (f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D; f·g: (f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D; f/g: (f/g)(x)=f(x)/g(x),x∈D \ {x|g(x)=0,x∈D}.
2. 命題
命題一般用p、q表示谁帕，簡單命題由兩條件組成峡继，條件用m、n表示匈挖。多個命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞（呈V型區(qū)別于集合符號）連接碾牌，聯(lián)結(jié)詞由且（p∧q）或（p∨q）非（┐p）。
2.1. 四種命題的相互關(guān)系
- 原命題：若m关划，則n小染；否命題：若┐m，則┐n贮折；逆命題：若n裤翩，則m；逆否命題 若┐n调榄，則┐m踊赠。此四種命題存在幾種關(guān)系：互否命題、互逆命題每庆、互為逆否命題筐带。
命題的真假性。逆否命題的真假性相同缤灵，其它的沒有關(guān)系伦籍。若m可以推出 n，“若m則n”為真命題腮出，該真命題中m是n的充分條件帖鸦，n是m的必要條件，記為“m?n”胚嘲。不能推出則為假命題作儿，記為“m?n”。m與n能互推馋劈，m等價于n攻锰，記為“m?n”。
2.2. 真假命題
只有p妓雾、q都為真命題時娶吞，p∧q才是真命題；當(dāng)p或q任一個為真命題時械姻，p∨q才是真命題寝志；若┐m為假命題，則m為真命題。
命題中下一級多個元素中存在量詞材部，包括全稱量詞（?毫缆，所有的，任意一個）和存在量詞（?乐导，存在一個苦丁，至少有一個）。當(dāng)全稱量詞命題或存在量詞命題否定時物臂，它的量詞也變化成存在與全稱量詞旺拉。
3. 習(xí)題
- 設(shè)A=(-,-5)(5,+), B=[-10,3), 寫出AB，AB及A\ (A\ B)的表達式棵磷。
- 設(shè)映射f：X→Y, A?X, B?X. 證明: (1)f(A∪B) = f(A)∪f(B); (2)f(A∩B) = f(A)∩f(B)蛾狗。
- 求幾個函數(shù)的自然定義域：y = √(3x+2); y = 1/x-√(1-x2); y = 1/ √(4-x2); y = √(3-x)+arctan(1/x); y = e1/x。
- 證明導(dǎo)入單調(diào)性的方法有兩種：一是定義法仪媒。在定義域任取x1沉桌、x2，且x1<x2. 因為作差f(x2)-f(x1)=...(因式分解算吩，配方留凭，有理化；合并同類項或分式合并)偎巢，進而根據(jù)差值>0或<0判斷單調(diào)性蔼夜，即定義域D單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。二是導(dǎo)數(shù)法压昼，若導(dǎo)數(shù)>0求冷，則單調(diào)遞增，若導(dǎo)數(shù)<0窍霞，則單調(diào)遞減遵倦。導(dǎo)數(shù)等于零為函數(shù)駐點
- 奇偶性利用f(-x)判斷。
- 復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值
不等式與數(shù)列
1. 不等式
1.1. 常用不等式
- 三角不等式：對?a, b∈R, 有|a+b|≤|a|+|b|, ||a|-|b||≤|a-b|.(兩邊有|a|和|b|官撼，近似記為兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)似谁。
- 伯努利不等式：對?x≥-1, n∈N*, 有(1+x)n≥1+nx.(冪函數(shù)到一次函數(shù)的放縮傲绣，利用比較n=k+1與n=k和導(dǎo)數(shù)法可證)。
- 算數(shù)-幾何平均不等式：對任n個非負實數(shù)x1,x2,x3,...,xn, 有(1/n).(x1+x2+x3+...+xn)≥n√(x1.x2.x3...xn).尤其是n=2, x1,x2≥0時巩踏，(x1+x2)/2≥√(x1.x2)秃诵。
- 柯西不等式：設(shè)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn∈R，則有(a12+a22+...+an2).(b12+b22+...+bn2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)2, 推及2次方至n次方得到通式塞琼。
2. 數(shù)列
數(shù)列的一般形式可以寫成a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,...,a<sub>n</sub>,a<sub>n+1</sub>,..., (按一定次序排列的一列數(shù)), 簡記為{a<sub>n</sub>}或{x<sub>n</sub>}菠净。x<sub>n</sub>指數(shù)列的第n項。
