聲明：該份試題解析是本人自己做了一遍疫稿，再根據(jù)教材理論來(lái)完成本文編寫铁坎，符號(hào)太多編寫工作量大碳抄，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言晾腔，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處舌稀。感謝所有提出意見和建議，以及幫助過(guò)我的朋友灼擂。如果覺(jué)得還行壁查，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝剔应！

一睡腿、(共4分)用邏輯符號(hào)表達(dá)下列語(yǔ)句(論域?yàn)榘磺惺挛锏募?

1语御、(2分)集合A的任一元素的元素都是A的元素

解析：?P(x)：?x是集合A的元素；Q(x,y)：x是y的元素席怪。

????????????? ?x??y(P(y)∧Q(x,y) → P(x))

2应闯、(2分)天下沒(méi)有長(zhǎng)相完全一樣的兩個(gè)人（要求寫出兩種形式，一種用全稱量詞挂捻，一種用存在量詞）

解析：?P(x)：x是人碉纺；Q(x,y)：x和y長(zhǎng)相相同；R(x,y)：x和y相同

??????????? ?x??yP(x)∧P(y)∧Q(x,y) → R(x,y)

二刻撒、填空(1-2題每空1分骨田，3-6題每空2分，共16分)

1声怔、 設(shè)A={?军洼，{?}}添吗，計(jì)算?-A=____?______脯颜，A-P(?)=______{{?}}_______健民，P(A)-{?} = _{{?}，{{?}}胎撇，{?介粘，{?}}}_，P(A)⊕A=_{{{?}}晚树，{?姻采，{?}}}_.（其中P(A)表示A的冪集）

解析：A={?，{?}}爵憎，?是空慨亲，即不含任何元素，因此?-A=?宝鼓；P(?) = {?}刑棵，A-P(?)={?，{?}}-{?}={{?}}愚铡；P(A)={??蛉签，{?}，{{?}}沥寥，{?碍舍，{?}}?}，P(A)-{??}={ {?}邑雅，{{?}}片橡，{?，{?}}?}淮野；P(A)⊕A?=（P(A)-A）∪（A-P(A)）={{{?}}捧书，{?吹泡，{?}}}∪??=?{{{?}}，{?经瓷，{?}}}

2爆哑、 按照無(wú)窮公理表示的自然數(shù)以及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，用最簡(jiǎn)潔的形式寫出下列計(jì)算結(jié)果了嚎，其中N表示自然數(shù)集合，R表示實(shí)數(shù)集合廊营。

∩30=____?______,∩{18,27}=____18____,||=_____,||=____

解析：該考點(diǎn)考的是自然數(shù)屬于每個(gè)歸納集的集合和廣義交運(yùn)算歪泳。

∩30 = ∩{0，1露筒，2呐伞，3，...,29} =?∩ {0}∩{0,1}∩{0慎式，1伶氢，2}∩...∩{0,1,2,3,4,...,28} = ?

∩{18,27} = {0,1,2,3,...,17} ∩ {0,1,2,3,...,26} =? {0,1,2,3,...,17} =18 =min(18,27)

（僅供參考）連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，不存在比阿列夫零大瘪吏，比阿列夫小的基數(shù)癣防。自然數(shù)集合N的基數(shù)為 （阿列夫零），實(shí)數(shù)集合R的基數(shù)為 （阿列夫）

3掌眠、 將函數(shù)f(x)=()2()3 展開后系數(shù)是___495_____

解析：

根據(jù)牛頓二項(xiàng)式公式推廣公式 蕾盯，則 要滿足,則k=8，從而系數(shù)為

4蓝丙、 如果平面圖和它對(duì)偶圖是同構(gòu)的级遭，則稱此平面圖是自對(duì)偶的。若G是有n個(gè)頂點(diǎn)渺尘，m條邊的自對(duì)偶圖挫鸽，求n和m滿足關(guān)系式是___m=2n-2____（此關(guān)系不含有n和m以外的其他變量）

解析：對(duì)偶圖滿足圖G與對(duì)偶圖的點(diǎn)跟面數(shù)是一樣的。同時(shí)滿足歐拉公式 這里的 e=m, v=r=n, 代入可得m = 2n-2鸥跟。

