張齊華的“平均數(shù)”一課概念為本的教學(xué)

作者:北京教育學(xué)院劉加霞

學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢?傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)(有時(shí)甚至是沒有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù))計(jì)算其平均數(shù)山叮，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)念秧，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡單的技能學(xué)習(xí)驾锰，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義忿项。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來理解平均數(shù)蟹倾。然而什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度”理解平均數(shù)?在教學(xué)中如何落實(shí)?如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來?如何將平均數(shù)作為一個(gè)概念來教?

下面以張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課為例研究教學(xué)實(shí)踐中如何解決上述問題缤削。

將平均數(shù)作為一個(gè)重要概念來教，重點(diǎn)是要解決三個(gè)問題:為什么學(xué)習(xí)平均數(shù)?平均數(shù)這個(gè)概念的本質(zhì)以及性質(zhì)是什么?現(xiàn)實(shí)生活澄成、工作等方面是怎樣運(yùn)用平均數(shù)的?張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課正是從這三方面胧洒，并依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特，點(diǎn)和生活經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)從概念的角度理解平均數(shù)环揽。

一略荡、“概念為本”教學(xué)的核心:為什么學(xué)習(xí)平均數(shù)

1.憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的“代表性"。

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫歉胶、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平汛兜。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個(gè)原始數(shù)據(jù))，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)通今，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平粥谬。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較.

就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性辫塌，不僅便于比較漏策，而且公平。

在張老師的課上臼氨，導(dǎo)人部分的問題一一1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽一一雖然簡單掺喻，但易于引發(fā)學(xué)生對平均數(shù)的“代表性”的理解:是用一次投籃投中的個(gè)數(shù)來代表整體水平還是用幾次投籃中的某一次投中個(gè)數(shù)來代表整體水平呢?抑或是用幾次投籃的總數(shù)來代表整體水平呢?

由于教師所選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設(shè)計(jì)，同時(shí)各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨著教師的追問储矩，使學(xué)生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義感耙。這些數(shù)據(jù)并不是一組一組地同時(shí)呈現(xiàn)，然后讓學(xué)生分別計(jì)算其平均數(shù)持隧，而是動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)即硼，并伴隨教師的追問，以落實(shí)研究每一組數(shù)據(jù)的教學(xué)目標(biāo)屡拨。例如只酥，先呈現(xiàn)小強(qiáng)第一次投中5個(gè)褥实，然后追間: “小強(qiáng)對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平裂允，想再投兩次损离。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?”這樣就使學(xué)生直覺體驗(yàn)到由于隨機(jī)誤差的原因僅用一"次的數(shù)據(jù)很難代表整體的水平绝编，因此再給他兩次投籃的機(jī)會草冈。而小強(qiáng)的投籃水平非常穩(wěn)定，三次都是5個(gè)瓮增。三次

數(shù)據(jù)都是“5"怎棱，這是教師精心設(shè)計(jì)的，核心是讓學(xué)生憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的代表性绷跑，避免了學(xué)生不會計(jì)算平均數(shù)的尷尬拳恋。同樣道理，第二組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式仍然先呈現(xiàn)一個(gè)砸捏，伴隨教師的追問:“ 如果你是小林谬运，會就這樣結(jié)束嗎?”這讓學(xué)生體驗(yàn)一次數(shù)據(jù)，很難代表整體水平垦藏，但3梆暖、5. 4 到底哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表小林的水平呢?教師設(shè)計(jì)這些活動(dòng)的核心是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。

2.兩種計(jì)算方法的背后仍強(qiáng)化概念理解掂骏。

雖然會計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能轰驳，但過多的、單純的練習(xí)容易變成純粹的技能訓(xùn)練弟灼，妨礙學(xué)生體會平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價(jià)值级解。計(jì)算平均數(shù)有兩種方法，每種方法的教育價(jià)值各有側(cè)重點(diǎn)田绑，其核心都是強(qiáng)化對平均數(shù)意義的理解勤哗，非僅僅計(jì)算出結(jié)果。

在張老師的課上掩驱，利用直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖(條形統(tǒng)計(jì)圖也可以)芒划，通過動(dòng)態(tài)的“割補(bǔ)”來呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐欧穴。首先兩次在直觀水平上通過“移多補(bǔ)少”求得平均數(shù)民逼，而不是先通過計(jì)算求平均數(shù)。這樣做苔可，強(qiáng)化平均數(shù)“勻乎缴挖、勻乎”的產(chǎn)生過程袋狞，是對平均數(shù)能刻畫一一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解焚辅，避免學(xué)生原有思維定勢的影響映屋，即淡化學(xué)生對“平均分”的認(rèn)識，強(qiáng)化對平均數(shù)意義而非算法的理解同蜻。

