作者：王國波

上一篇：數(shù)學思想方法揭秘-15牲证。

本不想再寫這個系列胶滋，但感覺有些東西還是要重復強調(diào)下,故有此文量瓜。

此文用3道初中數(shù)學題的解題思維過程來闡釋如何使用數(shù)學思想方法來指導數(shù)學思維過程灸芳，如果想學習更多的解題思維過程益老，可訪問今日頭條數(shù)學之道沿彭，如下圖，它是本系列的實戰(zhàn)配套伴侶惶翻。

第一題

這道題使用的思維方法其實在前面的文章中提到過姑蓝，這里截圖如下。一種是向上抽象吕粗，第二種是向下簡化纺荧，歸納。

對這道題，首先要觀察宙暇，形象思維输枯。按前面提到的兩種辯證思維的方法，1）向下簡化占贫，9雖然是個具體的數(shù)桃熄，感覺也不大，但如果自己覺得在9個的情況下看不清問題型奥，那說明數(shù)字還是太大瞳收，難以把握。那就以退為進厢汹，退到更簡單的情況（例如從復雜到簡單螟深，從簡單到更簡單，從抽象到具體烫葬，從具體到更具體界弧，從一般到特殊等），簡化問題搭综。要簡化垢箕，對這題就是減少圖形的數(shù)量，例如減到1個兑巾、2条获、3個。前面說過簡化后的問題不能變味闪朱，要和原題有本質(zhì)的相似性不變性月匣，不能失真。這題我們簡化到3個圖形的情況奋姿，當然還可以多研究幾個簡單情況，例如2個的情況素标。對3個的情況称诗，此時一眼就能看清，很容易得到感性認識和理性認識头遭，很容易總結(jié)歸納出規(guī)律寓免，得到認識和規(guī)律之后，進行認知的遷移计维，再進袜香，再回到原題，運用我們在3個時總結(jié)出的規(guī)律鲫惶、認識蜈首、經(jīng)驗。2）向上抽象，從具體變到抽象欢策，從抽象到更高層次的抽象吆寨，從特殊到一般，從一般到更一般踩寇，得到抽象背后的通用機制啄清、規(guī)律、模型俺孙。9是個具體的數(shù)字也是特殊的數(shù)字辣卒，我們可以變到抽象的一般的數(shù)n來進行研究。

這道題的兩種方法見下圖睛榄。

第一種的變種就是歸納法荣茫，從多種簡單情況（例如1個、2個懈费、3個）歸納计露。

第二種方法除了抽象，也運用了遞推思想憎乙，n-1和后繼n之間的關(guān)系票罐，也體現(xiàn)關(guān)系思想。

一題多解泞边，下圖是第三種方法该押，其思維過程在前面的文章中有類似的，就是數(shù)學思想方法揭秘-3-3中的第7題阵谚。第七題是觀察圖形蚕礼，發(fā)現(xiàn)圖形有閉合特征，通過辯證思維逆向思維梢什，從閉合聯(lián)想到展開奠蹬，再利用對應(yīng)關(guān)系。

本題第三種方法的思維過程：觀察原圖嗡午，兩個圖形是扣和咬合在一起的囤躁，這就是特征，扣和的反面是不扣和荔睹，分離狸演，一想到分離，結(jié)合圖形直觀和形象思維僻他，馬上就意識到宵距、感覺到分開后問題變簡單了，分開后的長度很容易計算吨拗，所以把它們分開满哪。我們現(xiàn)在知道分離后的長度婿斥，但題目要求的是扣合時的長度，所以要研究扣合與分離情況下兩者之間的關(guān)系翩瓜，運用關(guān)系思想和邏輯推理受扳、比較思想：通過觀察和推理比較，一個扣合分開后長度增大了a-b(增量)兔跌，有9個圖形勘高，就有8個扣和，總共增大8（a-b）坟桅，分開后的總長度是9a华望，故相減就是原題答案。從扣和聯(lián)想到不扣和&分離就是辯證思維仅乓，辯證法真有用赖舟，再運用運動變化的思想實現(xiàn)分離。要觀察出存在扣和的圖形特征夸楣，再利用這個特征來展開思維宾抓，這個就是前面的文章在講述解題策略時提到的基于(面向)特征驅(qū)動的解題策略。運用扣和與分離的辯證關(guān)系豫喧，進行圖形分離石洗，分離就是運動變化，再比較運動變化之后的關(guān)系：每個扣和分離后增大了a-b紧显，這個增大的數(shù)量要靠觀察加推理讲衫。

