方程論
解多項式方程的研究從17世紀(jì)延續(xù)下來沒有發(fā)生過中斷哺哼，這是數(shù)學(xué)的基本課題：找個好方法解任意次方程闸准、求方程近似根青责、以及方程理論（比如證明n次多項式方程有n個根）赏寇，在積分中采用部分分式法提出了新問題：是否任何實系數(shù)多項式都能分解成線性因式的乘積，或一次因式和二次因式的乘積磨隘，以避免使用復(fù)數(shù)缤底。
萊布尼茨不相信任何實系數(shù)多項式能分解成實系數(shù)一次因式和二次因式的乘積，但歐拉認為這是可行的琳拭，他向哥德巴赫指出復(fù)根以共軛形式成對出現(xiàn)训堆，和
是一個實系數(shù)的二次多項式，哥德巴赫拒絕這種思想白嘁，認為歐拉沒有做出一般性證明坑鱼。這個問題的關(guān)鍵在于證明每個多項式至少有一個實根或復(fù)根，這也是代數(shù)基本定理絮缅。
達朗貝爾和歐拉的證明是不完全的鲁沥，1772年拉格朗日給了一個詳細的論證，但他也沒有證明多項式方程的根在最壞情況下是復(fù)數(shù)耕魄，因此還是不完全的画恰。1799年高斯給出了代數(shù)基本定理的第一個實質(zhì)性證明（雖然按現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)也不嚴(yán)格），他不去計算根吸奴，而是去證明它的存在允扇，他指出P(x+iy)=0的復(fù)根a+ib對應(yīng)平面上的點(a,b)，如果P(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)则奥，那么(a,b)是曲線u(x,y)=0和v(x,y)=0的交點考润，他依靠復(fù)雜的曲線圖形證明曲線必然相交，這個論證具有高度創(chuàng)造性读处。他還證明n次多項式可以表示為一次和二次因此的乘積糊治。
后來高斯還給了代數(shù)基本定理的另外三個證明，在第二個證明中罚舱，他不用幾何論據(jù)井辜，在這個證明中他證明每兩個根之差的乘積（西爾韋斯特稱為判別式）能表示成多項式和它的導(dǎo)數(shù)的線性組合绎谦。第三個證明是現(xiàn)在所謂的柯西積分定理，第四個證明是第一個證明的變種粥脚，但高斯更自由地使用了復(fù)數(shù)窃肠。代數(shù)基本定理有200多種證法，大多不是在最一般的情況下證明阿逃，高斯前三種證法和后來柯西铭拧、雅可比、阿貝爾的證明都假定了實系數(shù)恃锉，但整個定理也包括復(fù)系數(shù)，而高斯的第四種證法允許多項式系數(shù)為復(fù)數(shù)呕臂。
高斯探討代數(shù)基本定理的方法開創(chuàng)了探討數(shù)學(xué)存在性問題的新途徑破托。古希臘人意識到研究對象的存在性必須建立在與其相關(guān)的定理前，他們認為存在意味著可構(gòu)造性歧蒋，之后存在性都是通過實際獲得或顯示出問題中的量而建立起來的土砂，如二次方程解的存在性，但在方程次數(shù)高于四次時這個方法就失效了谜洽。當(dāng)然萝映，高斯對存在性的證明，對于已經(jīng)有存在性的對象來說可能么得任何意義阐虚。
數(shù)學(xué)家證明每個實系數(shù)方程至少有一根時序臂，也在推進用代數(shù)方法解四次以上方程，萊布尼茨和好友欽豪紳做了第一批工作实束。有一段時間大家熱衷解x^n-1=0這一特殊情形奥秆，柯特斯和棣莫弗通過復(fù)數(shù)證明這個問題相當(dāng)于把圓周n等分，1771年范德蒙（1735-1796）斷言形如x^n-1=0的方程都可以開根求解咸灿，他僅驗證了對于n<11的素數(shù)成立构订。關(guān)于二項方程，高斯做了具有決定意義的工作避矢。
解四次以上方程的精力集中在解一般性方程上悼瘾，在求解過程中人們發(fā)現(xiàn)了關(guān)于對稱函數(shù)的輔助性工作的重要性，17世紀(jì)牛頓證明了多項式根的乘積的各種和可以用方程系數(shù)表示审胸，使人們產(chǎn)生了研究對稱函數(shù)的興趣亥宿。比如當(dāng)n=3時，方程三個根兩兩相乘的和是x^3-c1x^2+c2x-c3=0中的c2歹嘹。范德蒙1771年證明了根的任何對稱函數(shù)都能用方程系數(shù)表示箩绍，不過范德蒙的做法沒有拉格朗日清晰。