如何讓學(xué)生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平棚点，而不是平均分后某個(gè)體所獲得的結(jié)呆呢?平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系更有區(qū)別，雖然二者的計(jì)算過程相同湾蔓，但不同于前面所學(xué)的“平均分”瘫析，二者計(jì)算過程相同但各自的意義不同。

從問題解決角度看默责，“平均分”有兩層含義:一是已知總數(shù)和份數(shù)贬循，求每份數(shù)是多少;二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份桃序，強(qiáng)調(diào)的是除法運(yùn)算的意義杖虾，

解決的是“單位量”與“單位個(gè)數(shù)”的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水平媒熊，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平奇适，強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，數(shù)據(jù)的“個(gè)數(shù)”不同于前面所說的“份數(shù)”芦鳍，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個(gè)數(shù)嚷往。

因此張老師的教學(xué)中沒有單純地求平均數(shù)的練習(xí)，而是將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中柠衅，在描述數(shù)據(jù)皮仁、進(jìn)行整體水平對比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)菲宴。例如魂贬，張老師在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問:“ 哪個(gè)數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)呢?”“這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個(gè) 數(shù)嗎?”“能代表小剛第二次裙顽、第三次投中的個(gè)數(shù)嗎?”“那它究竟代表的是哪一次的 個(gè)數(shù)?”通過這樣的追問付燥，強(qiáng)化平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。當(dāng)然愈犹，如果在此現(xiàn)實(shí)問題中出現(xiàn)平均數(shù)是小數(shù)的情形更有助于學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次投中的個(gè)數(shù) (投中的個(gè)數(shù)怎么會是小數(shù)呢?不強(qiáng)調(diào)小數(shù)的意義键科，只出現(xiàn)簡單小數(shù)，例如3. 5個(gè))漩怎，

即有人所說的“平均數(shù)是一個(gè)虛幻的數(shù)”勋颖。學(xué)生對此理解需要比較長的“過程”,不是一節(jié)課就能達(dá)成的。

二勋锤、“概念為本”教學(xué)的深化:進(jìn)一步理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì)

初步認(rèn)識了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義后饭玲，張老師仍然進(jìn)一步設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生借助于具體問題、具體數(shù)據(jù)初步理解平均數(shù)的性質(zhì)叁执，豐富學(xué)生對平均數(shù)的理解茄厘，也為學(xué)生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問題提供知識和方法上的支持矮冬。算術(shù)平均數(shù)有如下性質(zhì):

1.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，“稍有風(fēng)吹草動(dòng)”就能帶來平均數(shù)的變化”次哈，即敏感性胎署。

2.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間。

3.一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之差(稱為離均差)的總和等于0窑滞，即:其中xi總是原始數(shù)據(jù)琼牧，x是這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。

4.給一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)加上一個(gè)常數(shù)C哀卫， 則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)C巨坊。

5.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)C,則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)乘常數(shù)C。

這些抽象的性質(zhì)如何讓小學(xué)生理解呢?張老師仍然是在巧妙的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)以及適時(shí)的把握本質(zhì)的追問中讓學(xué)生進(jìn)一步深化對平均數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識此改。數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的巧妙主要體現(xiàn)在:

首先抱究，在統(tǒng)計(jì)張老師自己的投球水平時(shí)，張老師“搞特殊”带斑，可以投四次鼓寺。

基于前面學(xué)生對平均數(shù)的初步感知，學(xué)生認(rèn)可用老師四次投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)來代表老師的整體水平勋磕，但張老師在第四次投中多少個(gè)球上大做文章:前三次的平均數(shù)是5妈候，那么老師肯定是并列第一了?一組數(shù)據(jù)中前三個(gè)數(shù)據(jù)大小不變，只是第四個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生變化挂滓，會導(dǎo)致平均數(shù)產(chǎn)生什么樣的變化呢?在疑問與困惑(當(dāng)然有很多學(xué)生是“清醒”的)中苦银，教師首先出示了“極端數(shù)據(jù)二”(1個(gè)球)，進(jìn)一步 深化學(xué)生對平均數(shù)代表性的理解赶站，初步體驗(yàn)平均數(shù)的敏感性幔虏。

其次，假設(shè)張老師第四次投中5個(gè)贝椿、9個(gè)想括，張老師1分鐘投球的平均數(shù)分別是多少?根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖直觀估計(jì)、計(jì)算或者根據(jù)平均數(shù)的意義進(jìn)行推理都能求出平均數(shù)烙博，多種方法求解發(fā)揮了學(xué)生的才智瑟蜈，使學(xué)生的潛能得以發(fā)揮，體驗(yàn)成功感進(jìn)而體驗(yàn)創(chuàng)造學(xué)習(xí)的樂趣渣窜。

