markdown16?高斯定理vs?電勢by阮道杰

平面、球个粱、圓柱的電勢

知識點

單體
- (1) 借助高斯定理古毛，求出場強(qiáng) $\vec{E}(\vec{r})$ 。注意一般是分段函數(shù)都许。
- (2) 從關(guān)心的場點向零勢能點（一般為無窮遠(yuǎn)）進(jìn)行分段積分： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$
組合體
- 疊加法

表達(dá)題

復(fù)習(xí)

之前我們學(xué)過電勢的概念稻薇。某場點的電勢為 $V?$ ，它的物理意義是：

解答：單位電荷在該點具有的電勢能（所以是個標(biāo)量）

復(fù)習(xí)

電勢的計算胶征，第一種方法是點電荷的積分大法塞椎，也就是把場源電荷電荷看成是由很多電量為 $dq$ 的點電荷組成，然后求和或積分搞定睛低，核心公式為( )

解答： $V=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

復(fù)習(xí)
我們將 $q$ 從無窮遠(yuǎn)推到當(dāng)前場點時案狠，外力做的功，轉(zhuǎn)化為電勢能钱雷。設(shè)空間任意場點 $\vec{r}$ 處的電場強(qiáng)度為 $\vec{E}(\vec{r})$ 骂铁，則電勢能的計算式可能為：
(1) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(-q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{\infty}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
(2) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 罩抗。
則根據(jù)電勢的定義拉庵，得到電勢和電場的積分關(guān)系可能為：
(3) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
(4) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 套蒂。
以上正確的是()

解答：(1)(3)

某實心均勻帶電球體名段，電量為 $Q$ 阱扬，半徑為 $R$ 泣懊。根據(jù)高斯定理易知： $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}\\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q/R^{3}\times r^{3}}{r^{2}} \end{array} & \begin{array}{c} r>R\\ r \le R \end{array}\end{cases}$
則距離球心為 $r_{0}=\frac{3R}{2}$ 處的電勢的計算式為
(1) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 伸辟。
(2) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 。
則距離球心為 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 處的電勢的計算式為
(3) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 馍刮。
(4) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 信夫。
(5) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}E_{II}(r)dr+\int_{R}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。
請理解電勢計算的幾何意義
(6) 胡亂寫積分表達(dá)式
(7) $E(r)$ 分段曲線下方所圍成的面積
以上正確的是( )

解答：(1)(5)(7)

某均勻帶電空腔球體卡啰，電量為 $Q$ 静稻，內(nèi)徑為 $R_{1}$ ，外徑為 $R_{2}$ 匈辱。根據(jù)高斯定理易知： $E=\begin{cases}\begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}, r>R_{2} \\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{ Q_{0} }{r^{2}}, [Q_{0}=Q/(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\times(r^{3}-R_{1}^{3})], r\in(R_{1},R_{2})\\ E_{III}=0 , r\lt R_{1} \end{array} \end{cases}$
則距離球心為 $r_{0}\in(R_{1},R_{2})$ 處的電勢的計算式為( )

解答： $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R_{2}}E_{II}(r)dr+\int_{R_{2}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 振湾。

某均勻帶電無限長實心圓柱體，半徑為 $R$ 亡脸，電荷體密度為 $\rho$ 押搪，則距離軸線為 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 處的電勢的積分表達(dá)式為：( )

$V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}rdr+\int_{R}^{\infty}\frac{\rho R^{2}}{2\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}dr$ 。

球浅碾、柱大州、面狀帶電體的電勢，一般使用積分來計算： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 垂谢。如果要求 $A\text{、}B$ 兩點的電勢差 $U_{A,B}$ 滥朱，則為( )

解答： $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 根暑。 $U_{A,B}=V_{A}-V_{B}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}+\int_{B}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

均勻帶電的無限大平板，厚度為 $D$ 徙邻，電荷體密度為 $\rho$ ∨畔樱現(xiàn)在求圖中 $A(x=\frac{D}{5})\text{、}B(x=3D)$ 兩點的電勢差鹃栽。
第一步躏率，用高斯定理求電場，得到
(1) $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}x\end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\ x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
(2) $E=\begin{cases} \begin{array}{l}E_{I}(r)=\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}x \end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
第二步民鼓，借助 $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 計算電勢差薇芝。考慮到電場的方向丰嘉，以及 $B_{1}$ 與 $B$ 電勢相等夯到，事實上只需要計算 $\int_{A}^{B_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ ，從而化為標(biāo)量積分饮亏。則積分表達(dá)式為
(3) $V=\int_{D/5}^{D/2}\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}dx+\int_{D/2}^{3D}\frac{\rho}{\epsilon_{0}}xdx$
(4) $V=\int_{D/5}^{D}\frac{\rho }{\epsilon_{0}}xdx+\int_{D}^{3D}\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}dx$
以上正確的是()

解答：(1)(4)

學(xué)知識需要自己悟出點感性的東西耍贾。下面關(guān)于電勢說法阅爽，有
(1) 順著電場線，電勢是降低的
(2) 由于左右對稱性荐开， $A$ 與 $A'$ 的電勢相等
(3) 如果要求 $A'\text{付翁、}B$ 兩點的電勢差 $U_{A',B}$ ，其實只需要求 $U_{A,B}$
(4) $B$ 和 $B''$ 電勢相等晃听，因為 $\int_{B}^{B''}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 中百侧， $\vec{E}$ 的方向時刻跟 $d\vec{r}$ 的方向垂直
(5) 事實上 $B$ 與 $B''$ 位于同一個等勢面
(6) 學(xué)完了想一想，球能扒、柱佣渴、平板電荷中高斯面的選擇，似乎跟等勢面有很大的相似性初斑。
以上正確的是( )

解答：(1)(2)(6)

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