在七上的時候遍略，我們學習了整式，和整式的加減骤坐，在小學的時候绪杏，接觸的運算都是只有數，而到了初中纽绍，有了代數蕾久，也就是用一個字母表示，任意一個有理數拌夏。
代數式可以分為兩類僧著，整式和分式，而分式就是分母含有字母的數障簿，整式就是分母不含字母的數盹愚，當然， 整式中也不一定有分數站故。整式還可以分成兩類皆怕，單項式和多項式，單項式就是指數與字母的乘積西篓，這樣的代數式叫做單項式愈腾，而單獨的一個數或者一個字母，也是單項式岂津，而多項式就是指幾個單項式的和叫做多項式虱黄。我們今天主要要探究整式。
整式的加減吮成，其實本質上就是合并同類項橱乱，同類項就是所含的字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項赁豆，所有的常數都是同類項仅醇。而合并同類項就是把多項式中的同類項合并成一項就叫做合并同類項冗美，其法則就是合并同類項時魔种，把同類項的系數相加，字母粉洼，和字母的指數不變节预。
那么叶摄，當我們學習完了整式的加減之后，接下來就要學習整式的乘除安拟，那么現在我就要來探索蛤吓。
首先，乘法和除法是可以互逆的糠赦，所以他們本質上可以看為同一種運算会傲。
同底數冪的乘除
同底數冪的乘法
首先先是同底數冪的乘法運算，這是挑戰(zhàn)單上的一些題拙泽，那么淌山，這該怎么做呢？
首先我們看一下第一小問顾瞻，102×103泼疑。我覺得可以把這個式子拆開，102就是100荷荤，103就是1000退渗，那么原來的那個式子就變成了100×1000。 而這樣的算法蕴纳，在小學是學過的会油，所以我們可以很輕松的算出來，100×1000=100000袱蚓。而102×103就等于100000钞啸。
在七上的時候，我們學習過科學計數法喇潘，就是把很大的數表示的簡潔一些体斩，那么100000就可以寫成10?。這個時候颖低，我就發(fā)現最后結果的指數絮吵，正好是前面兩個數的指數的和〕佬迹可是蹬敲，這只是一個例子，那我們再來看一下挑戰(zhàn)單上的第二小題莺戒，10?×10?＝100000×100000000＝10000000000000＝1013伴嗡。而1013就是10???。第三題10?×10?从铲，我們可以看作(10×10×10×……×10)×(10×10×10×……×10)瘪校。就是m個10相乘再再乘n個十10相乘。
那么我們暫時找到的結論是，同底數冪相乘阱扬，底數不變泣懊，指數相加
可是這只是一些特例得出來的結論，接下來用字母證明麻惶。
而這也證明了馍刮，同底數冪的乘法法則，就是窃蹋，同底數冪相乘卡啰，底數不變，指數相加警没。用字母表示碎乃，就是a?·a?＝a???。
冪的乘方與積的乘方
冪的乘方
冪的乘方惠奸，我們可以舉個例子梅誓，比如（32）3，也可以吧他寫成（3·3）（3·3）（3·3）佛南，也就是6個3相乘梗掰。等于3?。
接下來再看一個式子(a2)3嗅回，同樣及穗，我們把這個式子拆開，先把括號里的表示出來绵载，也就是a·a埂陆，那么，a·a的三次方就可以寫成(a·a)·(a·a)·(a·a)娃豹，也就是a·a·a·a·a·a焚虱，等于a?，然后我們就可以發(fā)現懂版，最后結果的指數6鹃栽，就是前面兩個指數2和3的乘積。
那么怎么用嚴謹的方法證實呢?用字母表示
那么我們現在得出的躯畴，結論就是民鼓，底數不變，指數相乘蓬抄。
積的乘方
接下來就是丰嘉，積的乘方。 比如一個式子
(3×5)?
＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)
＝(3×3×3×3)×(5×5×5×5)
＝3?×5?
