1-光學(xué)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1 為什么要學(xué)數(shù)學(xué)妻怎？

光學(xué)知識(shí)體系復(fù)雜多樣，宏觀微觀抽象交雜泞歉，光是電磁波逼侦，而電磁波的本質(zhì)是波，波的本質(zhì)是三角函數(shù)疏日。因此偿洁，想要學(xué)好光學(xué)必須學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，三角函數(shù)及其背后的物理意義沟优，雖然三角函數(shù)是光學(xué)中基礎(chǔ)的基礎(chǔ)涕滋，但在理論計(jì)算中計(jì)算不方便，常使用復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式挠阁。因而宾肺，三角函數(shù)、矢量計(jì)算侵俗、復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)等三大部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)是入門光學(xué)的必備數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)锨用。

2 三角函數(shù)

單純從數(shù)學(xué)的角度上來看，三角函數(shù) $f(x)=Acos(\omega x+\varphi)$ 從本質(zhì)上來說三角函數(shù)是角度的函數(shù)隘谣，即自變量 $x$ 是一個(gè)角度呻畸， $(\omega x+\varphi)$ 是一個(gè)角度， $\varphi$ 也是一個(gè)角度院究，而 $A$ 是決定振動(dòng)的大小，也即下圖中左邊圓的半徑秩仆。

在這里插入圖片描述

從物理的角度上來看，三角函數(shù)是簡諧波猾封，因此澄耍，三角函數(shù)的各個(gè)參數(shù)在物理上做如下定義：

$A$ ：振幅，表示振動(dòng)幅度的最大值晌缘；
$\omega x+\varphi$ ：相位齐莲，表示 $x$ 所處位置的角度大小磷箕；
$\varphi$ ：初相位：表示 $x=0$ 時(shí)的角度大小选酗，即還沒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初始角度；
$\omega$ ：角速度岳枷，表示旋轉(zhuǎn)一周的速度星掰。

在光學(xué)中最常見的波函數(shù)是： $f(x)=Acos(\omega t +\vec{k}x+\varphi)$ ，該波函數(shù)中包含了時(shí)間 $t$ 和空間 $x$ 兩個(gè)緯度的變量嫩舟，在研究光波時(shí)，常將一個(gè)變量固定而研究另一個(gè)變量的波函數(shù)怀偷。其中： $\vec{k}$ 是波矢家厌，表示光波前進(jìn)的方向，在數(shù)值上 $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ 椎工。

3 矢量計(jì)算

標(biāo)量和矢量都可以表示數(shù)量的大小饭于，但標(biāo)量僅僅是一個(gè)數(shù)值，只能表示大小维蒙，而矢量（向量）既可以表示大小掰吕，同時(shí)也可以表示方向。因此颅痊，標(biāo)量只表示一個(gè)數(shù)值大小殖熟，方向是任意的，而矢量不僅表示大小斑响，同時(shí)也確定了其所指的方向菱属。矢量在一定程度上更方便計(jì)算和分析，比如力的分解與合成舰罚、光的分解與合成纽门。掌握矢量的本質(zhì)有利于學(xué)習(xí)偏振性、晶體光學(xué)等知識(shí)营罢。

在數(shù)學(xué)上赏陵，常用一條有方向的線段來表示矢量（向量），線段長度表示矢量的大小，叫做向量的模蝙搔，線段方向表示矢量的方向缕溉。如下圖所示，以 $A$ 為起點(diǎn)杂瘸、 $B$ 為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作： $\vec{AB}$ 倒淫，也可用帶箭頭的字母表示： $\vec{a}$ 。在數(shù)學(xué)上只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量败玉，稱為自由向量敌土，簡稱向量。

在這里插入圖片描述

矢量計(jì)算基礎(chǔ)過于既簡單這里不作詳細(xì)介紹运翼，學(xué)者自行查閱相關(guān)的數(shù)學(xué)書籍返干。

4 復(fù)數(shù)基礎(chǔ)

4.1 復(fù)數(shù)概念

$z=x+yi$ 稱為復(fù)數(shù)，其中 $x$ 稱為實(shí)部血淌，是一個(gè)實(shí)數(shù)矩欠，與實(shí)數(shù)無本質(zhì)區(qū)別， $yi$ 是虛部悠夯， $i$ 是虛數(shù)因子癌淮，定義為： $i^2=-1$ ；
$\bar{z}=x-yi$ 稱為復(fù)數(shù) $z$ 的共軛復(fù)數(shù)沦补；
復(fù)數(shù)的模 $|z|$ ：實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值乳蓄， $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ ;
輻角 $Arg(z)$ ：在復(fù)平面中實(shí)軸與復(fù)數(shù)向量的夾角，其中在 $[-\pi,\pi]$ 范圍內(nèi)的輻角稱為主輻角 $arg(z)$ 夕膀。

4.2 復(fù)數(shù)的三種表達(dá)形式

一般式： $z=x+yi$
指數(shù)式： $z=re^{i\theta}$
三角函數(shù)式： $z=r(cos\theta+isin\theta)$

其中：

模： $|z|=r$
輻角： $Arg(z)=\theta$

由此有如下結(jié)論：

$x=rcos\theta$
$y=rsin\theta$
$z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta)$
$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ （歐拉公式）

4.3 復(fù)數(shù)計(jì)算

設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)： $z_1=a+bi$ 虚倒、 $z_2=c+di$ ，則有如下運(yùn)算法則：

加法： $z=z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
減法： $z=z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
乘法： $z=z_1 \times z_2=ac+adi+cbi+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法： $z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

乘法與除法使用輻角和模長的計(jì)算方法：

乘法：輻角相加产舞，模長相乘
除法：輻角相減魂奥，模長相除

4.3 復(fù)平面

如下圖所示以實(shí)部為實(shí)軸，虛部為虛軸的直角坐標(biāo)稱為復(fù)平面易猫，下面四幅圖分別給出了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則的幾何意義：

加法：【平移】四邊形法則
減法：【平移】三角形法則
乘法：
- 旋轉(zhuǎn)：輻角相加
- 放大：模長相乘
除法：
- 旋轉(zhuǎn)：輻角相減
- 縮谐苊骸：模長相除
  
  在這里插入圖片描述

5 歐拉公式

結(jié)合復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法： $z=re^{i\theta}$ 和指數(shù)表示法： $z=r(cos\theta+isin\theta)$ ，兩邊同時(shí)除以模 $r$ 后得歐拉公式： $e^{i \theta}=cos\theta+isin\theta$ 擦囊。

光是電磁波违霞，電磁波的波函數(shù)是余弦函數(shù)，因此瞬场，常用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示光波函數(shù)买鸽。既然有三角函數(shù)可以表示波函數(shù)，那為什么還非得要用復(fù)數(shù)來表示波函數(shù)呢贯被？

這得益于復(fù)數(shù)具有良好的計(jì)算性質(zhì)更優(yōu)異于三角函數(shù)眼五，這在光強(qiáng)妆艘、光的合成等光學(xué)理論計(jì)算中有重要應(yīng)用。

愿各位讀者學(xué)有所獲看幼，由于編者水平有限批旺，文中難免存在一些缺點(diǎn)和錯(cuò)誤，殷切期望讀者批評(píng)指正诵姜。

最后編輯于：2023.01.10 13:09:17

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