對于一個三次方程尺上，拉格朗日是先引入變換材蛛，得到一個六次的輔助方程（簡化方程）圆到，再設(shè)r=y^3得到關(guān)于y^3的二次方程，從而求解卑吭。他指出人們要解的不是y(x)而是x(y)芽淡，要解的是簡化方程。他發(fā)現(xiàn)x1,x2,x3按特定順序取出時豆赏，每個y都能寫成挣菲，從而得出簡化方程的兩個性質(zhì)：1、在上式中x1,x2,x3不固定掷邦，共有3白胀！種取法，即有6個y值抚岗，y滿足6次方程或杠，因此簡化方程的次數(shù)由原方程根的置換次數(shù)決定；2宣蔚、上式說明y^3只有兩個值向抢，所以六次方程能簡化為二次方程，六次方程的系數(shù)是原三次方程系數(shù)的有理函數(shù)胚委。
對x的一般四次方程挟鸠，拉格朗日考慮y=x1x2+x3x4，四個根在24種置換下取得3個不同y值亩冬，因此y滿足一個三次方程艘希。然后他處理一般的n次方程。
對于x^2+bx+c=0鉴未，x1+x2和x1x2分別是對稱函數(shù)枢冤，即x1x2交換位置時值不變，我們稱這個函數(shù)容許置換铜秆，比如x1+x2容許置換淹真，x1-x2不容許。拉格朗日證明了兩個重要的命題：一连茧、如果一般n次方程的根的一個函數(shù)Φ(x1,x2,...,xn)容許另一個函數(shù)ψ(x1,x2,...,xn)所容許的xi的所有置換核蘸，那么函數(shù)Φ可以用ψ和一般方程的系數(shù)有理地表示出來，例如二次方程根的函數(shù)x1容許函數(shù)x1-x2所容許的所有置換（只有一個啸驯，即恒等置換）客扎，有;二、如果一般方程的根的一個函數(shù)Φ(x1,x2,...,xn)不容許函數(shù)ψ(x1,x2,...,xn)所容許的xi的所有置換罚斗，但在ψ所容許的置換下取r個不同的值徙鱼，那么Φ是一個r次方程的根，方程系數(shù)是ψ和n次方程系數(shù)的有理函數(shù)。比如二次方程根函數(shù)x1-x2不容許x1+x2所容許的所有置換袱吆，在置換下取x1-x2和x2-x1兩個值厌衙，于是x1-x2是一個二次方程的根，系數(shù)是x1+x2和b,c的有理函數(shù)绞绒，(x1-x2)^2-(b^2-4c)=0.
對一般的n次方程婶希，拉格朗日的想法是從對稱函數(shù)Φ0出發(fā)，這個函數(shù)容許根的所有n!種置換蓬衡，如x1+x2+...+xn喻杈，再選擇只容許某些置換的函數(shù)Φ1，假設(shè)Φ1在n!次置換下取r個不同的值狰晚，那么構(gòu)造一個r次方程求Φ1筒饰，以此類推構(gòu)造s次方程求Φ2，這些r次家肯、s次……方程現(xiàn)在稱為預(yù)解方程龄砰，求出所有Φi后就可以求出x1,x2,...xn。拉格朗日的方法在求一般的二次号杠、三次育苟、四次方程都很有效，但求五次方程遇到了困難。他沒有給出選擇Φi的任何準(zhǔn)則劳景，使Φi滿足一個代數(shù)可解的方程，而且他的方法只能用于一般方程烈钞，因為他的兩個基本命題假設(shè)根是無關(guān)的先匪。他被迫下結(jié)論：用代數(shù)運算解高次方程看來是不可能的，1801年高斯也認為這個問題也許解決不了你弦。
盡管拉格朗日的方法有局限性惊豺，但他洞察了n≤4成功而n>4失敗的原因，阿貝爾和伽羅瓦借鑒了這一發(fā)現(xiàn)禽作。另外尸昧，這個方法必須考慮一個有理函數(shù)變量置換時的取值個數(shù)，從而引導(dǎo)出置換或代換群理論旷偿，其實他已經(jīng)得到這樣的定理：一個群的子群的階（元素的個數(shù)）必定是該群的階的因子烹俗。拉格朗日的著作是群論著作的先導(dǎo)，上述定理用群論形式敘述為：Φ1所取值的個數(shù)r是n萍程！的因子幢妄。
受拉格朗日影響， 他的學(xué)生魯菲尼(Ruffini Paolo,1756-1822)在1799-1813年試圖證明四次以上方程不能用代數(shù)方法解出茫负。（魯菲尼還是個醫(yī)學(xué)家蕉鸳，震驚，魯菲尼氏小體不會也是他發(fā)現(xiàn)的吧……）他用拉格朗日的方法證明n>4時不存在一個n元有理函數(shù)忍法，在n個元素發(fā)生置換時取3個或4個值潮尝，他用了一條輔助定理（現(xiàn)在稱為阿貝爾定理）：如果一個方程能用開根求解榕吼，那么根的表達式能寫成這樣一種形式，其中的根式是已知方程的根和單位根的有理系數(shù)的有理函數(shù)衍锚。