等差數(shù)列{x<sub>n</sub>}通項公式：x<sub>n</sub>=x<sub>1</sub>+(n-1)d, 前n項和S<sub>n</sub>=n(x<sub>1</sub>+x<sub>n</sub>)/2(或S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>+n(n-1)d/2)。性質(zhì)1：p+q=r+s毅往，則x<sub>p</sub>+x<sub>q</sub>=x<sub>r</sub>+x<sub>s</sub>牵咙，且等比中項公式x<sub>p</sub>+x<sub>p1</sub>=2x<sub>s</sub>；性質(zhì)2：數(shù)列{a<sub>n</sub>}的連續(xù)取出或每隔k項取出組成的子數(shù)列仍為等差數(shù)列攀唯；性質(zhì)3：對任意的k∈N*洁桌，有有Sn，S2n-Sn侯嘀，S3n-S2n另凌，…，Skn-S(k-1)n…成等差數(shù)列戒幔。
等比數(shù)列{x<sub>n</sub>}通項公式：x<sub>n</sub>=x<sub>1</sub>.q<sup>n-1</sup>, q≠0, 前n項和中S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>吠谢，q=1; S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>(1-q<sup>n</sup>)/(1-q)(或S<sub>n</sub>=(x<sub>1</sub>+x<sub>n</sub>.q)/(1-q))。性質(zhì)1：p+q=r+s诗茎，則x<sub>p</sub>.x<sub>q</sub>=x<sub>r</sub>.x<sub>s</sub>工坊，且等比中項公式x<sub>p</sub>.x<sub>p1</sub>=x<sub>s</sub><sup>2</sup>；性質(zhì)2：數(shù)列{a<sub>n</sub>}的連續(xù)取出或每隔k項取出組成的子數(shù)列仍為等比數(shù)列错沃；性質(zhì)3：對任意的k∈N*栅组，有Sn，S2n-Sn枢析，S3n-S2n玉掸，…，Skn-S(k-1)n…成等比數(shù)列醒叁。
注：等差數(shù)列的公差d司浪，Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ，Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] 把沼；等比數(shù)列的公比q啊易。
平面解析幾何
1. 向量
在數(shù)學(xué)中，向量有方向和大小饮睬，記為$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{A B}$$租谈。其向量對應(yīng)的模記為|$$\overrightarrow{a}$$|, |$$\`overrightarrow`{A B}$$|。$$\overrightarrow{i}$$為單位向量捆愁，$$\overrightarrow{0}$$長度為零且為任意方向的零向量割去。$$\overrightarrow{a}$$=$$\overrightarrow$$昼丑，指兩向量相等（方向和大猩肽妗），$$\overrightarrow{a}$$//$$\overrightarrow菩帝$$咖城，此為平行向量或共線向量茬腿。由兩向量$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow$$構(gòu)成的平面∠ AOB宜雀，頂點為O切平。角度計算，∠ AOB=<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow州袒$$>=θ(0°,180°)揭绑，cos<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow$$>=cosθ=$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow郎哭$$/(|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow他匪$$|)。當(dāng)θ=90°夸研，$$\overrightarrow{a}$$⊥$$\overrightarrow邦蜜$$；當(dāng)θ=180°亥至，$$\overrightarrow{a}$$與$$\overrightarrow悼沈$$反向；當(dāng)θ=0°姐扮，$$\overrightarrow{a}$$與$$\overrightarrow絮供$$同向。