5丢郊、 設(shè)圖G是共有10個(gè)頂點(diǎn)邊數(shù)最多的三部圖，則G有____24_________條邊医咨。

解析：如圖下圖示： 因此邊數(shù)為 3*4*2 = 24蚂夕。（這個(gè)題也有另外一種理解，邊數(shù)最多是完全三部圖腋逆，如果按完全三部圖的形式計(jì)算 9+12+12=33婿牍，如果不考慮完全三部圖的話，就按照括號(hào)外的答案惩歉。）

10頂點(diǎn)邊數(shù)最多三部圖模型

6等脂、 有六對(duì)夫婦坐在一個(gè)圓桌旁俏蛮，其中通過(guò)轉(zhuǎn)圈得到的坐法視為相同的坐法，表示第i對(duì)夫婦坐一起上遥，則同時(shí)滿足搏屑，和的坐法有_?? ___種。

解析：（之前的答案是我在抄寫題目的時(shí)候漏抄了一個(gè)‘第’字粉楚，導(dǎo)致理解上的偏差辣恋，因此答案變成了），要同時(shí)滿足模软，即這樣就說(shuō)明這三對(duì)夫妻需要固定下來(lái)伟骨，于是把他們進(jìn)行綁定與另外3對(duì)夫妻進(jìn)行圓周排列，一起總數(shù)是9個(gè)元素燃异，排列方法為，其中綁定的那三對(duì)夫妻回俐，讓女士?jī)?yōu)先逛腿，每位丈夫在可以在妻子的左邊或者右邊因此有，因此總數(shù)為 種仅颇。

三单默、計(jì)算題(要求寫出詳細(xì)運(yùn)算步驟，共3分)

1忘瓦、 有120個(gè)學(xué)生參加考試雕凹，共有A、B政冻、C三道題枚抵。已知三道題都做對(duì)的有12個(gè)學(xué)生，作對(duì)A明场、B都有20個(gè)學(xué)生汽摹，做對(duì)A、C的有16個(gè)學(xué)生苦锨，做對(duì)B逼泣、C都有28個(gè)學(xué)生，做對(duì)A的有48個(gè)學(xué)生舟舒，做對(duì)B的有56個(gè)學(xué)生拉庶，有16個(gè)學(xué)生一道題也沒(méi)有做對(duì)，試求僅做對(duì)C的學(xué)生有多少個(gè)秃励？

解析：該題有兩種方法：一種是容斥原理計(jì)算氏仗，另一種是文氏圖法：

方法一： 先用容斥原理來(lái)解。

?????????? 設(shè)做對(duì)題A的人數(shù)為|A|=48夺鲜，做對(duì)題B的人數(shù)為|B|=56皆尔，做對(duì)題C的人數(shù)為|C|呐舔，全集|N|=120, 做對(duì)三道題的余集為16.

其中 |A| = 48，|B| = 56慷蠕， |A∩B|=20珊拼，|A∩C|= 16， |B∩C|= 28流炕， |A∩B∩C|= 12澎现， 代入式子 可得 |C| = 104-12+20+16+28-48-56 = 52，題目中要求僅做對(duì)C的人數(shù)每辟，

因此為 |C| - |A∩C| - |B∩C|+|A∩B∩C| = 52 - 16 - 28 + 12 = 20 即僅做對(duì)C的學(xué)生人數(shù)為 20 人剑辫。

方法二： 文氏圖法： 總?cè)藬?shù)為120人，要求僅做對(duì)C的人數(shù)影兽，即圖中粉紅部分的人數(shù)X = 120 -16-20-24-8-4-16-12 = 20 揭斧，即僅做對(duì)C題的學(xué)生人數(shù)為20人莱革。

文氏圖

四峻堰、解答題(共6分)

1、(3分)4名同學(xué)同時(shí)參加英語(yǔ)和德語(yǔ)面試盅视，要求每門科目只能同時(shí)面試1人捐名，2門科目面試時(shí)間先后順序認(rèn)為是不同的，試問(wèn)共有多少種不同的面試次序闹击？

