本章主要解決這個(gè)問(wèn)題：

如何對(duì)物體進(jìn)行位置變換奢讨？

想要操作物體的位置蔚鸥，我們就要使用數(shù)學(xué)工具對(duì)其位置進(jìn)行計(jì)算。先來(lái)看看回顧一下需要用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)：

向量

在最初的定義中捧弃，向量就是用來(lái)表示方向的赠叼。向量包括大小和方向兩個(gè)要素。你可以把向量想象成在藏寶圖上的箭頭指示：向左走10米塔橡，然后梅割，往北走3米，再然后葛家，往右走5米户辞。這個(gè)左右南北就是方向，10米就是向量的大小癞谒。理論上底燎，向量可以是任意維數(shù)的，不過(guò)我們不關(guān)心這個(gè)弹砚，我們關(guān)心的是我們最最常用的2到4維向量双仍。2維向量表示平面上的方向，3維向量表示3D世界里的方向桌吃。

用一張直觀的圖來(lái)表示一下朱沃。

向量圖（來(lái)自：www.learningopengl.com）

v向量

向量運(yùn)算

標(biāo)量

和一個(gè)標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算是最簡(jiǎn)單的一種運(yùn)算了缴阎，加減乘除都可以（除數(shù)不能是0哦）允瞧。計(jì)算方式就是用向量的每個(gè)分量和標(biāo)量進(jìn)行一次運(yùn)算，得出的一個(gè)新向量就是計(jì)算的結(jié)果蛮拔。

標(biāo)量加法運(yùn)算

向量取反

向量取反操作直接把向量的方向變反了述暂，對(duì)向量的大小并沒(méi)有什么影響。運(yùn)算方式非常簡(jiǎn)單建炫，直接看圖：

向量取反

向量加減

向量相加操作就是把兩個(gè)向量的相應(yīng)分量相加畦韭，得到一個(gè)新的向量。

向量相加

向量相減操作就是把兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相減肛跌，得到一個(gè)新的向量艺配。

向量相減

長(zhǎng)度

向量長(zhǎng)度

長(zhǎng)度計(jì)算通過(guò)最普通的勾股定理就能算出來(lái)

計(jì)算長(zhǎng)度

向量乘法

普通的乘法（對(duì)應(yīng)分量相乘）并沒(méi)有什么實(shí)際意義，所以也沒(méi)有必要去研究衍慎。不過(guò)转唉，向量乘法兩種特殊的乘法運(yùn)算，點(diǎn)乘（w · v）和叉乘（w x v）稳捆。我們分別研究一下這兩種乘法有啥作用：

點(diǎn)乘

兩個(gè)向量的點(diǎn)乘結(jié)果是：兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積再乘上夾角的cos值赠法。像這樣：

點(diǎn)乘公式

特別地，如果兩個(gè)向量為單位向量（單位向量是指長(zhǎng)度為1的向量）乔夯，那么這個(gè)公式就退化成:

單位向量的點(diǎn)乘公式

看到?jīng)]砖织，就只是兩向量夾角的cos值，這個(gè)功能在進(jìn)行光照計(jì)算的時(shí)候非常有用末荐，我們計(jì)算光照的時(shí)候優(yōu)勢(shì)不需要知道它的大小侧纯，只需要知道其法向量和光照方向的夾角就好了。

從公式上來(lái)看甲脏，兩個(gè)向量的點(diǎn)乘每個(gè)分量相乘的結(jié)果在求和眶熬。

點(diǎn)乘的向量公式

叉乘

叉乘只在3D空間中有意義妹笆，因?yàn)椴娉说慕Y(jié)果向量方向是與兩個(gè)相乘的向量都垂直的。在2D空間里聋涨，你無(wú)法找到一個(gè)能與兩條相交的直線都垂直的直線晾浴，但在3D空間中易如反掌！

向量叉乘

如果你是在左手坐標(biāo)系中牍白，那么伸出左手，四指從v彎曲到k抖棘，大拇指的方向就是叉乘結(jié)果向量的方向茂腥。等等综芥，好像不太對(duì)啊袍榆，圖上的結(jié)果向量是朝外的！哈哈荆永，這說(shuō)明圖上的坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系朝捆，這時(shí)候就要用右手做彎曲動(dòng)作確定方向了般渡。

不過(guò)，不管是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系芙盘，向量乘積的結(jié)果都是一樣的驯用！向量叉乘公式：