再次铺根，將張老師1分鐘投球的三幅統(tǒng)計(jì)圖同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生對比分析乔宿、獨(dú)立思考再小組討論位迂。由于三幅統(tǒng)計(jì)圖中前三個(gè)數(shù)據(jù)相同，只有第四個(gè)數(shù)據(jù)不同，學(xué)生能夠進(jìn)一步理解平均數(shù)的敏感性:任何一個(gè)數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動(dòng)掂林，都會使平均數(shù)發(fā)生變化臣缀。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是介于最小的數(shù)與最大的數(shù)之間:多的要移一些補(bǔ)給少的，最后平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小比最小的大了党饮。學(xué)生還發(fā)現(xiàn):“總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4驳庭，而是只增加1刑顺。”教師適時(shí)追問:“要 是這里的每一個(gè)數(shù)都增加4饲常，平均數(shù)又會增加多少呢?還會是1嗎?”

再進(jìn)一步觀察三幅統(tǒng)計(jì)圖中的第一幅圖蹲堂，教師迫問:比較一下 超過平均數(shù)的部分與不到平均數(shù)的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么?

生:超過的部分和不到的部分一樣多贝淤，都是3個(gè)柒竞。

師:會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?

通過進(jìn)一步觀察其他幾幅統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生真正理解了并用自己形象生動(dòng)的語言描述出:“ 就像山峰與山谷‘樣播聪。把山峰切下來朽基，填到山谷里，正好可以填平离陶。如果山峰比山谷大稼虎，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平招刨■”

在上述問題情境中，以“問題”為導(dǎo)向沉眶，借助于直觀的統(tǒng)計(jì)圖以及學(xué)生的估計(jì)或者計(jì)算打却，學(xué)生思維上、情感上經(jīng)歷一籌莫展谎倔、若有所思柳击、茅塞頓開、悠然心會的過程片习，對平均數(shù)的意義以及性質(zhì)都有了深切的體會腻暮。

有前述對平均數(shù)意義以及性質(zhì)的了解，學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢?敘述出概念的定義或者會計(jì)算不等于真正理解某個(gè)概念毯侦，還要看能否在不同情境中運(yùn)用概念哭靖。由于平均數(shù)這個(gè)概念對小學(xué)生而言是非常抽象的(如前所說，它是“虛幻的數(shù)”侈离，學(xué)生不能具體看到)试幽，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步理解了平均數(shù)铺坞。

因此起宽，張老師設(shè)計(jì)了四個(gè)復(fù)雜程度不同的問題，即“紙帶平均長短”“球員平均身高”“平均水深”“平均壽命”济榨，這四個(gè)問題中的平均數(shù)的復(fù)雜程度不同坯沪。

前兩個(gè)問題中的平均數(shù)比較簡單，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)擒滑，而且又有直觀圖形做理解.上的支撐腐晾，因此前兩個(gè)問題是簡單應(yīng)用平均數(shù)的性質(zhì)一一離差之和為零，即有比平均數(shù)大的數(shù)據(jù)就一定有比平均數(shù)小的數(shù)據(jù)丐一。學(xué)生可以借助于直觀圖形以及計(jì)算求出這兩個(gè)問題中的平均數(shù)藻糖。在“紙帶”問題中數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式不同于前面，是橫向呈現(xiàn)库车，但平均數(shù)的意義不變巨柒，淡化呈現(xiàn)形式強(qiáng)化意義理解，為學(xué)生理解平均數(shù)提供另一視角柠衍。 “球員平均身高”問題不是讓學(xué)生計(jì)算球員的平均身高而是讓學(xué)生借助平均數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷洋满，并通過學(xué)生熟悉的中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高以及姚明的特殊身高深化對平均數(shù)的理解由驹。

最后兩個(gè)情境的平均數(shù)是比較復(fù)雜的互艾，是以樣本的平均數(shù)代替總體的平均數(shù)。例如宠哄，平均水深到底是什么意思呢?可以是隨機(jī)選取有限個(gè)點(diǎn)垫蛆，測量這些點(diǎn)到水底的距離禽最，再求這些距離的平均數(shù)作為池塘平均水深的代表值。同樣袱饭，

