【13】函數(shù)的極限

定理13.1 $a>0,\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=1$
證明 a) 當(dāng) $a=1$ 時(shí)，命題顯然成立秦爆。
b) 當(dāng) $a>1$ 時(shí), 取 $\epsilon$ 滿足 $0<\epsilon<1$ 序愚，令 $N=\left[\frac{a-1}\epsilon\right]+1$ ，當(dāng) $n>N$ 時(shí)等限， $n>\max\left(\frac{a-1}\epsilon,1\right)\\$
所以 $\tag{13.1.1}a<1+n\epsilon\le(1+\epsilon)^n$
又由 $a,\epsilon$ 的選取爸吮，得 $\tag{13.1.2}(1-\epsilon)^n<1<a$
由(13.1.1)及(13.1.2)得： $1-\epsilon<a^{\frac{1}n}<1+\epsilon$ ，所以 $\left|a^{\frac{1}n}-1\right|<\epsilon$ 望门，此式對(duì)任意的自然數(shù) $n>N$ 成立形娇，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=1$ 。
c) 當(dāng) $a<1$ 時(shí)筹误，令 $b=\frac{1}a>1$ 桐早，則 $\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}b\right)^{\frac{1}n}\\ =\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{b^{\frac{1}n}}\right)=1$
綜合a),b),c)，命題成立厨剪。
$\blacksquare$

評(píng)注13.2 在未學(xué)習(xí)指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之前哄酝，題13.1不能使用指數(shù)(對(duì)數(shù))不等式。

定理13.3 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=1$
證明令 $a=lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}$ 祷膳，顯然 $a\ge 1$ 陶衅，而且
$a=\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(2n)^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{2n}}(n)^{\frac{1}{2n}}\\ =\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{2n}}\lim_{n\rightarrow \infty}(n)^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n)^{\frac{1}{2n}}\\ =\left(\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}\right)^{1/2}=\sqrt a$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a%20%5Cge%201" alt="a \ge 1" mathimg="1">，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=a=1$ 直晨。
$\blacksquare$

題13.4 $0<x<1,n\in \mathbb N$ 證明：
(1) $n>1$ ,則 $(1-x)^n\ge 1-nx$
(2) $n>2$ ,則 $(1-x)^n\le 1-C_n^1x+C_n^2x^2$
證明 (1) 證法1： $\tag{13.4.1}(1-x)^n>1-nx \Leftrightarrow (1-x)^n-n(1-x)>1-n$
構(gòu)造函數(shù) $y=t^n-nt$ 搀军，則 $y'=nt^{n-1}-n$ 膨俐，則 $y'|_{t=1}=0,y'|_{t\in (0,1)}<0$ ，所以 $\min_{t\in (0,1]}y=y|_{x=1}=1-n$ 罩句，即當(dāng) $t \in (0,1)$ 時(shí)焚刺， $y>1-n$ ，這等價(jià)于 $\\(1-x)^n-n(1-x)>1-n$
根據(jù)(13.4.1)门烂，命題得證乳愉。

(1)證法2 令 $f(t)=t^n-nt$ 。取 $0<t,t+\Delta t<1$ ,則 $\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} =\frac{(t+\Delta t)^n-t^n-n\Delta t}{\Delta t}\\ =(t+\Delta t)^{n-1}+(t+\Delta t)^{n-2} t+(t+\Delta t)^{n-3} t^2+...+t^{n-1}-n<0$
可見(jiàn) $f(t)$ 為減函數(shù)诅福。其余部分與證法1一致匾委。

(2) 原不等式等價(jià)于 $f(x)=(1-x)^n+nx-C_n^2x^2<1,x\in(0,1)$
對(duì) $f$ 求導(dǎo)， $f'(x)=-n(1-x)^{n-1}-n(n-1)x+n$
根據(jù)(1)氓润，有 $(1-x)^{n-1}-(n-1)x>1$ 赂乐，所以 $-n(1-x)^{n-1}-n(n-1)x<-n$ ，于是：
$\forall x\in (0,1),f'(x)<0,f'(0)=0$ 咖气，所以 $\max_{x\in [0,1)} f(x)=f(0)=1$ 挨措。最終 $\forall x\in (0,1),f(x)<1$ ，從而證明了原命題崩溪。
$\blacksquare$