向量叉乘公式

驗(yàn)證一下我們的公式：A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) ， A x B = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1)儒老。公式正確蝴乔！

矩陣

關(guān)于向量我們已經(jīng)了解的差不多了，除了最后的向量叉乘有點(diǎn)難理解之外驮樊，其余的幾乎都是小菜一碟薇正。是時(shí)候來(lái)點(diǎn)挑戰(zhàn)性了！歡迎各位勇士來(lái)到矩陣的世界囚衔！先說(shuō)好挖腰，矩陣就不會(huì)像向量那樣“溫馨”了。

所謂矩陣练湿，基本上就是一個(gè)矩形數(shù)組猴仑，這個(gè)數(shù)組中可能有數(shù)字、符號(hào)或者表達(dá)式鞠鲜。矩陣中的每一項(xiàng)被稱為矩陣的一個(gè)元素宁脊。舉一個(gè)2x3的矩陣?yán)觼?lái)看：

2 x 3矩陣

矩陣可以通過(guò)索引獲取其某個(gè)位置的元素，例如 :索引(i,j)表示第i行第j列的元素贤姆。這也就是為什么上面的矩陣被稱為2 x 3的矩陣榆苞，因?yàn)樗?行3列。引用矩陣元素可能會(huì)和表示坐標(biāo)上的點(diǎn)相混淆（筆者就經(jīng)常弄混）霞捡，一個(gè)(2,1)的位置表示x=2,y=1坐漏，而一個(gè)(2,1)的矩陣索引表示row = 2, column = 1，剛好和位置坐標(biāo)相反。

光有矩陣并沒(méi)啥意思赊琳，我們最看中地是它的運(yùn)算方式街夭。它也和向量一樣有很多有趣的運(yùn)算方法。

加法和減法

矩陣可以和一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量相加減躏筏，也可以和一個(gè)矩陣加減板丽，運(yùn)算的方式不太一樣，我們分別來(lái)看趁尼！

1埃碱、和標(biāo)量

矩陣可以和一個(gè)標(biāo)量相加或相減。方式是用矩陣的每一個(gè)分量去加或者減這個(gè)標(biāo)量：

標(biāo)量加法

標(biāo)量減法

2酥泞、和矩陣

當(dāng)一個(gè)矩陣和另一個(gè)矩陣相加或者相減的時(shí)候砚殿，情況也很簡(jiǎn)單，只要將兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的分量相加或者相減就行了芝囤。

矩陣加法

矩陣減法

你可能會(huì)有疑問(wèn)似炎，如果兩個(gè)矩陣的維數(shù)（所謂維數(shù)，就是矩陣的行數(shù)和列數(shù)）不同悯姊，那該怎么加減呢羡藐？沒(méi)錯(cuò)，不同維數(shù)的矩陣的加減操作沒(méi)有意義挠轴，所以在數(shù)學(xué)上传睹，我們就禁止不同維數(shù)的矩陣進(jìn)行加減操作！

乘法

和加減操作一樣岸晦，矩陣乘法也有和標(biāo)量欧啤、和矩陣之分，運(yùn)算方式大不相同启上，我們仔細(xì)來(lái)看邢隧！

和標(biāo)量

和標(biāo)量的乘法非常簡(jiǎn)單，只需要把標(biāo)量和矩陣的每個(gè)元素相乘冈在，得到一個(gè)新的矩陣就行了倒慧。

標(biāo)量乘法

和矩陣

和矩陣相乘就不是那么令人愉快了。在矩陣相乘之前包券，有兩條規(guī)則我們要來(lái)看看纫谅，這是兩個(gè)最基本的原則：

1. 相乘的兩個(gè)矩陣，第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須要等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)溅固！
2. 矩陣相乘不滿足交換律付秕，也就是說(shuō)A · B != B · A ！

滿足這兩個(gè)條件后侍郭，我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)矩陣是如何相乘的询吴。

矩陣乘法

我們可以看到掠河，矩陣的乘法是第一個(gè)矩陣的行，乘以第二個(gè)矩陣的列猛计，對(duì)應(yīng)元素相乘然后求和（這就是為什么有第一條原則的原因了＿肽　）。畫個(gè)圈圈可以看得更清楚