解析：本題可以理解為4名學(xué)生以任意順序去參加英 語(yǔ)面試镶蹋，于此同時(shí)不能在同一時(shí)刻去參加德語(yǔ)面試，即原來(lái)某位的同學(xué)不能在同一位置上（錯(cuò)排問(wèn)題）赏半。因此該題的解為 拂酣。 關(guān)于錯(cuò)排可以用容斥原理來(lái)推,即，不在原來(lái)的秩序位置上： =9

2埃撵、(3分) 求滿足遞推關(guān)系中 的表達(dá)式赵颅，其中初始條件 。

解析：本題考的是常系數(shù)齊次遞推關(guān)系暂刘，原式轉(zhuǎn)換為?饺谬，

因此特征方程為, 化簡(jiǎn)之后得到,

解得兩個(gè)特征根?，無(wú)重根谣拣，的通解為,

把兩個(gè)特征根和初始條件代入得到方程組：叠萍，

解該方程組得 绪商，得?

五苛谷、證明題(11分)

1、(3分)對(duì)非空集合A上的關(guān)系R格郁，若R是非自反和傳遞的腹殿，證明R是反對(duì)稱的。

證明：用反證法證明例书，假設(shè)結(jié)論R是反對(duì)稱不成立锣尉，即R是對(duì)稱的。

R是A上的反自反關(guān)系 决采，

R是A上的傳遞關(guān)系

如果對(duì)任意 成立自沧，則比存在 ，與已知條件相矛盾树瞭。

顯然<x,y>與<y,x>最多只能有一個(gè)屬于R拇厢，所以R是A上的反對(duì)稱關(guān)系。

?2晒喷、(8分)設(shè)是n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖孝偎，用紅、藍(lán)兩種顏色給的邊任意著色凉敲。

1)證明中至少存在一個(gè)頂點(diǎn)v衣盾，使得v關(guān)聯(lián)紅邊個(gè)數(shù)不是3。

2)證明必有藍(lán)色的或紅色的爷抓。

1)證明：用反正法證明势决。

假設(shè)將進(jìn)行染色，每個(gè)點(diǎn)到其余8個(gè)點(diǎn)所成的邊都是恰有3條關(guān)聯(lián)的邊為紅色蓝撇，現(xiàn)從每個(gè)端點(diǎn)統(tǒng)計(jì)各引出的紅色邊的總數(shù)應(yīng)是3*9 = 27果复，但這是不可能的，因?yàn)槊織l邊關(guān)聯(lián)兩個(gè)頂點(diǎn)唉地，對(duì)這種統(tǒng)計(jì)据悔，所有點(diǎn)引出的紅色關(guān)聯(lián)邊的總數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，假設(shè)相矛盾,耘沼。因此必存在一點(diǎn)极颓，從該點(diǎn)到其余各點(diǎn)的邊染紅色邊數(shù)一定大于3或小于3，因此得證群嗤。

2)證明：設(shè)從向其余8個(gè)點(diǎn)引出的邊中紅邊多于3條菠隆，即至少有4條，不妨設(shè)它們?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(v_%7B1%7D%EF%BC%8Cv_%7B2%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B3%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B4%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B5%7D)" alt="(v_{1}，v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{1},v_{4}),(v_{1},v_{5})" mathimg="1">骇径。讓構(gòu)成清女，若有一條紅色邊，則其兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成紅色三角形晰筛，即構(gòu)成紅色的嫡丙，否則這些邊全為藍(lán)色，這時(shí)就構(gòu)成了一個(gè)藍(lán)色的怜瞒。

設(shè)從向其余8點(diǎn)的引出的邊中父泳，紅色邊數(shù)少于3條，即至多有2條吴汪，這時(shí)從引出的藍(lán)色邊會(huì)有6條惠窄。不妨設(shè)這些邊為,讓所構(gòu)成完全圖臀晃，若其中有一個(gè)紅色三角形觉渴，則結(jié)論已真。若中有個(gè)藍(lán)色三角形徽惋，則該三角形的3個(gè)頂點(diǎn)連同構(gòu)成一個(gè)藍(lán)色案淋，結(jié)論亦真。

綜上所述得證险绘。