定義13.5
a) $a<b$ 浅役，稱集合 $\{x|a<x<b\}$ 為開(kāi)區(qū)間，記為 $(a,b)$ 伶唯。
b) $a\le b$ 觉既，稱集合 $\{x|a\le x\le b\}$ 為閉區(qū)間，記為 $[a,b]$ 乳幸。
c) $a<b$ 瞪讼，稱集合 $\{x|a< x\le b\}$ 為左開(kāi)右閉區(qū)間，記為 $(a,b]$ 粹断。
d) $a<b$ 符欠，稱集合 $\{x|a\le x< b\}$ 為左閉右開(kāi)區(qū)間，記為 $[a,b)$ 瓶埋。

題13.6 $n\in\mathbb N,E_n=\left(0,\frac{1}n\right)$ 希柿。
(1) 求所有 $E_n$ 的并 $\cup_{n=1}^{\infty} E_n$ 。
(2)證明： $\cap_{n=1}^{\infty}{E_n}=\emptyset$
(1) 解很明顯养筒， $E_{n+1}\subset E_n,n=1,2,...$ 曾撤，所以 $\cup_{n=1}^{\infty} E_n=E_1=(0,1)$ 。
(2) 假設(shè) $E=\cap_{n=1}^{\infty}{E_n}\ne \emptyset$ 晕粪，不妨設(shè) $a\in E$ 挤悉，則對(duì)于任意的 $E_n$ ，若 $a\in E_n$ 兵多，有 $a>0$ 尖啡。
取正整數(shù) $N>\left[\frac{1}a\right]$ ，則 $a>\frac{1}N$ 剩膘，并得 $E_N=\left(0,\frac{1}N\right)$ 衅斩。這說(shuō)明 $a\notin E_N$ ，矛盾怠褐。所以假設(shè)不成立畏梆，命題成立。
$\blacksquare$

定義13.7 包含實(shí)數(shù) $a$ 的開(kāi)區(qū)間奈懒，稱作 $a$ 的鄰域奠涌，如果 $I_a$ 是 $a$ 的鄰域，集合 $I_a-\{a\}$ 稱作 $a$ 的去心鄰域磷杏。

題13.8
(1) $I=(\sqrt3-\sqrt2,\sqrt2-1)$ 溜畅，證明： $I$ 是 $\frac{2}{5}$ 的鄰域。并用區(qū)間的形式寫出其去心鄰域极祸。
(2) $a$ 是開(kāi)區(qū)間 $I$ 里的元素慈格，證明：存在 $a$ 的鄰域 $I_a\subset I$ 且 $I_a\ne I$
證明 (1)略。
(2) 設(shè) $I=(b,c)$ 遥金，根據(jù)條件浴捆，有 $b<a<c$ ，取 $b_1=\frac{b+a}2,c_1=\frac{a+c}2$ 稿械，則 $b<b_1<a<c_1<c$ 选泻，令 $I_a=(b_1,c_1)$ ，那么 $I_a$ 滿足條件美莫，證明完畢页眯。
$\blacksquare$

題13.9 設(shè) $a\in \mathbb R,n\in \mathbb N,I_n=\left(-\frac{1}{2^n},a+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right),I=\cap_{n=1}^\infty{I_n}$ ，
(1) $I\ne \emptyset$ 茂嗓，求 $a$ 的取值范圍餐茵。
(2) 證明：當(dāng) $I\ne \emptyset$ 時(shí)， $I$ 是閉區(qū)間述吸。
(1) 解 $I\ne \emptyset$ 等價(jià)于：對(duì)于任意的自然數(shù) $n$ 忿族， $-\frac{1}{2^n}<a+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ，即 $\\ \forall n\in \mathbb N_+,-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}<a$
當(dāng) $n>0$ 時(shí)蝌矛， $-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}<0$ 道批，而 $\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\right)}=0$ ，所以
$a$ 的最小值為0入撒。經(jīng)驗(yàn)證隆豹，當(dāng) $a\ge0$ 時(shí)， $I\ne \emptyset$ 茅逮。所以 $a$ 的取值范圍是 $a\ge 0$ 璃赡。