矩陣相乘的方式

三維矩陣的乘法

提示：自己在紙上算一遍更好理解哦奉瘤！

這里我們就給出了行列數(shù)相同的矩陣乘法示例勾拉，而根據(jù)規(guī)則，矩陣行列數(shù)可以不同盗温，但也能進(jìn)行運(yùn)算望艺。我們只稍微說(shuō)說(shuō)，兩個(gè)可以相乘的矩陣（注意哦肌访，前提是可以相乘！）的運(yùn)算結(jié)果也是一個(gè)矩陣艇劫，這個(gè)結(jié)果矩陣的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣吼驶，列數(shù)等于第二個(gè)矩陣。（想象一下用一個(gè)矩陣乘以一個(gè)向量店煞，得到的結(jié)果也必定是一個(gè)向量蟹演。）

矩陣和向量相乘

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，矩陣和向量相乘并不能單獨(dú)作為一節(jié)來(lái)說(shuō)顷蟀，因?yàn)榫拖袂懊嬲f(shuō)的那樣酒请，把向量當(dāng)成一個(gè)列數(shù)為1的矩陣，就可以根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則算出來(lái)了鸣个。但是羞反，矩陣與向量的運(yùn)算太重要了，以至于它完全值得我們單獨(dú)列出來(lái)對(duì)他大肆捯飭一番囤萤。

單位矩陣

所謂單位矩陣就是除了從左上角到右下角對(duì)角線上的元素都是1昼窗，其余元素都是0的矩陣。一個(gè)單位矩陣和一個(gè)向量相乘涛舍，結(jié)果還是那個(gè)向量澄惊，就像任何數(shù)乘以1都不會(huì)對(duì)其有啥改變。

單位矩陣運(yùn)算結(jié)果

你可能會(huì)想知道富雅，既然單位矩陣不會(huì)改變向量的值掸驱，那還有個(gè)卵用啊没佑？別急毕贼，雖然用處不大，但還是有點(diǎn)用滴图筹，不然誰(shuí)會(huì)發(fā)明這個(gè)東西啊帅刀。單位矩陣通常都是其他矩陣的“起點(diǎn)”让腹，很多矩陣都是從它開(kāi)始算出來(lái)的。另外扣溺，如果我們對(duì)線性代數(shù)研究地更深一點(diǎn)骇窍，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它對(duì)于提供理論證明锥余，解決線性相等問(wèn)題有很大的幫助腹纳。
當(dāng)然這些都是題外話，光啃干貨不舒服驱犹，扯皮用的嘲恍。

比例變化

我們可以構(gòu)造一個(gè)矩陣來(lái)對(duì)向量進(jìn)行縮放，除了對(duì)各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)一縮放雄驹，我們還能通過(guò)給不同的坐標(biāo)設(shè)置不同縮放因子這種方法對(duì)各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行不統(tǒng)一的縮放佃牛。是不是聽(tīng)上去很神奇？我們來(lái)看看就知道了

縮放操作

如果S1医舆，S2俘侠，S3不相同，那就是不統(tǒng)一縮放（改變方向）蔬将，如果相同爷速，那就是統(tǒng)一縮放（不改變方向）。注意霞怀，第四個(gè)縮放因子必須是1惫东，因?yàn)樵?D空間中，對(duì)w分量進(jìn)行縮放的操作不知道會(huì)出啥問(wèn)題毙石！

平移

根據(jù)我們的已有知識(shí)廉沮，要想平移一個(gè)向量，只要在這個(gè)4x4的矩陣的最后一列放上我們需要平移的量就行了胁黑，當(dāng)然最后一個(gè)必須還是1.像這樣：

平移操作

很簡(jiǎn)單吧废封！

旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容有點(diǎn)復(fù)雜。首先我們要了解的是丧蘸，如何定義一個(gè)旋轉(zhuǎn)漂洋？有人可能就不明白了，旋轉(zhuǎn)還要定義嗎力喷？直接往左或者往右轉(zhuǎn)個(gè)90度不就完了嗎刽漂？這個(gè)還真的得說(shuō)兩句，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)世界中弟孟，角度有兩種表示方法：角度或者弧度贝咙。我們熟悉的都是用角度來(lái)表示，一圈有360度拂募。而在數(shù)學(xué)世界里庭猩，弧度也是非常常用的窟她，一圈是2PI。為了便于理解蔼水，我們用角度來(lái)說(shuō)明震糖。

角度和弧度可以相互轉(zhuǎn)換，具體的公式是：
角度= 弧度 * (180.0f / PI)
弧度= 角度 * (PI / 180.0f)
PI的精度最好高一點(diǎn)趴腋，以免出現(xiàn)誤差吊说，通常把它設(shè)置為:3.14159265359。

