概率初步

一颓帝、古典概型

1.隨機(jī)試驗(yàn)

若試驗(yàn)滿足以下條件：
(1) 試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行墨闲；
(2) 試驗(yàn)的結(jié)果具有很多可能性彤避；
(3) 試驗(yàn)前不能確切知道會(huì)出現(xiàn)何種結(jié)果嗓化，只知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
這樣的試驗(yàn)叫作隨機(jī)試驗(yàn)缩擂，簡稱試驗(yàn)谷浅，記為E

2.隨機(jī)事件

在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件涂滴。常記為A, B, C, ????

3.基本事件胆建、必然事件街州、不可能事

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集兼丰，稱為基本事件，基本事件也叫樣本點(diǎn).
樣本空間包含所有樣本點(diǎn).
在每次試驗(yàn)中總是要發(fā)生的事件唆缴，稱為必然事件.
每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件鳍征，稱為不可能事件，記為 $\emptyset$

4.概率的定義

隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量值稱為事件A的概率面徽，記為P(A)

一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果(事件A)稱為一個(gè)基本事件.三種事件都是在 “一定條件下” 發(fā)生的艳丛，當(dāng)條件改變時(shí)，事件的性質(zhì)也可以發(fā)生變化

5.概率的性質(zhì)

設(shè)有有限個(gè)兩兩互斥的事件 $A_1,A_2,A_3,...A_n$ ,則 $P(\cup^n_{i-1} A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$
設(shè) $\overline{A}$ 是A的對(duì)立事件趟紊，則 $P(\overline{A})=1-P(A)$

6.古典概型

隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下兩特征：

樣本空間的元素(即基本事件)只有有限個(gè)氮双；
每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.

則稱E為古典概型試驗(yàn)

7.計(jì)算公式

在古典概型的情況下，事件A的概率定義為：
$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件數(shù)k}{樣本空間中基本事件總數(shù)n}$

對(duì)于古典概率霎匈，需要用排列組合分別計(jì)算分子和分母的情況數(shù)戴差，然后用比值表示發(fā)生的概率.
古典概型的分母相當(dāng)于總情況數(shù)，比較容易求解唧躲，分子求解難度較大

總結(jié)：

隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果造挽，每個(gè)結(jié)果稱為基本事件（元素）
將所有的結(jié)果（基本事件-元素），放到一個(gè)集合中為樣本空間
樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件（集合）（每個(gè)子集內(nèi)部的元素是有限個(gè)而且是確定的）
不可能事件：空集
必然事件：全集
隨機(jī)事件的關(guān)系：子集和子集之間的關(guān)系
互斥事件：子集和子集之間沒有交集
對(duì)立事件：反面求解（補(bǔ)集思想） $1-P(A)$

二弄痹、獨(dú)立事件

如果兩事件中任一事件的發(fā)生不影響另一事件的概率饭入，則稱這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的
$若P(AB) =P(A)P(B)$ ,則稱兩個(gè)事件A和B是相互獨(dú)立的.

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率=每個(gè)事件發(fā)生的概率相乘.

常用結(jié)論:

如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件
發(fā)生的概率的積, $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)·P(A_2)·....·P(A_n)$
如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互獨(dú)立肛真，那么這n個(gè)事件都不發(fā)生的概率等于每個(gè)事件
不發(fā)生的概率的積, $P(\overline{A_1}\overline{A_2}....\overline{A_n})=P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2})·....·P(\overline{A_n})$
如果事件 $A_1,A_2,...A_n$ 相互獨(dú)立谐丢，那么這n個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率,可以
從其反面求解，它等于1減每個(gè)事件都不發(fā)生的概率的積， $P(A_1+A_2+...+A_n)=1-P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2})·....·P(\overline{A_n})$

兩個(gè)獨(dú)立事件模版：甲乙成功的概率分別為 $p_1和p_2$

甲乙都成功的概率： $p_1·p_2$
甲乙都不成功的概率： $(1-p_1)·(1-p_2)$
甲乙至少有一個(gè)成功的概率： $1-(1-p_1)·(1-p_2)$
甲乙恰有一個(gè)成功的概率： $p_1·(1-p_2)+p_2·(1-p_1)$

三個(gè)獨(dú)立事件模板:甲乙丙成功的概率分別為 $p_1,p_2,p_3$

三人都成功的概率： $p_1·p_2·p_3$
三人都不成功的概率： $(1-p_1)·(1-p_2)·(1-p_3)$
三人至少有一個(gè)成功的概率： $1-(1-p_1)·(1-p_2)·(1-p_3)$
恰有兩個(gè)人成功的概率： $p_1·p_2·(1-p_3)+p_1·p_3·(1-p_2)+p_2·p_3·(1-p_1)$
至多有兩人成功的概率： $1-p_1·p_2·p_3$