1.1. 平面向量線性運算
計算遵循向量可平移性和首尾相接茶敏，向量加法符合+
=
+
=
和三角形法則，向量減法符合
-
=
+(-
)和平行四邊形法則，且負向量-
即可將原向量反向恬惯。
1.2. 向量數(shù)乘和內(nèi)積
數(shù)乘向拆，向量$$\overrightarrow{a}$$（$$\overrightarrow{a}$$≠$$\overrightarrow{0}$$）, $$\overrightarrow$$共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ酪耳，使得$$\overrightarrow浓恳$$=λ$$\overrightarrow{a}$$。向量內(nèi)積指$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow碗暗$$=|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow颈将$$|.cosθ，|$$\overrightarrow{a}$$|.cosθ稱向量投影讹堤。零向量與任一向量內(nèi)積為0。其性質(zhì)如下：
兩向量同向厨疙，內(nèi)積為兩模乘積洲守。兩向量反向疑务，內(nèi)積為負兩模乘積。
向量
非零向量梗醇，則
=|
-
向量數(shù)乘λ結(jié)合在內(nèi)積中無限制，內(nèi)積服從交換律手负、分配律但不服從結(jié)合律（角度不同）涤垫。
向量坐標計算。任一向量$$\vec{a}$$=λ<sub>1</sub>$$\vec{e}$$<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>$$\vec{e}$$<sub>2</sub>竟终，兩不共線向量$$\vec{e}$$<sub>1</sub>蝠猬，$$\vec{e}$$<sub>2</sub>叫做表示此平面所有向量的一個基。直角坐標系中统捶，$$\vec{a}$$=x$$\vec{i}$$<sub>1</sub>+y$$\vec{j}$$<sub>2</sub>榆芦，$$\vec{a}$$=(x, y)。計算如下： 兩向量相減或相加喘鸟，各系x與y分別相減或之和得新坐標匆绣。
兩向量內(nèi)積，各系x與y分別相乘并相加得到新數(shù)什黑；向量模等于根號下x崎淳、y各平方和。
向量垂直?內(nèi)積為零?各系乘積之和=0兑凿，向量共線?數(shù)乘λ關(guān)系?x1y2-x2y1=0凯力。
2. 平面直線方程
平面直線于x軸正向所得角為傾斜角，α∈(0, Π)礼华。當(dāng)α=Π/2咐鹤，直線垂直于x軸，斜率k=tanα不存在圣絮；一般斜率計算k=tanα=(y2-y1)/(x1-x2)祈惶。
五種直線方程：點斜式、斜截式扮匠、兩點式捧请、截距式、一般式(無斜率也能表示)
1. y-y1=k(x-x1)棒搜；
2. y=kx+b;
3. (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1);
4. x/a+y/b=1(不經(jīng)過原點);
5. Ax+By+C=0(A疹蛉、B不同時為0).
點線計算。
一是L1力麸，L2位置關(guān)系可款。一般式聯(lián)立求解育韩，有唯一解則相交于解值，無解則平行闺鲸。另轉(zhuǎn)化為斜截式筋讨，L1//L2?k1=k2, 且b1≠b2；L1⊥L2?k1.k2=-1摸恍，互為負倒數(shù)悉罕。兩直線夾角公式，tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|立镶，θ≠Π/2壁袄。
二是距離計算。點點距離谜慌，d=√(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2然想；點線距離，已知直線一般式和線外一點(x0, y0)欣范，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2 +B^2) 变泄；線線距離：兩平行線一般式（A、B化簡后可相同）相減的絕對值恼琼，d=|C2-C1|/√(A^2 +B^2)妨蛹。
3. 圓與圓錐曲線
3.1. 圓
圓的三種方程：
1. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，標準方程圓心C(a,b)晴竞；
2. (x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0蛙卤，直徑式方程，已知直徑上兩點噩死；