在3D世界中优炬，當(dāng)我們需要將一個(gè)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)颁井，我們就需要確定三樣?xùn)|西：

1. 繞著什么旋轉(zhuǎn)
2. 往哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)
3. 旋轉(zhuǎn)多少度

理論上，我們可以繞任意軸旋轉(zhuǎn)（實(shí)際上也是一樣^_）蠢护，不過(guò)在計(jì)算的時(shí)候雅宾，我們通常把繞任意軸旋轉(zhuǎn)的操作分解成繞三條主軸旋轉(zhuǎn)的操作。通過(guò)一些三角變換函數(shù)葵硕，計(jì)算出繞某一個(gè)主軸的變換結(jié)果秀又，然后將這些操作結(jié)合起來(lái)，組成繞任意軸旋轉(zhuǎn)的操作贬芥。下面直接給出繞3個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的變換公式：

首先是繞X軸旋轉(zhuǎn)的公式：

繞X軸旋轉(zhuǎn)的公式

然后是繞Y軸旋轉(zhuǎn)的公式：

繞Y軸旋轉(zhuǎn)的公式

最后是繞Z軸旋轉(zhuǎn)的公式：

繞Z軸旋轉(zhuǎn)的公式

這些公式不需要記，你可以非承觯快地在網(wǎng)上查到蘸劈，或者把這篇文章收藏一下，直接就能看到尊沸。在這個(gè)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代威沫，筆者的主張是不需要記那么多的知識(shí)點(diǎn)，但是你必須要記住在哪能查到這些知識(shí)洼专！明白了嗎棒掠？知道在哪比單純的記住更加重要！

言歸正傳屁商，當(dāng)我們把這些變換組合起來(lái)的時(shí)候烟很，很快就會(huì)遇到一個(gè)問(wèn)題，那就是萬(wàn)向鎖（Gimbal lock）蜡镶。

簡(jiǎn)單講講萬(wàn)向鎖：
先不要被鎖這個(gè)字給嚇唬住了雾袱，出現(xiàn)萬(wàn)象鎖現(xiàn)象并不是說(shuō)你不能再旋轉(zhuǎn)了，而是這種情況下官还，某些旋轉(zhuǎn)不是按照我們想要的方式來(lái)芹橡。筆者看了許多文字描述的萬(wàn)向鎖，但是都沒(méi)搞明白望伦，所以不打算用文字解釋林说，直接推薦一個(gè)視頻煎殷。仔細(xì)看萬(wàn)向鎖的部分，就能明白了腿箩。

先來(lái)說(shuō)一個(gè)解決方法豪直，繞任意一個(gè)單位軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，例如(0.662, 0.2, 0.722）度秘，不過(guò)記住一定要是單位向量顶伞。轉(zhuǎn)換公式像這樣（Rx, Ry, Rz是坐標(biāo)值）：

繞任意單位向量旋轉(zhuǎn)的公式

跟其他的轉(zhuǎn)換矩陣相比，是不是頓時(shí)有種鶴立雞群的感覺(jué)剑梳！What the f**k?幸好我們有網(wǎng)絡(luò)這個(gè)東西唆貌，不用死記硬背實(shí)在是太幸福了。順便一提垢乙，解決萬(wàn)向鎖還可以用一種四元數(shù)的東西锨咙，以后我們會(huì)涉及到。

實(shí)戰(zhàn)演練

講了這么多基礎(chǔ)知識(shí)追逮，終于可以動(dòng)手操作了酪刀，是不是等不及了？先別急钮孵，我們是要學(xué)OpenGL的骂倘，花太多的時(shí)間在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)庫(kù)上顯然和我們的初衷背道而馳，所以巴席，我們可以采用“拿來(lái)主義”历涝，直接找一個(gè)數(shù)學(xué)庫(kù)用。幸好漾唉，OpenGL的“周邊”就有一個(gè)好的數(shù)學(xué)庫(kù)荧库，叫做：GLM。

到GLM的網(wǎng)站去下載0.9.8版本的數(shù)學(xué)庫(kù)（不要下最新的0.9.9版本赵刑，和我們的代碼不兼容）分衫。沒(méi)法FQ的可以到我的網(wǎng)盤里去下載。下載解壓后般此，把頭文件根目錄（glm目錄蚪战，不是解壓縮后的glm文件夾，而是在里面的glm文件夾）復(fù)制到你的includes目錄下面就可以了铐懊。