(2) 證明：只需證明 $I=[0,a]$ 判哥，過(guò)程如下：
設(shè) $x\in I$ ，那么 $\forall n\in \mathbb N,x\in I_n$ 碉考，即 $-\frac{1}{2^n}<x<a+\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}$
上式說(shuō)明： $0=\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(-\frac{1}{2^n}\right)}\le x\le \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(a+\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\right)}=a$ 塌计。
即 $x\in [0,a]$ ，所以： $\tag{13.9.1}I\subset [0,a]$
取 $x\in [0,a]$ 侯谁，則 $\forall n \in\mathbb N, x\in I_n$ 锌仅，于是得 $\tag{13.9.2}x\in I$
$(13.9.1)(13.9.2)\Rightarrow I=[0,a]$ ，所以 $I$ 是閉區(qū)間墙贱。
$\blacksquare$

定義13.10 (1) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函數(shù) $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在 $a$ 的一個(gè)去心鄰域有定義热芹，如果對(duì)于任意正數(shù) $\epsilon$ ，存在一個(gè)正數(shù) $\delta$ 惨撇，當(dāng) $|x-a|<\delta$ 時(shí)伊脓， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，則稱 $A$ 為 $f$ 在 $x$ 趨近 $a$ 時(shí)的極限魁衙，記為： $x\rightarrow a,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a}{f(x)}=A\\$

(2) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函數(shù) $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在某個(gè)以 $a$ 為下確界的開(kāi)區(qū)間內(nèi)有定義丽旅，如果對(duì)于任意正數(shù) $\epsilon$ ，存在一個(gè)正數(shù) $\delta$ 纺棺，當(dāng) $0\le x-a<\delta$ 時(shí)榄笙， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，則稱 $A$ 為 $f$ 當(dāng) $x$ 由右趨近 $a$ 的極限祷蝌，簡(jiǎn)稱右極限茅撞，記為： $x\rightarrow a^+,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a^+}{f(x)}=A\\$

(3) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函數(shù) $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在某個(gè)以 $a$ 為上確界的開(kāi)區(qū)間內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意正數(shù) $\epsilon$ 巨朦，存在一個(gè)正數(shù) $\delta$ 米丘，當(dāng) $-\delta<x-a\le0$ 時(shí)， $|f(x)-A|<\epsilon$ 糊啡，則稱 $A$ 為 $f$ 當(dāng) $x$ 由左趨近 $a$ 的極限拄查，簡(jiǎn)稱左極限，記為： $x\rightarrow a^-,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a^-}{f(x)}=A\\$

為了敘述的方便棚蓄，一般用定語(yǔ)“在 $a$ 處”堕扶，比如 $\lim_{n\rightarrow a^-}{f(x)}$ 讀作" $f(x)$ 在 $a$ 處的左極限"，等等梭依。

(4) $A\in \mathbb R,\alpha \in \mathbb R$ 稍算，函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間 $(\alpha,\infty)$ 有定義，如果對(duì)于任意正數(shù) $\epsilon$ 役拴，存在一個(gè)正數(shù) $\delta$ 糊探，當(dāng) $x>\delta$ 時(shí)， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，則稱 $A$ 為 $f$ 當(dāng) $x$ 趨近 $\infty$ 的極限科平，記為： $x\rightarrow \infty,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow \infty}{f(x)}=A\\$

(5) $A\in \mathbb R,\alpha \in \mathbb R$ 褥紫，函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間 $(-\infty,\alpha)$ 有定義，如果對(duì)于任意正數(shù) $\epsilon$ 瞪慧，存在一個(gè)正數(shù) $\delta$ 故源，當(dāng) $x<-\delta$ 時(shí)， $|f(x)-A|<\epsilon$ 汞贸，則稱 $A$ 為 $f$ 當(dāng) $x$ 趨近 $-\infty$ 的極限，記為： $x\rightarrow -\infty,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow -\infty}{f(x)}=A\\$

定理13.11 $f(x)$ 在 $a$ 處有極限當(dāng)且僅當(dāng) $f(x)$ 在 $a$ 處的左右極限存在且相等印机。
證明 1)先證明必要性：
設(shè) $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ 矢腻，取 $\epsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ 射赛，當(dāng) $|x-a|<\delta$ 時(shí)多柑，成立： $|f(x)-A|<\epsilon$ 。
由此得楣责，當(dāng)： $-\delta<x-a<0$ 或 $0<x-a<\delta$ 任何一個(gè)成立時(shí)竣灌，都有： $|f(x)-A|<\epsilon$ 。
所以 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$
2)再證明充分性：
設(shè) $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$ 秆麸，取 $\epsilon>0$ 初嘹，則必有 $\delta_1,\delta_2>0$ ， $-\delta_1<x-a<0\rightarrow|f(x)-A|<\epsilon\\ 0<x-a<\delta_2\rightarrow|f(x)-A|<\epsilon$
取 $\delta=\min{(\delta_1,\delta_2)}$ 沮趣，得 $|x-a|<\delta\rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$ 屯烦，所以 $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ 。

