指數(shù)分布盏求、泊松分布、幾何分布的聯(lián)系

我自己課下復(fù)習(xí)概率論的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一些結(jié)論

1.我發(fā)現(xiàn)好像「無記憶性」與「伯努利試驗(yàn)」能構(gòu)成充要條件

也就是說谜喊，只要有 $n$ 次0/1試驗(yàn)诵次，設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 是第一次發(fā)生事件 $A$ 時(shí)已完成的試驗(yàn)數(shù)逾一。只要滿足
$P(X > m | X > n) = P( X > m - n) , m > n$ 那么這 $n$ 次試驗(yàn)必然是伯努利試驗(yàn)铸本。

必要性的證明，即已知伯努利試驗(yàn)遵堵，推無記憶性箱玷，課本已經(jīng)給出。
下面證明充分性陌宿。

設(shè)第一次0/1試驗(yàn)出現(xiàn)事件 $A$ 的概率為 $p_1$ 锡足，令 $m - n = 1$ ，則有 $P(X > n + 1| X > n) = P(X > 1)$ 所以 $\frac{P(X > n + 1)}{P(X > n)} = 1 - P(X \leq 1)$ 所以 $\frac{1 - P(X \leq n + 1)}{1 - P(X \leq{n})} = 1 - P(X \leq 1)$
設(shè)X的分布函數(shù)為 $F(x)$ 壳坪，則有
$\frac{1 - F(n + 1) }{ 1 - F(n) } = 1 - F(1)$
移項(xiàng)舶得，化簡得 $F(n + 1) = (1 - p_1)F(n) + p_1$
考慮第 $n + 1$ 項(xiàng)，有 $F(n + 2) = (1 - p_1)F(n + 1) + p_1$
兩式相減得 $F(n + 2) - F(n + 1) = (1 - p_1)(F(n + 1) - F(n))$
記 $G(n) = F(n + 1) - F(n)$ 爽蝴，得 $G(n + 1) = (1 - p_1)G(n)$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=G(1)%20%3D%20F(2)%20-%20F(1)%20%3D%20(1%20-%20p_1)p_1%20%2B%20p_1%20-%20p_1%20%3D%20(1%20-%20p_1)p_1" alt="G(1) = F(2) - F(1) = (1 - p_1)p_1 + p_1 - p_1 = (1 - p_1)p_1" mathimg="1">,所以 $G(n) = F(n + 1) - F(n) = p_1(1 - p_1)^n$
累加可得 $F(n) = 1 - (1 - p)^n$
因此 $P(X = k) = F(k) - F(k - 1) = G(k - 1) = p_1(1 - p_1)^{k-1}$
并且容易證明沐批，對于每一次0/1試驗(yàn)，其出現(xiàn)事件 $A$ 的概率 $p_n$ 相等蝎亚，因此該實(shí)驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)九孩。證畢。

2. 在證明了上述充要條件后颖对，我聯(lián)想到了指數(shù)分布捻撑。由于指數(shù)分布滿足「無記憶性」，因此我嘗試通過該條件缤底，從零推導(dǎo)指數(shù)分布的分布函數(shù)顾患。

首先建立一個(gè)模型「鲞螅考慮時(shí)間軸 $[0, T]$ 江解，在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上都有概率發(fā)生事件 $A$ 。設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 是第一次發(fā)生事件 $A$ 時(shí)已經(jīng)過的時(shí)間徙歼。我們假設(shè)這個(gè)時(shí)間滿足「無記憶性」犁河，這類似于等公交車鳖枕，無論你什么時(shí)候到車站等，等待時(shí)間一般可以認(rèn)為其期望是固定的桨螺。那么類似地宾符，就有
$P(X > m | X > n) = P( X > m - n) , m > n$
設(shè) $m - n = \Delta t$ ，設(shè) $n = t$ 灭翔，則有
$\frac{ P(X > t + \Delta t) }{ P(X > t) } = 1 - P(X \leq \Delta t)$
設(shè)分布函數(shù)為 $F(t)$ 魏烫，則有 $\frac{ 1 - F(t + \Delta t)} {1 - F(t) } = 1 - F(\Delta t)$
為了方便，引入函數(shù) $G(t) = 1 - F(t)$ 肝箱，則有
$\frac{ G(t + \Delta t)}{ G(t) } = G(\Delta t)$
變形哄褒，兩邊同除 $\Delta t$ 得 $\frac{G(t + \Delta t) - G(t) + G(t)}{G(t)\Delta t} = \frac{G(\Delta t) }{\Delta t}$
即 $\frac{G(t + \Delta t) - G(t)}{G(t)\Delta t} = -\frac{F(\Delta t) }{\Delta t}$
令 $\Delta t \to 0$ ，則有
$\frac{G'(t)}{G(t)} = -F'(0) = -f(0) = c$
因此構(gòu)造了一個(gè)微分方程 $G'(t) - c \cdot G(t) = 0$ 解之得
$G(t) = 1 - Ae^{ct}$ 即
$F(t) = 1 + Ae^{ct}煌张， f(t) = cAe^{ct}$
而 $f(0) = cA = -c$ 呐赡，因此 $A = -1$ ，因此
$F(t) = 1 - e^{ct}$
根據(jù)課堂上所講拓展內(nèi)容可知骏融，實(shí)質(zhì)上 $c = -\lambda = -np$ 链嘀。因此，指數(shù)分布可以看作是一種在滿足 $\lambda = np$ 的情況下绎谦，取無窮大 $n$ 管闷，無限小 $p$ （類似于泊松分布的推導(dǎo)）的伯努利試驗(yàn)，可以看作是一種連續(xù)情況下的幾何分布窃肠。繼而也容易了解，指數(shù)分布與泊松分布之間的聯(lián)系刷允。

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