(一) 計(jì)數(shù)
按照統(tǒng)計(jì)要求痪枫，將符合所有條件的結(jié)果篩選出來(lái)，統(tǒng)計(jì)所有結(jié)果的數(shù)量叫做計(jì)數(shù)撕氧！
(二) 兩個(gè)重要計(jì)數(shù)原理
- 分類用加法
- 分步用乘法
(1) 分類用加法
任選一種都可以一步到位完成事情
例1. 看圖, 從西安到濟(jì)南有多少種方案
答: 3種, 騎車一種, 坐飛機(jī)1種, 坐火車1種, 所以總共有1+1+1=3種
例2
從西安到濟(jì)南，可以坐飛機(jī)，也可以坐火車抓狭，還可以乘輪船。一天中造烁，飛機(jī)有4 班, 火車有2班否过，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?
答: 先分類, 看有多少類方法可以實(shí)現(xiàn)
第1類方法,坐飛機(jī), 有4種方法
第2類方法,坐火車, 有2種方法
第3類方法,坐輪船, 有3種方法
所以, 從西安到濟(jì)南共有 4+2+3=9 種方法
(2) 分步用乘法
看下圖, 從西安到濟(jì)南有多少種方法?
解法1: 使用分類來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)
第1類, 坐飛機(jī), 坐飛機(jī)去的方法有:
飛機(jī)+小汽車
飛機(jī)+游泳
飛機(jī)+騎馬
第1類共有3種方法可以到達(dá)目的地第2類, 坐班車, 坐班車的方法有:
班車+小汽車
班車+游泳
班車+騎馬
第2類共有3種方法可以達(dá)到目的地故總共的方法有3+3 = 2X3 = 6(種)
解法2: 用分步來(lái)解決
第1步: 從西安到鄭州有2種方法
第2步: 從鄭州到濟(jì)南, 有三種方法
公共的方法就是: 2X3=6種
例題
(2019河南)某市從市兒童公園到市科技館有6種不同路線惭蟋，從市科技館到市少年宮有5種不同路線苗桂，從市兒童公園到市少年宮有4種不同路線，則從市兒童公園到市少年宮的路線共有:
A.24種
B.36種
C.34種
D.38種
解答:
1)先分類, 去少年宮可以分兩類方案: 第1類直達(dá), 第2類通過(guò)科技館中轉(zhuǎn)
2)第2類的方案中又需要分步: 第1步從兒童公園去科技館, 第2步從科技館去少年宮
- 所以所有路線是: 4 + 6X5 = 34(種)
(三) 排列&組合相關(guān)定義
(1) 排列定義
例子: 小明和小紅去公園玩, 玩累了就想坐下來(lái)休息一下, 這時(shí)恰好路邊有并排3個(gè)座位, 請(qǐng)問(wèn)2人坐三個(gè)座位有多少種坐法
答: 一個(gè)共6種坐法, 這個(gè)事情也可以使用分步統(tǒng)計(jì)
第1步: 抽一個(gè)人坐上去, 此時(shí)有3種選擇
第2步: 剩下另外一個(gè)人就只剩下2種選擇
故所有的坐法就是: 2X3=6種
排列定義: 上面的例子中是從3個(gè)座位選2個(gè)座位來(lái)給2個(gè)人坐, 并統(tǒng)計(jì)出所有坐法, 這就是排列告组。
一般地煤伟，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列木缝，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列便锨。這樣的全部的排列個(gè)數(shù)，叫做排列數(shù)氨肌，記作：A(n,m), 上面的例子記作A(3,2)
(2) 組合定義
例子: 公司為拓展業(yè)務(wù), 決定從小張, 小李, 小王三人中選2人出差到西部去開(kāi)拓業(yè)務(wù), 請(qǐng)問(wèn)一個(gè)有多少種選法
解答: 列出所有的搭配是
小張&小李 小張&小王 小李&小張 小王&小張 小王&小李
但小張&小李和小李&小張其實(shí)一樣的, 沒(méi)有區(qū)別, 同理小王&小張和小張&小王,還有小李&小王和小王&小李
故實(shí)際的選擇方案只有3種, 即: 小王&小張鸿秆、小張&小李、小李&小王
一般地, 從n個(gè)不同元素中怎囚，不重復(fù)地選出m個(gè)元素的一個(gè)組合卿叽，這樣的組合的總數(shù)叫做組合數(shù)，寫(xiě)做：C(n,m), 上面例子寫(xiě)作C(3,2)
(3) 排列和組合的區(qū)別
從n個(gè)不同元素中恳守，每次取出m個(gè)元素為一組考婴，如果該組內(nèi)對(duì)每個(gè)元素的位置（順序）是有要求的即排列，如上面小明和小紅坐座位催烘，他們做12和21是不一樣的沥阱；無(wú)要求的即組合，如上面出差的例子伊群，小王和小張跟小張和小王沒(méi)有任何區(qū)別考杉。
(四) 排列和組合計(jì)算公式
(1) 排列計(jì)算公式
A(n,m) = n+(n-1)+(n-2)...... 一個(gè)共有m個(gè)加數(shù)，比如:
A(5,3) = 5+4+3
A(100,3) = 100+99+98
當(dāng)n和m相等時(shí), 叫做全排列, 如:
A(5,5) = 5x4x3x2x1 也就是!5(5的階乘)
A(100,100) = 100x99x93......x1
(2) 組合計(jì)算公式
公式一: C(5,2) = A(5,2)/A(2,2)
由于
C(5,2) = A(5,2)/A(2,2)
=5x4/2x1
而C(5,3) = A(5,3)/A(3,3)
= 5x4x3/3x2x1
觀察上面兩個(gè)式子, 可以發(fā)現(xiàn):
C(5,2) = C(5,3), 同樣道理:
C(100,98) = C(100,2)
由此得到公式二:
C(n,m) = C(n,n-m) #此公式在某些時(shí)候可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算