最終我們發(fā)現嚷缭，積的乘方其實也就等于乘方的積饮亏，但這只是用數字表示的一個特殊的例子，他并不能證明這個結論就是對的。
那么克滴，用字母該如何運算呢？
同底數冪的除法
接下來我們就該探索同底數冪的除法优床，在探索到這兒的時候劝赔，我猜想，因為之前我們學過乘法和除法是互逆的胆敞，所以着帽，也許同底數冪的乘法和除法也是一樣，而我們剛才探索的同底數冪的乘法法則就是移层，底數不變仍翰，指數相加，那么逆過來观话，我大膽的猜想一下予借，同底數冪的除法，可能就是底數不變频蛔，指數相減灵迫？
那么接下來就開始證實，在挑戰(zhàn)單上晦溪，有這樣一道題
已知10?×103＝10?瀑粥，寫出這個乘法算式對應的除法算式:
10?÷103＝10?
除法，我們通橙玻可以寫成分數的形式狞换，所以在我探究的時候也寫成了分數的形式。那怎么證明舟肉？對應的這個除法算式一定就是合理的呢修噪？接下來我就用分數證明一下
我把這個式子寫成了分數的形式，接下來我就想利用分數進行運算路媚，首先割按，我們可以利用分數的基本性質，把分母和分子進行約分
我們發(fā)現把分子和分母約分之后磷籍，就剩下了五個十相乘适荣，而五個十相乘就可以寫成10?啡专， 由此我們可以知道剛才用乘法推過來的算式是對的轻绞，但特例并不能證明普通的一般規(guī)律。
那么得问，如何用嚴謹的數學推理探討出同底數冪的除法法則比然？
比如
通過這個字母的證明丈氓，我們可以得到一個法則，同底數冪相除，底數不變万俗，指數相加湾笛。
零指數冪與負整數指數冪
而剛剛我在途中標注(a≠0，m＞n)闰歪。也就是說嚎研，m必須大于n，這樣最后的指數才能是一個正整數库倘。那么临扮，如果正整數m小于正整數n，怎么辦教翩？
如果是這樣的話杆勇，那么，最后的指數一定是一個負數饱亿，而一個負指數蚜退，又會是怎樣的呢？
我覺得可以利用正指數冪彪笼，得出一個規(guī)律关霸，然后看是否可以，將其規(guī)律放在負指數冪上杰扫。
10?＝10000
103＝1000
102＝100
101＝10
在這幾個式子中队寇，我們可以發(fā)現，從上往下章姓，十的指數依次減一佳遣，而隨著指數的變化，最后的結果就是上面一個數的1/10凡伊，那么有了這樣的一個規(guī)律零渐，是否可以寫出10??
所以我大膽的猜一下
10?＝1
因為隨著上面的規(guī)律，指數減一就變成了零系忙，而最后的結果乘1/10诵盼，就變成了1。
那么银还，這是零指數冪风宁，負指數冪，應該也一樣吧蛹疯！
10?1＝0.1
10?2＝0.01
10?3＝0.001
(以此類推)
但是上這個推的規(guī)律是沒有依靠的戒财，所以我們現在可以用同底數冪的除法，來證明捺弦。
比如剛才我們說過同底數冪除法比如饮寞，10?×10?孝扛，我們可以發(fā)現，5大于4幽崩，那么如果根據同地數冪的除法法則苦始，底數不變，指數相減慌申，最終得到的結果是一個負數次冪陌选，也就是10的-1次方，而如果我們用分數的形式來推導的話太示，也就是10·10·10·10/10·10·10·10·10＝1╱10。
最終我們可以發(fā)現香浩，a??＝1╱a?