辯證法辯證思維與數(shù)學思想方法和數(shù)學思維

萬事萬物無時不刻不在運動，時時刻刻都在變化孵班，可以說運動變化是永恒的涉兽，是絕對的，是普遍的篙程。在數(shù)學解題的思維過程中枷畏，在思維上，在解題行動上都要善于變化虱饿。

好好領(lǐng)悟辯證法矿辽，辯證思維，學數(shù)學一定要領(lǐng)悟到辯證法在數(shù)學中的指導作用才算悟道郭厌，才算得到數(shù)學思想的精髓。辯證法中的相互對立統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化的矛盾觀雕蔽，矛盾分析法折柠、聯(lián)系觀、整體系統(tǒng)觀批狐，運動變化觀扇售、否定之否定的反思調(diào)整真的有用前塔，不是空談。

呆板和機械就是不會變承冰，不會變化华弓，不知道可從哪些方面哪些方向或哪些維度變。

碰到數(shù)學題困乒，想不出來時寂屏，通常要發(fā)散思維，尋求變化娜搂。窮則思變迁霎，不變沒有出路，沒有解題思路百宇，當然要變考廉，辯證法辯證思維可用于指導如何變化，辯證法就是變化法携御。

易經(jīng)主要講的也是變昌粤，當然還有不變，有個不變的啄刹，數(shù)學思想方法中也有個不變的涮坐。

運動變化的形式有多種：無形的思維變化或思維思路的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)變，如大腦中從具體到抽象是思維的運動變化鸵膏、從具體到更具體&簡化膊升，聯(lián)想，思緒由此及彼都是運動變化谭企，轉(zhuǎn)變思路是變化廓译，反思反省后進行調(diào)整也是變化；可見的有形的運動债查，例如行走奔跑非区，遙控器調(diào)節(jié)空調(diào)溫度是變化，上圖中從扣合變到分離也是變化盹廷，數(shù)學題代數(shù)式征绸、方程式的各種變形是變化，幾何變換如旋轉(zhuǎn)俄占、平移管怠、對稱也是，數(shù)學思想中的數(shù)形結(jié)合缸榄、”轉(zhuǎn)化”也是運動變化渤弛。

解題策略有多種，但主要也是基于辯證思維甚带，例如正難則反她肯，正面不行佳头，正面難以解決就反向，直接不行就間接晴氨，其實就是逆向思維辯證思維康嘉，再比如具體與抽象的相互轉(zhuǎn)化（利用具體和抽象的辯證關(guān)系，即矛盾的對立統(tǒng)一相互轉(zhuǎn)化關(guān)系）籽前，具體到抽象亭珍，抽象到具體；一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化聚假，特殊到一般块蚌，一般到特殊，還有非常多的這種帶逆向思維的策略膘格，例如上圖中的扣合與分離峭范，這些都是基于辯證思維，基于辯證關(guān)系的解題策略瘪贱，在前面的數(shù)學思想方法揭秘-1中列出了一長串的存在辯證關(guān)系纱控，從而可用于辯證思維的詞匯表，也提到過這個辯證思維詞匯表是要根據(jù)具體問題來進行擴展的菜秦，例如碰到這道題甜害，就識別出題目中的扣合與分離，它們在先前的詞匯表中是不存在的球昨。除了基于辯證思維的解題策略尔店，還有不是基于辯證思維的解題策略，這里強調(diào)基于特征的解題策略主慰，這個解題策略在前面的文章中也提到過嚣州。基于特征首先要知道特征的種類：如數(shù)字特征共螺，例如初中幾何題中有15度该肴，那就要敏銳知曉這個15度很可能可作為特征，因為聯(lián)想到15*2=30藐不，而30是個特殊角匀哄，初中生對它很熟悉，聯(lián)想到和它相關(guān)聯(lián)的知識點雏蛮，再運用構(gòu)造思想涎嚼，想法構(gòu)造出30度角。圖形結(jié)構(gòu)上的特征挑秉、關(guān)系特征铸抑、還有其他類型的特征，前面的文章有總結(jié)過特征種類衷模，自己去看鹊汛。解題策略之間、數(shù)學思想方法之間阱冶，以及解題策略和數(shù)學思想方法之間在概念(靜態(tài))刁憋、使用上(動態(tài))通常都存在交叉和關(guān)聯(lián)關(guān)系，從這個15度的描述中木蹬，可以得出在很多題中一般是綜合使用它們的至耻，聯(lián)合在一起使用的：從15度這個數(shù)值特征聯(lián)想到30度，進而想到要構(gòu)造出30镊叁。這里就運用了基于特征展開思維（基于特征的思維尘颓，基于特征的解題策略），這里結(jié)合了聯(lián)想晦譬，下一步又結(jié)合了構(gòu)造思想疤苹。