推論 $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ 當(dāng)且僅當(dāng) $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$
$\blacksquare$

定理13.12 $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=A,\lim_{x\rightarrow a} g(x)=B$ 房铭，那么：
(1) $\lim_{x\rightarrow a} [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
(2) $\lim_{x\rightarrow a} [f(x) g(x)]=AB$
(3) $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) }{g(x)}=\frac{A} B$
(這個(gè)證明可以參照數(shù)列極限的運(yùn)算)

題13.14 求極限：
(1) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{2-2x^2}{x-1}}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 0^+}{\left(\sqrt{\frac{1}x+1}-\sqrt{\frac{1}x-1}\right)}$
(3) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x} x$
(4) $\lim_{x\rightarrow \infty}2^\frac{1}{x}$
(5) $\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}x\right)^x$
解 (1) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{2-2x^2}{x-1}} = 2\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=4$

(2) $\lim_{x\rightarrow 0^+}{\left(\sqrt{\frac{1}x+1}-\sqrt{\frac{1}x-1}\right)} =\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}x+1}+\sqrt{\frac{1}x-1}}}=0$

(3) $x$ 取弧度且是銳角驻龟，那么 $\sin x<x<\tan x$ ，除以 $\sin x$ 得： $1 < \frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$ 缸匪，取極限：
$\\1\le \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{\sin x}}\le \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{\cos x}}=1$
由夾逼原理得 $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{\sin x}}=1$ 翁狐。
(4) 對(duì)每個(gè) $x\ge 1$ ，取自然數(shù) $n$ 滿足 $n\le x\le n+1$ 凌蔬，那么 $\frac{1}{n+1}\le\frac{1}x\le\frac{1}n$ 露懒，所以 $2^{\frac{1}{n+1}} \le 2^{\frac{1}{x}} \le 2^{\frac{1}{n}}$ ，所以：
$\\1=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{n+1}} \le \lim_{x\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{x}} \le \lim_{n\rightarrow \infty} 2^{\frac{1}{n}}=1$
所以 $\lim_{x\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{x}}=1$ 砂心。
(5) 令 $n=[x](取整),t=x/[x]$ 隐锭，那么
$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}x\right)^x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{nt}\right)^{nt}=\left[\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{nt}\right)^{n}\right]^t=\left[e^{1/t}\right]^t=e$
$\blacksquare$

定理13.15 $\alpha> 0 ,\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^\alpha}=0$
定理13.16 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x} x =1$
證明見(jiàn)3.14-(3)

定理3.17 $f(x)=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...$ 的定義域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbb%20R" alt="\mathbb R" mathimg="1">。
證明本命題等價(jià)于：冪級(jí)數(shù) $\tag{3.17.1}\sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}$
對(duì)于任意的 $x\in \mathbb R$ 收斂计贰。

a) 當(dāng) $x\ge 0$ 時(shí)钦睡，總有一個(gè)整數(shù) $N> x$ ，于是可以利用以下縮放： $\\ \sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}<\sum_{n=0}^N{\frac{x^n}{n!}}+\frac{x^N}{N!}\sum_{n=N+1}^\infty{\frac{x^{n-N}}{(N+1)^{n-N}}}\\ =\sum_{n=0}^N{\frac{x^n}{n!}}+\frac{x^N}{N!}\frac{1}{1-\frac{x}{N+1}}$
可見(jiàn)躁倒， $x\ge 0$ 級(jí)數(shù)(3.17.1)上有界且遞增荞怒，所以級(jí)數(shù)(3.17.1)收斂洒琢。

b) 當(dāng) $x<0$ 時(shí)，根據(jù)a)的結(jié)論褐桌，(3.17.1)絕對(duì)收斂衰抑，所以其本身也收斂。

綜a),b)所述荧嵌，對(duì)于任意的 $x\in \mathbb R$ 呛踊，(3.17.1)收斂，所以 $f(x)$ 的定義域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbb%20R" alt="\mathbb R" mathimg="1">啦撮。
$\blacksquare$

