數(shù)論

18世紀(jì)數(shù)論留下了一些互不相關(guān)的成果。歐拉和勒讓德貢獻(xiàn)了主要著作馆蠕。

1736年，歐拉證明了費(fèi)馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)广鳍，a和p互質(zhì)荆几，那么a^p-a可以被p整除赊时。1760年歐拉引進(jìn)Φ函數(shù)，或者叫做n的totient（歐拉函數(shù)）以推廣這個(gè)定理：Φ(n)是小于n而與n互質(zhì)的整數(shù)個(gè)數(shù)行拢，當(dāng)n是質(zhì)數(shù)時(shí)Φ(n)=n-1祖秒，接著歐拉證明如果a和n互質(zhì)，那么a^(Φ(n))-1可以被n整除舟奠。

至于費(fèi)馬對x^n+y^n=z^n所做的著名猜測（即費(fèi)馬大定理竭缝，n>2時(shí)沒有正整數(shù)解），歐拉證明n=3和4時(shí)是正確的沼瘫，勒讓德證明n=5抬纸，人們證明費(fèi)馬大定理的歷史十分悠久。

費(fèi)馬還猜測耿戚，對于n值的一個(gè)不定的集合湿故，由式子2^(2^n)+1得到的數(shù)是質(zhì)數(shù)。這個(gè)猜測對n=0,1,2,3,4成立膜蛔，但1732年歐拉證明n=5時(shí)得到的不是質(zhì)數(shù)坛猪，有一個(gè)因子是641.事實(shí)上目前發(fā)現(xiàn)對n>4得到的都不是質(zhì)數(shù)，不過這個(gè)式子的重要性在于它出現(xiàn)在高斯論正多邊形的可作圖性中皂股。

費(fèi)馬曾斷言：每個(gè)正整數(shù)是不多于四個(gè)平方數(shù)的和（允許一個(gè)平方數(shù)重復(fù)出現(xiàn)墅茉，如8=4+4），歐拉花了四十多年試圖證明，并得出了一些結(jié)果就斤，拉格朗日用了歐拉部分工作證明了這個(gè)定理悍募。但歐拉和拉格朗日沒有得出一個(gè)正整數(shù)能表示成幾個(gè)平方數(shù)的和。

1754/1755年歐拉證明了費(fèi)馬的另一個(gè)斷言：每一個(gè)形為4n+1的質(zhì)數(shù)能唯一地分解成兩個(gè)平方數(shù)之和洋机，但歐拉沒有使用費(fèi)馬為解決這個(gè)問題發(fā)明的遞降法搜立。歐拉還證明兩個(gè)互質(zhì)的平方數(shù)之和的每一個(gè)因子是兩個(gè)平方數(shù)之和。

1770年愛德華·華林(1734-1798)敘述了一個(gè)定理（華林定理）：每個(gè)整數(shù)是1-9個(gè)立方數(shù)之和槐秧，又啄踊，每個(gè)整數(shù)是1-19個(gè)四次方數(shù)之和，他繼續(xù)猜測刁标，每個(gè)正整數(shù)可以表示為至多r個(gè)k次冪之和颠通，其中r依賴于k。不過這些定理他都沒有證明膀懈。

普魯士派往俄羅斯的公使哥德巴赫（一個(gè)喜愛跟數(shù)學(xué)家聯(lián)絡(luò)感情的富二代）在1742年給歐拉的信中敘述了著名的哥德巴赫猜想顿锰，但沒有作出證明：每一個(gè)偶整數(shù)是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，每一個(gè)奇整數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)或三個(gè)質(zhì)數(shù)之和启搂，從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想可推出關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想硼控。

在關(guān)于數(shù)的分解的研究中，歐拉證明x^4-y^4和x^4+y^4不能是平方數(shù)胳赌，歐拉和拉格朗日證明了費(fèi)馬的許多斷言牢撼，大意是某些質(zhì)數(shù)能用特殊方式表示，如歐拉證明了形為3n+1的質(zhì)數(shù)能唯一地表示成形式x^2+3y^2疑苫。

數(shù)學(xué)家也沉迷于親和數(shù)&完全數(shù)熏版。歐拉給出了62對親和數(shù)（包括3對已知的，2對錯(cuò)的）捍掺，他還證明了歐幾里得定理（2^(n-1)(2^n-1)在2^n-1為質(zhì)數(shù)時(shí)是完全數(shù)）的逆定理：每一個(gè)完全偶數(shù)是形為2^(p-1)(2^p-1)的數(shù)撼短，其中第二個(gè)因子是質(zhì)數(shù)。

華林的學(xué)生John Wilson(1741-1793)是劍橋數(shù)學(xué)系出身挺勿，后來當(dāng)了律師和法官曲横，他提出了一條定理（威爾遜定理）：對每個(gè)質(zhì)數(shù)p，量(p-1)!+1能被p整除不瓶，如果這個(gè)量能被q整除禾嫉，那么q也是質(zhì)數(shù)。1773年拉格朗日證明了這個(gè)定理湃番。（拉格朗日跟歐拉為這群聯(lián)想大師付出了太多……）

對求x^2-Ay^2=1的整數(shù)解（費(fèi)馬認(rèn)為A不為完全平方數(shù)時(shí)有無窮個(gè)解）夭织，歐拉把這個(gè)方程誤稱為佩爾方程，1759年他把根號A表示成一個(gè)連分式吠撮，給出了方程解法尊惰，但他沒有成功證明他的方法總能求出解讲竿，且所有解是由根號A的連分式展開給出的。1766年拉格朗日證明了佩爾方程解的存在性弄屡，并解決了求系數(shù)均為整數(shù)的一般二次方程的所有整數(shù)解的問題题禀。

18世紀(jì)數(shù)論最富有創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)是二次互反律。它用了二次剩余的概念膀捷，這里我們使用歐拉引入迈嘹，后由高斯采用的方法：如果存在一個(gè)x使x^2-p能被q整除，那么說p是q的二次剩余全庸，如果x不存在秀仲，則p是q的二次非剩余。1808年勒讓德發(fā)明了一個(gè)記號（p/q）描述上述情況：對任意數(shù)p和任意質(zhì)數(shù)q壶笼，當(dāng)p是q的二次剩余時(shí)神僵，p/q=1，反之p/q=-1覆劈。

二次互反律說如果p保礼、q是不同的奇質(zhì)數(shù)，那么(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)

1783年歐拉給出了四條定理和第五條總結(jié)性的定理责语，清晰地?cái)⑹隽硕位シ绰膳谡希麤]有證明，不過他之前的文章里已經(jīng)涉及了這些工作坤候。1785年勒讓德獨(dú)立給出了定律和不完全證明胁赢。19世紀(jì)后數(shù)論研究的關(guān)鍵課題就是研究這個(gè)定律有什么隱藏含義。

1798年勒讓德的《數(shù)論》是18世紀(jì)數(shù)論集大成者铐拐，這本書包括了數(shù)論在內(nèi)的一些有趣結(jié)果徘键，但他沒有從中做出抽象的一般性概念，而是由他的后繼者完成了這項(xiàng)任務(wù)遍蟋。