設(shè)置完后屎勘，我們需要在代碼中包含需要的頭文件。

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtc/type_ptr.hpp>

我們先來(lái)試試這個(gè)庫(kù)有沒(méi)有效居扒。

//Test
glm::vec4 vec(1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));  //從這里就能看出單位矩陣的作用了概漱。初始化的trans是一個(gè)單位矩陣，讓它平移到(1.0f, 1.0f, 0.0f)的位置產(chǎn)生了一個(gè)平移矩陣喜喂。
vec = trans * vec;
std::cout << "(" << vec.x << "," << vec.y << "," << vec.z << ")" << std::endl;

嗯瓤摧，輸出正確竿裂。

讓我們袖子干吧！把前面章節(jié)中顯示的圖片縮小成原來(lái)的一半照弥，然后再繞著z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度腻异。

先來(lái)生成矩陣：

glm::mat4 trans;
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5f, 0.5f, 0.5f));
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));

矩陣生成完后，我們?nèi)绾巫屗陧旤c(diǎn)著色器中生效呢这揣？想來(lái)你很快就能得到答案悔常，沒(méi)錯(cuò)，就是用uniform關(guān)鍵字给赞。先聲明一個(gè)變量uniform mat4 transform机打，然后在主函數(shù)中調(diào)用gl_Position = transform * vec4(aPos, 1.0f)。

接下來(lái)片迅，我們要在程序里設(shè)置這個(gè)值残邀。但原有的shader類中沒(méi)有設(shè)置mat4類型的接口，所以我們要添加一個(gè)：

void Shader::setMat4(const std::string& name, float value[]) const {
    glUniformMatrix4fv(glGetUniformLocation(ID, name.c_str()), 1, GL_FALSE, value);
}

介紹一下glUniformMatrix4fv函數(shù)的參數(shù)：

• 參數(shù)一：變量位置
• 參數(shù)二：我們想傳的矩陣個(gè)數(shù)柑蛇，這里我們只設(shè)置一個(gè)芥挣，所以是1
• 參數(shù)三：我們是否想轉(zhuǎn)換矩陣，把行和列交換耻台。OpenGL中的矩陣是列主序的矩陣（和DX中的不同）空免，不過(guò)GLM中生成的矩陣也是列主序的，所以我們?cè)O(shè)置成GL_FALSE盆耽，表示不用轉(zhuǎn)換鼓蜒。
• 參數(shù)四：矩陣數(shù)組。這里我們要把矩陣轉(zhuǎn)換成數(shù)組的格式傳遞征字。

接口寫好后，我們就能在主循環(huán)中使用了：

shader.setMat4("transform", glm::value_ptr(trans));

完成后娇豫，編譯運(yùn)行：

運(yùn)行效果

跟我們想象的一樣匙姜！

慢著，這樣就滿足了嗎冯痢？NO氮昧！我們還要讓它動(dòng)起來(lái)。方法也很簡(jiǎn)單浦楣，我們傳入一個(gè)glfwGetTime()作為旋轉(zhuǎn)的弧度就可以了袖肥。像這樣：

trans = glm::rotate(trans, /*glm::radians(90.0f)*/(float)glfwGetTime(), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));

如果之前你是在循環(huán)外面生成的轉(zhuǎn)換矩陣，那么你就要把它放到循環(huán)里面去了振劳，這樣隨著每次運(yùn)行椎组，旋轉(zhuǎn)的角度也不一樣。嗯历恐，編譯運(yùn)行寸癌。

旋轉(zhuǎn)的圖片

效果不錯(cuò)专筷！如果你的程序不這樣的顯示，可以點(diǎn)擊這里下載代碼進(jìn)行比對(duì)蒸苇。

總結(jié)

好了磷蛹，艱苦的數(shù)學(xué)旅程告一段落，我們來(lái)回憶一下都學(xué)了些什么溪烤。首先是向量味咳，以及向量能做的一些運(yùn)算；然后是矩陣檬嘀，以及矩陣的一些運(yùn)算槽驶；接著，我們看到了實(shí)際有用的一些運(yùn)算矩陣枪眉；最后捺檬，我們使用了一個(gè)現(xiàn)成的庫(kù)GLM來(lái)實(shí)現(xiàn)變換坐標(biāo)的效果。呼~休息贸铜！

下一篇
目錄
上一篇

參考資料：
www.learningopengl.com（很好的學(xué)習(xí)網(wǎng)站堡纬，建議多去看看）