2020年同等學(xué)力申碩計(jì)算機(jī)綜合試題解析--數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

聲明：該份試題解析是本人自己做的塞耕，再根據(jù)教材理論來完成本文編寫，符號(hào)太多編寫工作量大戴涝，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言膘掰，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處跪另。

一拧抖、（共5分）用邏輯符號(hào)表達(dá)下列語句（論域?yàn)榘磺惺挛锏暮霞?/b>

1.?（2分）確診者并不都有癥狀（注：需給出兩種形式表達(dá)，一種用存在量詞免绿，一種用全稱量詞）

解析：P(x): x是確診者唧席，Q(x):x有癥狀

??x(P(x)?→Q(x))

?x(P(x)∧?Q(x))

2.?（3分）有些老人不喜歡寵物

解析：P(x): x是老人，Q(x):x是寵物嘲驾，R(x,y):x喜歡y

?x?y(P(x)∧Q(y)?→?R(x, y))

二淌哟、填空題

1. 50個(gè)元素，子集個(gè)數(shù)為? _____ $2^{50 }$ ______? 個(gè)辽故，奇數(shù)個(gè)元素的子集是? ____ $2^{49}$ ____??? 個(gè)

解析：

第一空徒仓，可以理解成50個(gè)元素，每個(gè)元素有兩者情況誊垢，“有”與“沒有”掉弛，則50個(gè)元素有 $2^{50}$ 個(gè)子集個(gè)數(shù)，

第二空喂走，整個(gè)集合中子集的個(gè)數(shù)只有奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表示殃饿，因此子集元素個(gè)數(shù)位奇數(shù)的子集有

2. 讓5位中國籍學(xué)生和5位英國籍學(xué)生排成一排，要求中國籍學(xué)生和英國籍學(xué)生交叉出現(xiàn)芋肠，即同國籍的學(xué)生不能相鄰乎芳，則有一共有 ____ $5!*5!*2$ ________種排列

解析：這個(gè)可以考慮成兩個(gè)隊(duì)人分別進(jìn)行了一次全排列既有? $5!*5!$ ，另外再選擇從一個(gè)隊(duì)的前面排入或者從后面排入2種帖池，因此總數(shù)是 $5!*5!*2 = 28800$ 奈惑。

3. 如果 $f(x) = (1-3x)^{-2}$ ，求 $x^4$ 的系數(shù) ____405________

解析：這個(gè)就根據(jù)推廣的牛頓二項(xiàng)式公式： ${(1-x)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞C_{n+k-1}^kx^k , -1<x<1$ 睡汹，可參見我的數(shù)學(xué)公式文章：http://www.reibang.com/p/1f2b21397a23

$f(x) = (1-3x)^{-2} = \sum_{k = 0}^ ∞ C_{2+k-1}^k 3^kx^k$ 此時(shí)k=4肴甸，可得 $x^4$ 的系數(shù)為 $C_5^4*3^4 = 5*81 = 405$

三、簡(jiǎn)答題

1. $P \uparrow Q$ 表示 $\rceil (P ∧ Q)$ 與非題帮孔，求 $\rceil P, \rceil P ∨ Q, P \rightarrow Q$ 雷滋。

解析：

(1) ?P? = ?(P∧P) = P↑P（冪等律）

(2) P∧Q = ?(?(P∧Q)) =??(?(P∧Q) ∧??(P∧Q) ) = (P↑Q)↑(P↑Q) (可以用第一個(gè)的結(jié)論)

(3)P→Q = ?P∨Q =?(P∧?Q) = ?(P∧?(Q∧Q)) = P↑(Q↑Q)

2. 任意的正整數(shù) $n \geq 2$ 求 $(_{1}^n )+(_{2}^n )+(_{3}^n )+...+(_{n-1}^n )+(_{n}^n )$ 的最簡(jiǎn)易表達(dá)式？其中 $(_{i}^n )$ 表示在n個(gè)數(shù)中取i個(gè)數(shù)的種數(shù)文兢。

解析：該題考查的還是牛頓二項(xiàng)式公式： $（1+x）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kx^k$ 晤斩，把其中的x換成1，此時(shí)就出現(xiàn)了題干中的場(chǎng)景 $（\sum_{k=0}^nC_{n}^k） - C_{n}^0$ 姆坚，因此該題解如下： $(_{1}^n )+(_{2}^n )+(_{3}^n )+...+(_{n-1}^n )+(_{n}^n ) = （\sum_{k=0}^nC_{n}^k） - C_{n}^0$ ? 公式1澳泵，由牛頓二項(xiàng)式公式可知：

公式1 = $（（1+x）^n | x =1 ） - C_n^0 =2 ^n -1$ 得解。

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

四兼呵、計(jì)算題

1兔辅、下雨了有5個(gè)人上班把傘隨機(jī)放在門口腊敲，下班后把傘拿回。

??????? 1）全部拿錯(cuò)有多少個(gè)排列维苔？

??????? 2）至少有一個(gè)人拿對(duì)的概率是多少碰辅？

解析：

1）完全錯(cuò)排問題：求所有人都拿錯(cuò)傘的方法數(shù) $D_n$ 等價(jià)于求 n個(gè)數(shù)1,2,3,...,5? 的錯(cuò)排數(shù)目問題，設(shè) $A_i (i = 1,2,3,4,5)$ 是第 i 個(gè)人拿回自己傘的結(jié)果集合介时，則取回傘的總方法為 $5!$ ,