定義13.18 對(duì)于任意的 $x\in\mathbb R$ 谭网，定義函數(shù) $e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...\\$
為以 $e$ 為底的指數(shù)函數(shù)，因?yàn)樽宰兞繛閷?shí)數(shù)赃春，所以此函數(shù)為實(shí)變量指數(shù)函數(shù)愉择。

定理3.19 $\forall x\in \mathbb R,e^x>0$
證明根據(jù)定義13.18，容易驗(yàn)證如下：
a) 當(dāng) $x\ge 0$ 時(shí)织中， $e^x>0$
b) $\forall x,y, f(x+y)=f(x)f(y)$

根據(jù)a)锥涕，當(dāng) $x<0$ 時(shí)，有 $e^{-x}>0$ 狭吼，再利用b)：
c) $e^x=\frac{1}{e^{-x}}>0$

a),c) $\Rightarrow \forall x\in \mathbb R,e^x>0$

$\blacksquare$

定義3.20 (1) $E\subset \mathbb R$ 层坠，實(shí)值函數(shù) $f(x)$ 在E上有定義，若對(duì)于任意的 $x_1,x_2\in E$ 刁笙， $x_1<x_2\rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ 窿春，稱 $f(x)$ 在E中是單調(diào)遞增函數(shù)，簡(jiǎn)稱 $f$ 是E上的增函數(shù)采盒。
(2) $E\subset \mathbb R$ 旧乞，實(shí)值函數(shù) $f(x)$ 在E上有定義，若對(duì)于任意的 $x_1,x_2\in E$ 磅氨， $x_1<x_2\rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ 尺栖，稱 $f(x)$ 在E中是單調(diào)遞減函數(shù)，簡(jiǎn)稱 $f$ 是E上的減函數(shù)烦租。

定理3.21 (1)函數(shù) $f(x)$ 在 $E$ 上遞增延赌，當(dāng)且僅當(dāng) $\forall x,y\in E,x\ne y\left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x}>0\right)\\$ 。
(2)函數(shù) $f(x)$ 在 $E$ 上遞減叉橱，當(dāng)且僅當(dāng) $\forall x,y\in E,x\ne y\left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x}<0\right)\\$ 挫以。

定理3.22 函數(shù) $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上是增函數(shù)。
證法1 注意到 $x>0$ 時(shí)窃祝， $e^x=\sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}>1+x>1$ 掐松，所以對(duì)于任意的 $x\in \mathbb R,\Delta x>0$ ，有 $\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}>0$
故而 $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上遞增。

證法2 求導(dǎo) $(e^x)'=e^x>0$ 大磺，即 $e^x$ 的導(dǎo)函數(shù)在 $\mathbb R$ 上大于零抡句，所以 $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上單調(diào)遞增。
$\blacksquare$

定理3.23 $\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}=0$
證明當(dāng) $x>0$ 是杠愧， $e^x>1+x$ 待榔。所以當(dāng) $x<0$ 時(shí)， $0<e^x=1/e^{-x}<\frac{1}{1-x}$ 流济，取極限得： $\\0\le\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}\le\lim_{-x\rightarrow \infty}{1/(1-x)}=0$
利用夾逼定理： $\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}=0$
$\blacksquare$

最后編輯于：2022.09.08 10:37:29

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城市分裂傳說(shuō)
那天管引，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼柳沙。笑死盛险，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的雀摘。我是一名探鬼主播裸删，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼阵赠！你這毒婦竟也來(lái)了涯塔？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
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萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤清蚀，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎匕荸，沒(méi)想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體枷邪，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡榛搔，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,570評(píng)論 2贊 333
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了东揣。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片践惑。...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,739評(píng)論 1贊 348
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖嘶卧，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出尔觉，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤芥吟，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布侦铜，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響钟鸵，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏钉稍。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,037評(píng)論 3贊 326
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一棺耍、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望嫁盲。院中可真熱鬧，春花似錦烈掠、人聲如沸羞秤。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書人閱讀 31,677評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案左敌，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)瘾蛋。三九已至，卻和暖如春矫限，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間哺哼，已是汗流浹背佩抹。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留取董，地道東北人棍苹。一個(gè)月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像茵汰，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親枢里。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,647評(píng)論 2贊 354

【13】函數(shù)的極限

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