3. x^2+y^2+Dx+Ey+F=0颤难，一般方程(D^2+E^2-4F)>0，該條件=0表示一個點已维，<0不表示任何圖形行嗤。半徑r=1/2.√(D^2+E^2-4F)。
注：圓的一般二元二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0垛耳，條件(D^2+E^2-4F)>0栅屏，A=C≠0，B=0堂鲜。
點線圓計算栈雳。
一是點圓關(guān)系，常用圓標準方程缔莲。點在圓內(nèi)?(x0-a)^2 +(y0-b)^2 <r^2; 點在圓上?(x0-a)^2 +(y0-b)^2 =r^2; 點在圓外?(x0-a)^2 +(y0-b)^2 >r^2哥纫。
二是線圓關(guān)系，常用直線一般式痴奏。法1蛀骇，采用幾何判斷奖慌，圓心點到直線距離計算，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2 +B^2 )松靡，若d<r則線圓相交；d=r則線圓相切锅锨；d>r則線圓相離牺弄。法2编振，聯(lián)立兩方程的到一元二次方程，有解萬能公式x<sub>1,2</sub>=(-b±√Δ)/2a屠列，求判別式Δ=b^2 -4ac，若Δ>0則有解且線圓相交伞矩，若Δ=0則有一解且線圓相切笛洛，若Δ<0則無解且線圓相離。
3.2. 平面圓錐曲線
圓錐曲線是指由平面截二次錐面得到的曲線乃坤，包括圓苛让、橢圓、雙曲線和拋物線湿诊。平面內(nèi)狱杰，到定點與到定直線l的距離之比等于定值e的集合。0<e<1時軌跡為橢圓厅须，e>1時為雙曲線仿畸，e=1為拋物線。三種曲線都有離心率e=c/a朗和，橢圓错沽、雙曲線和拋物線上的點到定點與到準線的距離相同，僅考慮x軸眶拉，橢圓和雙曲線準線都在(±a^2 /c, 0)千埃，拋物線準線在軸另一側(cè)的(-p/2, 0)。
3.2.1. 橢圓
橢圓原理是點到兩定點距離之和等于常數(shù)|PF1+PF2|=2a镀层，且兩定點距離2c镰禾。考慮長軸在x軸時唱逢，標準方程是x^2 /a^2 +y^2 /b^2 =1吴侦，長軸2a，短軸2b坞古，焦點是F(±c, 0)备韧。關(guān)系a^2 -b^2 =c^2（橢圓中a最大，雙曲c最大）痪枫，兩條準線在橢圓兩側(cè)织堂。
3.2.2. 雙曲線
雙曲線原理是點到兩定點距離之差等于常數(shù)|PF1-PF2|=2a叠艳，且兩定點距離2c∫籽簦考慮長軸在x軸時附较，標準方程是x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1，虛軸2a潦俺，短軸2b拒课，焦點是F(±c, 0)。關(guān)系a^2 +b^2 =c^2 （雙曲c最大）事示，兩條準線在雙曲之間早像。（在y軸時，標準方程是y^2 /a^2 -x^2 /b^2 =1）
焦點在x軸肖爵，雙曲漸近線的虛軸2a對應(yīng)在y軸上卢鹦。而焦點在x軸（y軸）漸近線為y=±bx/a(y=±ax/b)。此外劝堪，等軸雙曲線的實軸長與虛軸長相等冀自，x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1與x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =-1互為共軛雙曲線（虛軸與實軸互調(diào)換）。
3.2.3. 拋物線
拋物線原理是到一個定點F與一條定直線l的距離相等的點的軌跡（F?l）秒啦》材桑考慮焦點在x軸時，標準方程是y^2 =2px帝蒿，開口x軸正向向右荐糜，焦點(p/2, 0)，準線x=-p/2位于x軸負向葛超。p為焦點到準線的距離暴氏。
注：代數(shù)法判斷直線與圓錐曲線C的關(guān)系，即聯(lián)立兩方程绣张。先消去y（或x）得到ax^2 +bx +c=0答渔。（1）當(dāng)a=0時，且解方程有解侥涵，則相交于一點沼撕。如C為雙曲則直線與雙曲漸近線平行，如C為拋物線則直線與拋物對稱軸平行芜飘；（2）當(dāng)a≠0時务豺，解方程判別Δ，若Δ>0則有兩個解（即交點）嗦明，Δ=0則有唯一解笼沥，Δ<0則無解（即不相交）。此時的一個交點包含相交與相切。
3.2. 極坐標
自極點O以x正軸為起始奔浅，已知對應(yīng)點M對應(yīng)終邊OM馆纳，以角xOM為極角，則有序數(shù)對(ρ, θ)汹桦。極坐標與直角坐標的互換方程如下：
計數(shù)與二項式
1. 計數(shù)法
1.1. 基本計數(shù)原理
分類加法計數(shù)鲁驶。假設(shè)有n類辦法做一件事，而第I類辦法有m1個方法舞骆，II類有m2個法灵嫌，……，n類有mn個法葛作。則完成此事共有N1 = m1+m2+...+mn種不同方法。
