位勢理論
十八世紀(jì)的一個主要問題是確定一個物體對另一個物體的萬有引力氧枣，如太陽對一個行星、地球?qū)Φ厍蛲饣虻厍騼?nèi)的一個質(zhì)點别垮、地球?qū)σ粋€連續(xù)質(zhì)量的引力便监。如果兩個物體質(zhì)量與體積相比大得多，可以作為質(zhì)點處理碳想，但地球吸引一個質(zhì)點時要考慮地球大小烧董。當(dāng)計算地球的質(zhì)量分布對一質(zhì)點或一連續(xù)質(zhì)量的引力時，必須知道地球的形狀胧奔，1700年左右時已確定它是某種形狀的橢球體逊移，也許是一個扁球體。
1740年麥克勞林證明龙填，對以等角速轉(zhuǎn)動的密度均勻的流體胳泉，扁球體是一種平衡形狀。19世紀(jì)James Ivory(1765-1842)和夏萊(1793-1880)也用幾何法證明了一些受限條件下的結(jié)果岩遗。不過牛頓扇商、麥克勞林的幾何法只適用于特殊物體和特殊位置，很快讓位給了分析法喘先。
1743年克萊羅用分析法考慮了地球形狀和萬有引力钳吟。首先一個連續(xù)體對質(zhì)點（單位質(zhì)量P）的萬有引力，可以看作構(gòu)成連續(xù)體的微小質(zhì)量（各體積可以看作質(zhì)點）對P的引力總和窘拯，由此得到物體對P的引力分量红且，再引入勢函數(shù)V(x,y,z)坝茎，勢函數(shù)對x,y,z的偏導(dǎo)數(shù)分別是引力的三個分量，把三個分量的問題化為對V的問題暇番。
如果知道物體的質(zhì)量分布和精確形狀，就能通過積分得到V壁酬，但現(xiàn)在兩個條件都不滿足次酌，必須用其他方法求解。對V來說舆乔，它滿足一個偏微分方程岳服，即位勢方程，也叫拉普拉斯方程希俩。
歐拉研究流體內(nèi)一點速度分量為u,v,w時曾證明udx+vdy+wdz是恰當(dāng)微分，他引入函數(shù)dS=udx+vdy+wdz颜武，因為不可壓縮流體遵守連續(xù)性定律璃搜，得到了跟位勢方程形式一致的方程（只不過V換成S），但是他沒得出一般解法鳞上，亥姆霍茲稱函數(shù)S為速度勢这吻。
1785年勒讓德研究旋轉(zhuǎn)體引力，證明了如果旋轉(zhuǎn)體對位于軸延長線上每一外點的引力可知篙议，就可以求出對每一外部點的引力唾糯。積分依賴于子午線R=f(θ')的形狀。
1784年勒讓德推導(dǎo)出函數(shù)的一些性質(zhì)趾断，如正交性拒名，他還證明每個
的零點都是實數(shù)吩愧，關(guān)于0對稱且絕對值小于1。最后他回到萬有引力上增显，得到了表達成勒讓德多項式的子午線方程雁佳，他相信這個方程包含了旋轉(zhuǎn)球體的所有平衡形態(tài)。
受勒讓德啟發(fā)同云，拉普拉斯研究任意球狀體的引力問題糖权。他從勢函數(shù)V必須滿足位勢方程出發(fā)給出了一個球坐標(biāo)方程（歐拉和拉格朗日都給出過球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)形式方程，但拉普拉斯沒提到他們的工作）炸站，再借助勒讓德多項式星澳，經(jīng)一些處理得到了V。但是當(dāng)時他沒有考慮把θ旱易、Φ的函數(shù)進行展開禁偎，因此他的結(jié)論是有限制的腿堤，不過后來他完善了這一點。拉普拉斯還寫了幾篇關(guān)于引力和形狀的論文如暖，其中一篇假設(shè)方程對物體內(nèi)部質(zhì)點也成立笆檀，后來被泊松更正了。
1790年勒讓德繼續(xù)研究n為奇數(shù)時的盒至，得到了連帶的勒讓德多項式酗洒。勒讓德、拉普拉斯和一些人還得出了許多包含勒讓德多項式和球調(diào)和函數(shù)的特殊結(jié)果枷遂，比如1816年奧倫德·羅德里格(1794-1851)發(fā)明的公式樱衷。
拉普拉斯開啟了解球狀體引力位勢方程的工作，許多函數(shù)可以表示位勒讓德多項式酒唉、連帶的勒讓德多項式和球調(diào)和級數(shù)箫老，類似于丹尼爾伯努利斷言一切函數(shù)可表示為三角級數(shù)。至于選擇什么函數(shù)需要看被解的微分方程及初值黔州、邊界條件耍鬓。