第二題

若n為正整數(shù)，求使得關(guān)于的不等式有唯一整數(shù)解的n的最大值是多少敛腌？

解題思維過程：

? 思維過程中的有些話不適合也無必要寫在正式的解題方法中卧土。

? 顯然為正整數(shù)。由可得?像樊，由可得,合起來就是

尤莺。但由這個不等式是難以求出n的最大值的。在前面的文章中提到過要充分利用題目中的已知條件生棍，題目中的已知條件通常都有用颤霎，一般沒有多余的，所以要檢查還有哪些已知條件沒有利用上涂滴。很顯然'唯一'解這個約束限制條件我們還沒有利用友酱。但”唯一”很口語化，它不是數(shù)學語言的形式氢妈，此題難以利用它粹污，直接使用它不順手，此時我們應(yīng)該要想到轉(zhuǎn)化首量，化難為易壮吩，要將它轉(zhuǎn)化成用數(shù)學語言表示的順手的條件，那就要深入挖掘分析這個‘’唯一‘條件背后對應(yīng)的充要條件(相互等價)加缘、必要條件或充要條件鸭叙。

在草稿紙上畫下數(shù)軸，如下圖拣宏，不畫數(shù)軸也可以沈贝，具有”唯一”解的必要條件(必須的條件)是且，這個就是用數(shù)學語言數(shù)學形式表述的條件勋乾，這個條件是必要但不充分的宋下。

數(shù)軸

也就是嗡善。由可得。把n=220代入学歧，可知確實只有唯一解199,故n的最大值為220罩引。

總結(jié)與反思：解題中要充分利用已知條件，已知條件一個都不能輕易漏掉枝笨，不能輕易放過一個已知條件袁铐，特別是不起眼的，不引人注意的條件横浑，要充分利用上剔桨，不只是利用上更要利用好它們，有時還要多次利用同一個條件徙融。要注意發(fā)現(xiàn)隱藏的已知條件洒缀，這題中”唯一解”這個條件是一個不好利用的，不順手张咳，不起眼的帝洪，不引人注意的比較隱藏隱晦的已知條件。我總結(jié)出的訣竅：對不順手的脚猾、不好直接利用的葱峡、隱晦的已知條件，通常要對這些條件進行轉(zhuǎn)化或改造或重組龙助，對這類條件中屬于形容詞性質(zhì)的砰奕、限定性質(zhì)的、約束強制性質(zhì)的條件提鸟，其中的一個訣竅是推敲這個條件军援，將它轉(zhuǎn)化為另一種表述形式的條件：具體而言，就是深挖它背后對應(yīng)的充要條件称勋、必要條件胸哥，有時還包括充分條件，這也體現(xiàn)了前面提到過的因果關(guān)系&因果思想&因果思維赡鲜。這些充要條件和必要條件通常是用數(shù)學語言的形式來表述的空厌，解題時容易利用，用起來比較順手银酬。在數(shù)學思想方法揭秘-3-4中的第12題嘲更，也是推敲”閉區(qū)間”這個不起眼的條件背后對應(yīng)的必要條件，利用必要條件來找到解題突破口揩瞪。