分步乘法計數(shù)猖凛。假設(shè)做一件事需要n個步驟赂蠢，且第I個步驟有m1個方法，第II步有m2個法辨泳，……虱岂，第n步有mn個法。則此事共有N2 = m1×m2×...×mn種不同方法才能完成菠红。
**排列**第岖，指從n個不同元素中取出m個元素，按照一定順序排好试溯。排列相同進具備元素和順序相同（分布乘法計數(shù)）蔑滓。排列數(shù)A<sub>n</sub><sup>m</sup> = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-m+1)，n, m∈N<sup>*</sup> , m≤n遇绞。全排列键袱，即m=n，A<sub>n</sub><sup>m</sup> = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(n-1)+)×(n-n+1) = n×(n-1)×...×3×2×1 = n!摹闽。
**組合**蹄咖，指從n個不同元素中取出m個元素的所有組合。一般n個元素任取m個元素的排列付鹿，可以分兩步：（1）先完成任取m個元素的排列澜汤，C<sub>n</sub><sup>m</sup> ；（2）后對此m個元素全排列舵匾，A<sub>m</sub><sup>m</sup> 俊抵。據(jù)分布乘法可得A<sub>n</sub><sup>m</sup> = C<sub>n</sub><sup>m</sup> .A<sub>m</sub><sup>m</sup> 。
1.2. 排列組合計算
Anm = n!/ (n-m)! Anm (n-m) = n. An-1m Anm = n. An-1m-1
An0 = 1 (n+1). Ann = An+1n+1 (或n. Ann = An+1n+1 - Ann )
Anm = Cnm .Amm
Cnm = Anm / Amm = n!/ (m!(n-m)!) Cnm = Cnm-1 （用于簡化計算） Cn0 = 1
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n Cn0 + Cn2 + Cn4 + ... = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ... = 2n-1
Cmm + Cm+1m + Cm+2m + ... + Cm+nm = Cm+n+1m+1
(n+1)/(k+1)Cnk = Cn+1k+1 (由小推大)
注：二項式定理(a+b)n 證明2n 坐梯。
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2 +b3 = C30 a3b0 +C31 a2b+C32 ab2 +C33 a0 b3 ;
(a+b)n 展開式的項 為：(a+b)n = Cn0 an b0 + Cn1 an-1b + Cn2 an-2 b2 + ... + Cnn-1 a1bn-1 + Cnn a0bn;
得證务蝠，2n = (1+1)n = (Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn )1.
2. 二項式
T<sub>k+1</sub> = C<sub>n</sub><sup>k</sup> a<sup>n-k</sup>b<sup>k</sup> 為二項式通項。二項式有一般有n+1項，二項式系數(shù)依次為組合數(shù)C<sub>n</sub><sup>0</sup> , C<sub>n</sub><sup>1</sup> , C<sub>n</sub><sup>2</sup> , ... , C<sub>n</sub><sup>n</sup> 馏段，各項次數(shù)和為n轩拨，展開式以a的降冪，b的升冪展開院喜。
二項式具有三個特點：（1）對稱性亡蓉。對稱位置的系數(shù)相等，即C<sub>n</sub><sup>m</sup> = C<sub>n</sub><sup>n-m</sup> 喷舀。（2）增減性砍濒。當(dāng)k≤(n+1)/2時，二項式系數(shù)C<sub>n</sub><sup>k</sup> 的值逐漸增大硫麻；當(dāng)k≥(n+1)/2時爸邢，二項式系數(shù)C<sub>n</sub><sup>k</sup> 的值逐漸減小。n為偶數(shù)時拿愧，中間項（第n/2+1項）系數(shù)最大杠河；n為奇數(shù)時，中間項（第(n+1)/2和(n+1)/2+1項）系數(shù)最大浇辜。（3）對于(a+b)<sup>n</sup> 二項式系數(shù)和為2<sup>n</sup> 券敌，二項式奇數(shù)項系數(shù)和與此偶數(shù)項系數(shù)和都等于2<sup>n-1</sup> 。