在這一章節(jié)之前，我們要先回顧一下之前學(xué)過的整式加減内斯，首先我們可以將代數(shù)式分成兩類蕴潦，一類是分式，一類是整式俘闯。我們現(xiàn)在先不看分式潭苞，就看整式。對于整式备徐，我們還可以再進(jìn)行分類萄传，將它分為單項式和多項式甚颂。那我們現(xiàn)在來看整式加減蜜猾，在做整式加減時我們要分清楚什么時候能合并同類項。同類項表示的是字母和相同字母的指數(shù)相同的兩個項振诬。只有在這樣的情況下蹭睡，這兩個項才能合并，那么這些和我們現(xiàn)在要學(xué)的整式乘除什么關(guān)系呢赶么？其實是有關(guān)系的肩豁，我們之前將整式分成了單項式和多項式。也就是說在整式乘除的時候，有可能是單項式乘單項式清钥，單項式乘多項式琼锋，多項式乘多項式。除法也是這樣祟昭。單項式除單項式缕坎。多項式除單項式，單項式除多項式篡悟，多項式除多項式谜叹。
那么接下來我們就要探索整式乘除。那么我們先從哪里開始呢搬葬？我們剛才給他們分了類荷腊。那么最簡單的就是單項式乘單項式這一類。因為單項是也是字母和數(shù)字相乘急凰。也就如a×be它也可以寫成這個形式：a×b×e女仰，也就等于abe
但是在單項式乘單項式中還有這樣特殊的一類。那就是同底數(shù)冪相乘香府。就像102×103這一類該怎么計算呢董栽？現(xiàn)在這個102是冪的形式，我們可以將這個冪的形式轉(zhuǎn)化成積的形式企孩。變成10×10×10×10×10锭碳。也就是五個10相乘。等于10勿璃。所以102×103＝10^5擒抛，我們會發(fā)現(xiàn)它也就等于10的2+3次方。從頭到尾這個底數(shù)時补疑，它沒有任何變化歧沪，而它的指數(shù)是相加在了一起。不過這只是一個特例莲组，我們要將它變成普遍的規(guī)律诊胞。也就是用字母來代替數(shù)字。就是a^m·a^n锹杈，a^m就是m個a相乘撵孤，a^n就是n個a相乘，a^m＋n(在這時候和都應(yīng)該為整數(shù)竭望。因為我們現(xiàn)在理解的次方是有幾個a相乘邪码，那如果m和n是小數(shù)，那么有零點幾個a相乘咬清，這種就解釋不通了)這個是符號語言闭专。文字語言來說就是同底數(shù)冪乘方法則：同底數(shù)冪相乘奴潘，底數(shù)不變，指數(shù)相加影钉。那么根據(jù)乘除互逆画髓，我們就可以推出相應(yīng)的除法算式。
剛才的同底數(shù)冪相乘只是一部分平委，在剛才例子當(dāng)中雀扶，底數(shù)它是一個整數(shù)，那如果我們現(xiàn)在將底數(shù)變成冪的形式肆汹，也就變成(32)3這樣該怎么計算呢愚墓？我們也是把冪的形式轉(zhuǎn)化成積的形式。也就會變成32×32×32那我們現(xiàn)在又可以用上面發(fā)現(xiàn)的同底數(shù)冪相乘的規(guī)律昂勉。它也就等于3^2+2+2＝3^6浪册，我們會發(fā)現(xiàn)這個底數(shù)3一直都沒有變。他的指數(shù)6其實就是剛才3的兩個指數(shù)2×3得出來的岗照。不過這只是一個特例村象，我們還是要用字母代替，表示成一個普遍規(guī)律攒至。a^m的a^n=a^mn厚者。用文字語言來說就是冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變迫吐，指數(shù)相乘库菲。
那么我們剛才說的底數(shù)都是一個數(shù)字，那我們現(xiàn)在如果將底數(shù)變成兩個數(shù)的積呢志膀？就變成這樣子的形式：(2×3)2熙宇。同樣我們也將冪的形式先變成積的形式，也就是(2×3)×(2×3)溉浙。我們用乘法分配律將括號去掉烫止。就是2×3×2×3，之后我們可以再利用乘法交換律戳稽。將他變成2×2×3×3在用我們之前發(fā)現(xiàn)的同底數(shù)冪相乘的規(guī)律馆蠕，就會變成22×32。那么原本的形式是2×3惊奇，我們可以把這個形式叫做積互躬，那2×3的方也就等于積的乘方。通過變形赊时，我們將它變成了22×32吨铸。2^2和3^2都是乘方的形式行拢，而他們兩個平方相乘祖秒，我們可以把它叫做乘方的積。我們用字母表示就是。(ab)^n=a^n·b^n竭缝。用文字語言來說就是房维。積的乘方法則：積的乘方等于乘方的積。