整式的乘除
整式的乘法
單項式乘單項式
整式的乘法可以分為單項式乘單項式类缤，單項式乘多項式，和多項式乘多項式邻吭。
首先餐弱，單項式乘單項式，(指含有常數的單項式囱晴，這類就先不說了) 也可以把它拆分開膏蚓，我們以一個題為例
3a2b·2ab3c2
首先，先乘系數3×2畸写，然后再把同底數冪相乘驮瞧，(a2·a)·(b·b3)·c2
＝6a3b?c2
各因式系數的積作為積的系數，相同字母的指數的和作為積里枯芬，這個字母的指數论笔，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式∏現在我們可以得出單項式乘單項式的計算法則狂魔，單項式與單項式相乘的時候，把它們的系數淫痰，相同字母的冪分別相乘最楷，然后其余的字母連同它的指數不變，作為積的一個因式待错。
單項式乘多項式
同樣的籽孙，我們還是以一個題為例
比如
2ab(5ab2＋3a2b)
利用乘法分配律將括號拆開
2ab×5ab2＋2ab×3a2b
＝10a2b3＋6a3b2
運算法則就是，單項式成多項式火俄，是通過乘法對加法的一個分配律蚯撩，把它轉化成單項式乘單項式，也可以理解為用單項式去成多項式的每一項然后再把所得的積相加烛占。
多項式乘多項式
首先我們看一道題
(x＋2)(x－2)
首先胎挎，先用其中一個多項式的每一項分別乘另一個多項式中的每一項
＝(x＋2)x－2(x＋2)
＝x2＋2x－2x－4
然后再把所得的積相加
＝x2－4
所以我們可以得出沟启，多項式乘多項式就是先用一個多項式中的每一項乘另一個多項式，然后再分別乘那個多項式里的每一項犹菇，最后得到的積相加德迹。
在多項式乘多項式當中，會有一些比較特殊的結構揭芍，比如平方差公式和完全平方公式胳搞，他們都屬于乘方公式，也是多項式乘多項式中之一称杨。
平方差公式
那么首先就是平方差公式肌毅，比如（a-b）（a+b）
首先，我們可以先利用乘法分配律將第二個括號里拆開姑原，也就是用第二項里的每一項去成第一巷里的每一項悬而，之后再去括號，最后我們可以發(fā)現用綠筆畫上的兩項可以抵消變成零锭汛，所以最后的結果也就是A方減B方笨奠。
而平方差公式的法則就是兩個數的和乘兩個數的積就等于2個數的平方差。
完全平方公式
完全平方公式也是一個很特殊的結構唤殴，比如（a+b）2般婆，也就是兩個A + B相乘，那么同樣我們可以利用乘法分配律進行計算朵逝。
在第二部的時候我們可以發(fā)現其實完全平方公式和平方差公式中間也就錯了一個符號蔚袍，所以最后導致了A B沒有被抵消，因為有兩A B相加配名，隨便成了A方+2A B + B方页响。
而完全平方公式的法則就是，2數的平方和+2數積的二倍段誊。
整式的除法
首先闰蚕，我們還是把整式的除法分一下類
單項式除以單項式
我們還是先以題為例
(－2r2s)2÷4rs2
＝(－2r2s)·(－2r2s)÷4rs2
＝4r?s2÷4rs2
＝r
單項式除單項式，首先连舍，把系數和同底數冪分別相除没陡，然后作為商的因式，對于只在被除數里含有的字母索赏，就連同它的指數作為商的一個因式盼玄。
多項式除以單項式
(6ab＋8b)÷2b
同樣是除法，我們可以把它寫成分數的形式潜腻，首先埃儿，讓多項式里的每一項除單項式，再把商相加融涣。
也就是6ab/2b＋8b/2b
然后再利用分數的性質約分
就得到了3a＋4
所以多項式除單項式的運算法則童番，就是先把這個多項式的每一項分別除那個單項式精钮，最后再把所得的商相加。
多項式除多項式
多項式除多項式我們了解的并不多剃斧，我們只能進行簡單的運算轨香，比如說一些有規(guī)律的，可以利用平方差公式和完全平方公式的幼东。而這些并非是普遍規(guī)律而是特殊的結構臂容。
現在我們觀察一下上面的這幾道題，我發(fā)現根蟹，這些題脓杉，其實都與完全平方和完全平方差和平方差，是有聯系的简逮。因為他們其實是可以互逆的球散。
比如第一道題，我們發(fā)現其實第一道題中的被除數就是(a＋b)2买决，這其實也就是逆用了完全平方公式沛婴，那么我們就可以知道答案就等于a+b吼畏。
事實上整式的除法中應該還包括單項式除多項式只不過這里我們不做過多的提及督赤，因為這些還沒有學。
而學習完整式的乘除泻蚊，那么接下來我們應該可以立馬想到和整式的乘除相反的躲舌，也就是可以膩過來的因式分解，比如正式的乘除是從A到B性雄，而相反没卸，因式分解就是通過B到A，因式分解和整式的乘除是互利的秒旋，也就是說如果整式的乘除學好了约计，學透了，那么因式分解就會更容易迁筛。