2008年中國男性的平均壽命也是通過計(jì)算樣本的平均年齡來表示全體中國男性的平均年齡川无。

真正理解這些平均數(shù)的意義對小學(xué)生而言有難度。因此虑乖，張老師在教學(xué)中呈現(xiàn)子池塘的截面圖懦趋，并標(biāo)注出五個(gè)距離，將復(fù)雜的問題簡單化疹味，使學(xué)生仍能借助于平均數(shù)的性質(zhì)理解冬冬下水游泳仍有危險(xiǎn)仅叫。通過平均數(shù)意義的強(qiáng)化，使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度解釋是否有危險(xiǎn)糙捺，避免學(xué)生從其他角度解釋诫咱。在解釋男性平均壽命問題中，借助于學(xué)生親人的年齡這樣的特殊而具體的數(shù)據(jù)洪灯，來理解平均壽命是71歲不等于每個(gè)男人都活到71歲坎缭。但不是所有的學(xué)生都能借助于前面所學(xué)平均數(shù)的意義和性質(zhì)來解釋這些問題，學(xué)生很難真正理解這兩個(gè)情境下的平均數(shù)的意義。

三掏呼、引發(fā)話題:培養(yǎng)學(xué)生的“統(tǒng)計(jì)概念”還是“數(shù)據(jù)分析概念”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中明確提出坏快，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念。那么憎夷，統(tǒng)計(jì)觀念的內(nèi)涵是什么?是否能夠培養(yǎng)小學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念?我們培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)該是“統(tǒng)計(jì)觀念”還是“數(shù)據(jù)分析觀念”?

M.克萊因在其著作《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中談到:宇宙是有規(guī)律莽鸿、有秩序的，還是其行為僅僅是偶然的拾给、雜亂無章的呢...人們對這些問題卻有種種不同的解釋祥得，其中主要有兩類答案:其一是18世紀(jì)形成的決定論觀，認(rèn)為這個(gè)世界是一個(gè)有序的世界鸣戴，數(shù)學(xué)定律能明白無誤地揭示這個(gè)世界的規(guī)律啃沪。直至目前粘拾，這種決定論的哲學(xué)觀仍然統(tǒng)治著很多人的思想窄锅，支配著他們的信仰并指導(dǎo)其行動(dòng)。但是這種哲學(xué)觀受到了19世紀(jì)以來概率論缰雇、統(tǒng)計(jì)學(xué)的猛烈沖擊入偷，形成了一種新的世界觀，即概率論觀或統(tǒng)計(jì)論觀械哟，它認(rèn)為自然界是混亂的疏之、不可預(yù)測的，自然界的定律不過是對無序事件的平均效應(yīng)所進(jìn)行的方便的暇咆、暫時(shí)的描述锋爪。這就是眾所周知的用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看世界。陳希孺先生說:“ 統(tǒng)計(jì)規(guī)律的教育意義是看問題不可絕對化爸业。習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)規(guī)律看問題的人在思想上不會偏執(zhí)一端其骄，他既認(rèn)識到一種事物從總的方面看有其一定的規(guī)律性，也承認(rèn)存在例外的個(gè)案扯旷，二者看似矛盾拯爽，其實(shí)并行不悖，反映了世界的多樣性和復(fù)雜性钧忽。如果世界上的一切都被鐵板釘釘?shù)囊?guī)律所支配毯炮，那么我們的生活將變得何等的單調(diào)乏味。

統(tǒng)計(jì)觀念實(shí)際上是人的一一種世界觀耸黑，是對人桃煎、生存空間甚至宇宙特點(diǎn)的看法，大多數(shù)成人仍堅(jiān)守著決定論的觀點(diǎn)大刊，形成統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)非常難备禀。因此有研究者提出培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”比較切合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和教育現(xiàn)實(shí)。即認(rèn)為數(shù)據(jù)分析觀念包括:了 解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)曲尸，通過分析作出判斷赋续，體會數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)涵信息的;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析體

驗(yàn)隨機(jī)性另患，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的纽乱，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

數(shù)據(jù)分析觀念應(yīng)該是態(tài)度目標(biāo)的重要組成部分昆箕，態(tài)度目標(biāo)的落實(shí)是在基本知識鸦列、基本技能的教學(xué)過程中完成的，一定要有學(xué)生的質(zhì)疑鹏倘、討論分析薯嗤、探究交流等過程，否則就是“說教”纤泵，很難使學(xué)生產(chǎn)生積極的情緒骆姐、情感，態(tài)度的形成也就流于形式捏题。張老師這一課玻褪，以平均數(shù)的概念為本，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了前面所分析的“過程”公荧，才能真正有態(tài)度的培養(yǎng)带射。

數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，或者說對“態(tài)度”目標(biāo)內(nèi)涵的分析以及如何培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度循狰，都是值得深人研究的課題窟社。