此題中的‘’唯一‘’赋朦、數(shù)學思想方法揭秘-3-4中的第12題的閉區(qū)間都是這種限制性，強制性的條件。自己思考下宠哄，如果有道題說某一點在圓內(nèi)部呈础，它對應(yīng)的必要條件是什么住闯？這個應(yīng)該很簡單考余。

從此題也可看出对妄，每解一道題竣蹦，不管是成功還是失敗谆刨，事后都要總結(jié)反思渺鹦，總結(jié)提煉出規(guī)律舀透、經(jīng)驗恶耽、訣竅密任、通法，在數(shù)學思想方法上的感悟是什么偷俭，收獲是什么浪讳，反思自己的不足是什么，教訓是什么涌萤，這樣才能有大的長進淹遵。

第三題

這道題給出4種解法，其中3種是初中方法负溪，1種是高中方法透揣。

第一種初中方法如下圖，聯(lián)想到直角三角形斜邊中點性質(zhì)和中點與CDB構(gòu)成的對稱全等結(jié)構(gòu)川抡。

另兩種初中方法和一種高中方法如下圖辐真。

這些方法除了運用觀察和關(guān)系&聯(lián)系思想，還根據(jù)已知條件和未知&所求崖堤，進行順應(yīng)與同化侍咱，順勢而為。

這里強調(diào)的是上圖初中方法密幔，合情合理的設(shè)想&猜想楔脯，也就是合理設(shè)想。合情合理的設(shè)想：在已有概念胯甩、知識昧廷、能力與經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,運用歸納、類比蜡豹、聯(lián)想麸粮、猜想、觀察等方式,對客體做出的合情合理的認知結(jié)論镜廉。在數(shù)學解題中就是根據(jù)題目題設(shè)(已知)和未知（結(jié)論弄诲、所求）的特征，合乎情理&合乎同理心情況下，大膽設(shè)想所求答案或結(jié)論的某種目標模式齐遵，這題結(jié)合已知條件設(shè)想的目標模式形式為：寂玲，設(shè)想的系數(shù)相等(以便利用上已知條件,因為這個已知條件中的系數(shù)相等，也就是這兩個式子中的對應(yīng)系數(shù)成比例)梗摇，這題也體會下順應(yīng)與同化的概念拓哟，要拼湊出這個目標模式(確定m、n的數(shù)值)伶授，很顯然使用了待定系數(shù)法断序。

合理設(shè)想&猜想不神秘，數(shù)學上的有些猜想是通過歸納得出的糜烹，例如哥德巴赫猜想违诗。

今日頭條"數(shù)學之道"中有幾道題也運用了合情合理設(shè)想。再做下合理設(shè)想的思維訓練疮蹦。

1) 某題要證明a诸迟、b、c三個數(shù)中至少有1個數(shù)為5愕乎。不用反證法阵苇，用合理設(shè)想，你會設(shè)想出什么目標形式感论？

2)? 要證明如下形式的結(jié)論：幾何題绅项，要證明其中 A笛粘、B趁怔、C、D薪前、M润努、N分別為題中6條線段長度∈纠ǎ可以設(shè)想怎樣的中間結(jié)論铺浇。

參考答案在文章末尾。

本篇的大部分內(nèi)容其實在前面的文章中都有講述垛膝，這里用3道數(shù)學題來重復講述鳍侣，炒現(xiàn)飯引起大家注意。

第一個設(shè)想的參考答案：如果a吼拥、b倚聚、c三個數(shù)地位是輪換對稱的，合理設(shè)想的目標結(jié)論可為,顯然只要證明這個結(jié)論就自然證明了3個數(shù)中至少有一個為5凿可，證明這個結(jié)論比直接證明3個數(shù)中至少有一個數(shù)為5要簡單可行惑折。

第二個設(shè)想的參考答案：可以設(shè)想在線段M上截取線段M1授账，剩下的線段為M2, M1+M2=M.

則要證明的結(jié)論可變?yōu)椋?img src="https://math.jianshu.com/math?formula=A%5Ctimes%20B%2BC%5Ctimes%20D%20%3D%20(M1%2BM2)%5Ctimes%20N%20%3D%20M1%5Ctimes%20N%2BM2%5Ctimes%20N" alt="A\times B+C\times D = (M1+M2)\times N = M1\times N+M2\times N" mathimg="1">.

再設(shè)想

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