阿貝爾用根式解方程的工作
當(dāng)阿貝爾上中學(xué)時(shí)秸应，他讀了拉格朗日和高斯關(guān)于方程論的著作腰涧，按高斯對二項(xiàng)方程的處理方法探討高次方程可解性神凑。起初阿貝爾以為自己解決了用根式解一般的五次方程辅愿，但他很快認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤谈山，然后（1824-1826）試圖證明這樣解不行俄删。他成功證明了下述定理：可用根式求解的方程的根能以這樣的形式給出：出現(xiàn)在根表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理函數(shù)。阿貝爾用這個(gè)定理證明高于四次的一般方程不能用根式求解奏路。
由于不知道魯菲尼的工作畴椰，阿貝爾的證明又迂回又不必要的復(fù)雜，他的文章關(guān)于函數(shù)分類還有個(gè)錯(cuò)誤鸽粉，還好它對論證沒有本質(zhì)性的影響斜脂，后來他發(fā)表了兩個(gè)更細(xì)致的證明。1879年克羅內(nèi)克根據(jù)阿貝爾思想作出了一個(gè)簡單触机、直接而嚴(yán)密的證明帚戳。
于是阿貝爾解決了高于四次的一般方程的求解問題（呃玷或，結(jié)果就是解不出）。他還考慮了一些特殊方程片任，比如他做了分割雙紐線的問題偏友，并得出一類代數(shù)方程，稱為阿貝爾方程对供，它們是能用根式求解的位他。分圓方程（解x^n-1=0等價(jià)于分圓為n個(gè)等弧）是一種阿貝爾方程产场，更一般地說鹅髓，如果一個(gè)方程的全部根都是其中一個(gè)根的有理函數(shù)（根為x1,θ1(x1),θ2(x1)一直到θn-1(x1)），這樣的方程稱為阿貝爾方程京景，還有條件：對α,β(1到n-1)窿冯，有
在這個(gè)工作中他引入了兩個(gè)概念（雖然沒提出術(shù)語），即域和在給定域中不可約的多項(xiàng)式醋粟，同后來伽羅瓦一樣靡菇，他說的數(shù)域是指這樣的數(shù)集：數(shù)集中任何兩個(gè)數(shù)的和差積商（除了以零為除數(shù)）仍在集合中，例如有理數(shù)米愿、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都形成域厦凤。如果一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)域中（通常多項(xiàng)式系數(shù)屬于此域）能表示成低次系數(shù)在此域中的兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積，則稱為可約的育苟，如果不能這樣表示則稱為不可約的较鼓。
然后阿貝爾著手討論能用根式求解的全部方程的特性，在1829年去世前把一些結(jié)果告知克雷爾和勒讓德违柏。