之前說的都是特殊的單項式乘以單項式抬纸。還有一般的單項式乘以單項式咙俩。
那么單項式乘單項式我們說完了，可以再說說單項式乘以多項式湿故。乘以多項式其實非常簡單阿趁。依據(jù)乘法分配律，用單項式去一個一個乘以多項式中的每個項就可以了坛猪。
那么根據(jù)乘除互逆的原則脖阵，上面講過的那些乘法算式都應(yīng)該有兩個對應(yīng)的除法算式。先從第一個同底數(shù)冪乘法說起墅茉。我們上面舉的例子是10^2·10^3=10^5命黔，那么現(xiàn)在利用乘除互逆將它反過來就會變成10的5次方除以10的二次方等于十的三次方。也就是5個10相乘就斤，以兩個十乘的還剩下三個式相乘悍募。用字母來說就是。a^m÷a^n=a^m－n洋机，不過有一個前提坠宴，因為除數(shù)不能為零，所以a也不能為零绷旗。文字語言就是：同底數(shù)冪除法法則：同底數(shù)冪相除啄踊，底數(shù)不變，指數(shù)相減刁标。除法呢颠通，我們可以用另一種方式來理解那就是分?jǐn)?shù)。10^5÷102膀懈，它也就等于10·10／10×10×10×10×10顿锰。分子分母同時除以10·10，分子還剩下了3個10相乘也就等于103启搂。不過上面我們舉的例子中都是m＞n的情況硼控，也就是m－n為正整數(shù)的情況。那么還有兩種情況胳赌，一種是m-n減等于零牢撼，也就是m=n，還有一種就是m-n減為負(fù)整數(shù)疑苫。也就是m＜n熏版。我們現(xiàn)在先來看m減n等于零的情況纷责。那我們先舉一個特例。10^5÷10^5撼短。就是一個數(shù)除以自己本身再膳，它應(yīng)該等于一。按照我們之前的曲横，同底數(shù)冪除法法則應(yīng)該等于10o喂柒。也就是說10o應(yīng)該等于1。能用字母表示禾嫉，也就是說ao=1灾杰。(a不等于零)。那我們現(xiàn)在再來看m＜n的情況熙参。再舉一個特例吭露。103÷10^5，用分?jǐn)?shù)來解釋尊惰，也就是說10×10×10×10×10/10×10×10讲竿。我們分子分母同時約分就會變成102／1。那么我們現(xiàn)在在用同底數(shù)冪除法法則來解釋弄屡。應(yīng)該=10^-2题禀。也就是說10^-2=102／1。用字母表示就是a^－n=a^n／1膀捷。(a≠0)
這是一類特殊的除法迈嘹，其他的除法。我們也可以把它寫成分?jǐn)?shù)的形式全庸。就像3a與ab的和除以a寫成分?jǐn)?shù)形式就是a／3a＋ab秀仲。但是現(xiàn)在我們還沒辦法進(jìn)行約分。因為它的分子是加法的形式壶笼，并不是乘法的形式神僵。我們現(xiàn)在就要將分子轉(zhuǎn)化成乘法的形式。為了和分母進(jìn)行約分覆劈，我們要從分子中提取出一個a保礼，也就會變成a·(3＋b)，然后分子分母同時除以a责语，結(jié)果就是三加b炮障，分子從加法的形式變成乘法的形式。這個過程就是因式分解坤候。
最后剩下一種多項式乘以多項式胁赢。多項式乘多項式，我們就可以將一個括號拆開白筹，然后另一個括號中當(dāng)做一個整體智末，就像單項式那樣一個像一個像的去乘谅摄。然后再用乘法分配率再拆一次括號。最后再看一下有沒有同類項可以合并吹害。
不過多項式乘多項式還有幾種特殊的，有一類就是(a＋b)(a-b)用上面的方法做就是a與b的和乘以a減去a與b的和乘以b虚青。再用乘法分配率它呀。就是a2＋ab-ab-b2化解一下就等于a方減b方。所以我們就可以得出結(jié)論棒厘。(a＋b)(a-b)＝a2-b2也可以用圖形解釋纵穿。
這個公式我們就叫做平方差公式。
還有特殊的一類奢人，(a＋b)2用乘法分配率算出來的結(jié)果會是與的a和b乘以a谓媒，加上a與b的和乘以b。也就等于a方加ab加ab加b方何乎。等于a2＋2ab＋b2句惯。也就是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2這也可以用圖形解釋。
這就是完全平方公式中的完全平方和公式支救。
那有完全平方和公式抢野，就有完全平方差公式。完全平方差公式就是(a－b)2用乘法分配率算出來的話各墨，等于一方減ab指孤，減ab加b方。等于贬堵。a方減二恃轩，ab加b方。也就是(a-b)2＝a2－2ab＋b2同樣也可以用圖形解釋黎做。
這也就是完全平方差公式叉跛。