三乾忱、古典概率

1.取樣古典概率

$取樣方式 = \begin{cases} 逐次取樣 \begin{cases} 有放回取樣：樣本不變 C_n^1C_n^1C_n^1...\\ 無放回取樣：樣本逐一減少C_n^1C_{n-1}^1C_{n-2}^1...\ \end{cases} \\ 一次取樣：所取元素不考慮順序 C_n^m\\ \end{cases}$

3黑3白取兩球

一次取一黑一白： $\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}$
逐次不放回的取一黑一白： $\frac{C_3^1C_3^1+C_3^1C_3^1}{C_6^1C_5^1}$
逐次放回的取一黑一白: $\frac{C_3^1C_3^1+C_3^1C_3^1}{C_6^1C_6^1}$

一次取和不放回的逐次取概率相等

2.分房古典概率

1.房間可空

如果房間可空(房間中的人數(shù)無限制)讥珍，則需要用方幕法，
公式為： m個(gè)人去n個(gè)房間窄瘟，有 $n^m$ 種方法.

分母：方冪法衷佃，識(shí)別元素和對(duì)象，對(duì)象作為底數(shù)蹄葱，元素作為次數(shù)
分子：固定房間氏义，對(duì)著房間（對(duì)象）選人（元素）

先選房--若房間指定，則不需要選取
再選人--若人指定图云，則不選人
人排序--n個(gè)人去n個(gè)房間 $A_n^n$ 惯悠，只有一個(gè)房間，則直接將人放入即可
其余人如果沒有要求竣况，繼續(xù)方冪

2.房間不可空

如果房間不可空(或房間中的人數(shù)有限制)克婶，則需要先分堆（重復(fù)的堆要記得消序），再排序丹泉，此時(shí)不能用方幕法情萤。

對(duì)于試密碼的考題，第k次嘗試成功意味著前k-1次沒有成功

四嘀掸、伯努利公式

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

在相同條件下紫岩，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其他次試驗(yàn)結(jié)果的影響睬塌，此種試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

2.伯努利公式

如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是： $P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,3,4...,n$

特殊情況

k=n時(shí),即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A全部發(fā)生,概率為 $P_n(n)=C_n^np^n(1-p)^0=p^n$
k=0時(shí)泉蝌，即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A沒有發(fā)生，概率為 $P_n(0)=C_n^0p^0(1-p)^n=(1-p)^n$

應(yīng)用：對(duì)于多次或多個(gè)對(duì)象的獨(dú)立事件揩晴，當(dāng)每次概率相同時(shí)勋陪，可以套伯努利公式求解

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市硫兰，隨后出現(xiàn)的幾起案子诅愚，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖劫映，帶你破解...
沈念sama閱讀 218,682評(píng)論 6贊 507
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件违孝，死亡現(xiàn)場離奇詭異，居然都是意外死亡泳赋，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)雌桑，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 93,277評(píng)論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來祖今，“玉大人校坑，你說我怎么就攤上這事拣技。” “怎么了耍目？”我有些...
開封第一講書人閱讀 165,083評(píng)論 0贊 355
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵膏斤，是天一觀的道長。經(jīng)常有香客問我邪驮，道長莫辨，這世上最難降的妖魔是什么？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 58,763評(píng)論 1贊 295
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任耕捞，我火速辦了婚禮衔掸，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘俺抽。我一直安慰自己，他們只是感情好较曼，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 67,785評(píng)論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布磷斧。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般捷犹。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪弛饭。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 51,624評(píng)論 1贊 305
城市分裂傳說
那天萍歉，我揣著相機(jī)與錄音侣颂，去河邊找鬼。笑死枪孩，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛憔晒，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播蔑舞，決...
沈念sama閱讀 40,358評(píng)論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼拒担，長吁一口氣：“原來是場噩夢(mèng)啊……” “哼！你這毒婦竟也來了攻询？” 一聲冷哼從身側(cè)響起从撼，我...
開封第一講書人閱讀 39,261評(píng)論 0贊 276
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎钧栖，沒想到半個(gè)月后低零，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,722評(píng)論 1贊 315
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡拯杠，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,900評(píng)論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年掏婶，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片阴挣。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,030評(píng)論 1贊 350
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡气堕，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情茎芭，我是刑警寧澤揖膜，帶...
沈念sama閱讀 35,737評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站梅桩，受9級(jí)特大地震影響壹粟，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜宿百，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,360評(píng)論 3贊 330
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一趁仙、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧垦页，春花似錦雀费、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,941評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案盏袄，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至薄啥，卻和暖如春辕羽，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背垄惧。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 33,057評(píng)論 1贊 270
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工刁愿，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人到逊。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,237評(píng)論 3贊 371
代替公主和親
正文我出身青樓铣口，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親蕾管。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子枷踏，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,976評(píng)論 2贊 355