本篇文章簡(jiǎn)單總結(jié)了數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的三種形式的幾何意義：
1.比式：形如
形式的分式，我們可以把它視為)
和)
兩點(diǎn)之間連線(xiàn)的斜率辱志。
例題：求解函數(shù)%20%3D%20%5Cfrac%7Bsin%5Ctheta%20-2%7D%7Bcos%5Ctheta-2%7D)
的值域。
我們可以將其理解為兩點(diǎn))
和)
之間連線(xiàn)的斜率已球。而表示的是單位圓
上的一個(gè)點(diǎn)渠缕。
如圖所示，點(diǎn))
遭笋，另外一個(gè)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，隨著這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)央串，我們會(huì)有這條藍(lán)色的直線(xiàn)的斜率發(fā)生變化，顯然在直線(xiàn)與圓相切的時(shí)候饲宿，斜率會(huì)取到最大值與最小值。因此我們只需要計(jì)算直線(xiàn)與圓相切的情況即可国夜。
不妨假設(shè)藍(lán)色直線(xiàn)方程為：
)
即
直線(xiàn)與圓相切鸠按，得到圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑
馒吴。我們使用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：
解得
,從而原函數(shù)的值域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cfrac%7B4-%5Csqrt7%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B4%2B%5Csqrt7%7D%7B3%7D%5D" alt="[\frac{4-\sqrt7}{3},\frac{4+\sqrt7}{3}]" mathimg="1">
2.根號(hào)下平方和%5E2%2B(y_2-y_1)%5E2%7D)
洞拨，我們可以把它視為)
和兩點(diǎn)之間的距離。
例題：求二元函數(shù)%3D(x-y)%5E2%2B(2x-lny)%5E2)
的最小值秸歧。
解：此題目具有平方和的形式今布，因此我們可以考慮記%5E2%2B(2x-lny)%5E2%7D)
表示
所以d表示的是)
和)
兩點(diǎn)之間的距離弄喘，而他們可以理解成兩個(gè)函數(shù)%3D2x)
和%3Dlny)
上面的點(diǎn)贬派。
我們知道，在
的某點(diǎn)切線(xiàn)斜率等于直線(xiàn)的斜率時(shí)镐躲，那么這個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短撒穷。
求導(dǎo),令'%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D2)
,得到
,
也就是說(shuō)入录，曲線(xiàn)上距離直線(xiàn)最近的一點(diǎn)是))
,
那么我們根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算
的最小值是凡桥，
所以原本的二元函數(shù))
的最小值是%5E2%7D%7B5%7D)
3.線(xiàn)性表達(dá)式
，我們可以將其假設(shè)為
拷恨，
,得到是一個(gè)與斜率有關(guān)的變量芦疏。此類(lèi)題目常見(jiàn)于線(xiàn)性規(guī)劃酸茴。
例題：已知
滿(mǎn)足，求
的取值范圍。
解答：不妨假設(shè)
,也就是
，那么就可以視為一條斜率為-1泌绣，并且與曲線(xiàn)相交的直線(xiàn)的縱截距。
如圖所示，綠色直線(xiàn)斜率為-1腰埂，當(dāng)它在上下平移的過(guò)程中驴一，截距發(fā)生了變化驰凛，顯然相切的時(shí)候斜率取到最大最小值。
同樣利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式首有，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑低矮，得到相切時(shí)候的值為
.因此得到的取值范圍為![[-\sqrt2,+\sqrt2]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B-%5Csqrt2%2C%2B%5Csqrt2%5D)