$|A_i| = (n-1)! ,|A_i \cap A_j| =(n-2)!, ,|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3} \cap ... \cap A_{i_k} | =(n-k)!$ ,利用容斥原理没宾，

$D_n = | \frac{}{ A } _1 \cap \frac{}{ A } _2 \cap \frac{}{ A } _3 \cap ... \cap \frac{}{ A } _n | = n! - C_{(n,1)}(n-1)! +C_{(n,2)}(n-2)! - C_{(n,3)}(n-3)! +...+(-1)^nC_{(n,n)} = n!(1-1+\frac{1}{2!}- \frac{1}{3!} + ... +(-1)^n \frac{1}{n!} )$ ，其中 n = 5, 則 $D_5 = 5!(1-1+\frac{1}{2!}- \frac{1}{3!} + ... +(-1)^5 \frac{1}{5!} ) = 5!(\frac{1}{2!}- \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} ) = 3*4*5 - 4*5 + 5 -1 = 60-20+5-1 = 44$

2）至少有一人拿對(duì)傘的組合數(shù)沸柔，即為完全錯(cuò)排的補(bǔ)集循衰，也就是 $5! - D_5 = 120 - 44 = 76$ ，則至少有一人拿對(duì)的概率為 $p = \frac{5!-D_5}{5!} = \frac{76}{120} = \frac{19}{30} = 63.33\%$

2褐澎、? 2会钝、4、6工三、8幾個(gè)數(shù)排列迁酸，每個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)，2要求出現(xiàn)偶數(shù)次徒蟆，4要求出現(xiàn)奇數(shù)次胁出，6要求至少出現(xiàn)1次，8沒有限制段审。

??????? 1）對(duì)應(yīng)寫出母函數(shù)G(x)全蝶？

??????? 2）對(duì)應(yīng)的 $a_{n}$ 是多少？

解析：1）對(duì)于這種題目寺枉，排列用指數(shù)型母函數(shù)抑淫，組合則用母函數(shù)。

$G(x) =(1+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +... )( \frac{x}{1!} + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} +... ) ( \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} +... )( 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} +... )$

$= (\frac{e^x+e^{-x}}{2}) (\frac{e^x-e^{-x}}{2}) (e^x -1 ) (e^x)= \frac{1}{4} (e^ {2x} - e ^ {-2x} )( e^{2x} - e^x) = \frac{1}{4} (e^ {4x} -1 - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) = \frac{1}{4} (e^ {4x} - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) - \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{4} \sum_{n=0}^∞ (4^n - 3^n + (-1)^n) \frac{x^n}{n!} - \frac{1}{4}$

2）因此? $a_n = \frac{1 }{4 }(4^n - 3 ^ {n} + (-1)^n )$

五姥闪、證明題

1始苇、設(shè)A是包含n個(gè)元素的有限集，R是A上的關(guān)系筐喳，則必存在s 和 t催式，使得 $R^s = R^t$ ，并且 $0 \leq s < t \leq 2^{n^2}$ 避归。

解析：【定理】設(shè)A為含有n個(gè)元素的有窮集 $R \subseteq A \times A$ 荣月，則存在自然數(shù)s,t, 且滿足 $0 \leq s < t \leq 2^{n^2}$ ,使得 $R^s = R^t$ 。

顯然 $P(A \times A)$ 中元素對(duì)冪運(yùn)算是封閉的梳毙，即對(duì)任意的自然數(shù)k,有 $R^k \in P(A \times A), k = 0,1,2,...$

而且 $|P(A \times A)| = 2^{n^2}$ ,考慮R的各項(xiàng)冪 $R^0, R^1,...,R^{2^{n^2}}$ ,共產(chǎn)生了 $2^{n^2} + 1$ 個(gè) $P(A \times A)$

的二元關(guān)系哺窄，由鴿巢原理可知，存在s,t,滿足 $0 \leq s < t \leq 2^{n^2}$ ，使得 $R^s = R^t$ 萌业。

2. 設(shè)k是簡(jiǎn)單圖G的頂點(diǎn)度數(shù)的最小值坷襟，證明G包含一條長(zhǎng)度至少為k的路。

解析：用反證法生年，假設(shè)最長(zhǎng)路的長(zhǎng)度 $l \leq k-1$ 婴程，即從 $v_0$ 到 $v_l$ 的長(zhǎng)度為 $l$ 。

由題干可知? $d(v_0) \geq k,$ ?則G中至少有k個(gè)點(diǎn)與 $v_0$ 有邊相連晶框，而假設(shè)中 $v_0$ 鏈接最長(zhǎng)路的長(zhǎng)度? $l \leq k-1$ , 則一定有另一個(gè)點(diǎn)與 $v_0$ 相連且在 $l$ ?外排抬，則假設(shè)相矛盾，因此 $l \geq k$ 授段，等證。

最后編輯于：2021.04.21 22:42:55

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