????????我們在初一上的時候距贷，已經學習過整式以及整式的分類。是的吻谋，整式可以分成整式以及分式忠蝗，而這個區(qū)別也是顯而易見的。分式中漓拾，分母上是有字母的阁最，而在整式中，分母上卻是沒有字母的骇两。而且速种，整式是可以進行加減運算的，這也是我們在初一上學期低千，就已經知道的配阵。那么整式可否進行乘法與除法運算呢，這就是在我們初一下學期所要探索的。

????????那么在探索棋傍，整式的乘法與除法之前救拉，我們需要先知道整式的乘法與除法可以分成哪些類別。我們已經知道瘫拣，整式是可以分成單項式與多項式亿絮，兩類的。所以麸拄，整式的乘法可以分成這三類：單項式乘單項式派昧；單項式成多項式；多項式乘多項式拢切；而整式的除法則可以分成以下是幾類：單項式除單項式斗锭；單項式除多項式；多項式除單項式失球；多項式除多項式岖是。但是由于在探索單項式除多項式，以及多項式除多項式的時候实苞，會出現(xiàn)我們還會涉及到分式豺撑，所以初一的我們暫時先不涉及這兩類整式的除法。

????????而在我們學習的第一步黔牵，我們探索的是單項式乘單項式聪轿。而單項式乘單項式中最基礎也是最簡單的，就是同底數(shù)冪的乘法猾浦。

????????首先我們看這個算式：陆错。這道題就是同底數(shù)冪的乘法的一道典型題，這里的與方就是一對同底數(shù)冪金赦。在這兩個冪中音瓷，兩數(shù)的底數(shù)都是相同的，也就是都是a夹抗。而這兩個同地數(shù)冪的相乘绳慎，該如何運算呢？

????????其實這可以用我們在小學就學過乘法分配律漠烧。這里其實可以變成m個a相乘杏愤，則可以看作是n個a相乘。兩者乘起來已脓，就是n+m個a相乘珊楼，也就是。根據(jù)這個度液，我們就可以得到這樣一個法則：同底數(shù)冪乘法厕宗，底數(shù)不變邓了，指數(shù)相加。這就是我們得到的同底數(shù)冪乘法法則媳瞪，而我們可以通過在小學同樣學過的乘除互逆骗炉，得出同底數(shù)冪的除法的法則。

????????通過同底數(shù)冪乘法的法則蛇受，我們知道：句葵。那么，通過乘除互逆我們可以得到這樣的等式：am+n÷an= am兢仰，我們也就可以總結出同底數(shù)冪除法法則：同底數(shù)冪除法乍丈，底數(shù)不變，指數(shù)相減把将。這是用乘除互逆得出的同底數(shù)冪的除法法則轻专。那么如何用代數(shù)推導出來呢？其實也很簡單察蹲。

????????看這樣一個問題：這里请垛，我們同樣可以把這個冪的形式的算式，轉化成乘法形式洽议。n個a相乘的積分之m個a相乘的積宗收。然后根據(jù)：分數(shù)上下同除同一個不為零的數(shù)，分數(shù)大小不變的原則亚兄。我們可以將這個分數(shù)的上下同時除以n個a相乘的積混稽。這時分母的部分變?yōu)榱艘弧６肿拥牟糠稚笈撸扔心莔個a相乘匈勋，現(xiàn)在除掉n個a，所以就還剩m-n個a相乘膳叨，也就是

????????這里洽洁，我們可以拓展出很多新的法則。舉例來說懒鉴，如果這個同底數(shù)冪除法诡挂，該如何運算呢？這里有兩種方法临谱，第一種使用我們剛剛得到的同底數(shù)冪除法法則。也就會得到?2-1奴璃。但是如果把這個同底數(shù)冪除法轉化為分數(shù)形式悉默，又會變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7B2%C2%B72%7D%7B2%C2%B72%C2%B72%7D%20" alt="\frac{2·2}{2·2·2} " mathimg="1">.也就是1/2.在這兩種算法上，都找不到任何問題苟穆，兩者都是成立的抄课。那么唱星，為了避免邏輯混亂。我們不得不承認2-1=1/2.當然跟磨，這只是特里间聊，如果我們把這里的2換成a，把-1換成-n抵拘，通過同樣的額方法就會得到：

????????這里在看一個例子：.這個同底數(shù)冪除法我們依然可以用兩種方法進行計算哎榴。一種使用我們的道的同底數(shù)冪除法法則，也就會將原式變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a%5E%7Bn-n%7D%3Da%5E0" alt="a^{n-n}=a^0" mathimg="1">.但是另一方面僵蛛，我們又可以將原式轉化為分數(shù)的形式尚蝌，也就是.而我們直到，任何不等于0的數(shù)字除以它本身都是1充尉，所以我們又可以被迫得出：這一結論飘言。當然，這里的a是不能等于0的驼侠，因為0是不能做除數(shù)的姿鸿。

????????學習完同底數(shù)冪乘法以及同底數(shù)冪除法之后我們緊接著開始學習了積的乘方，冪的乘方倒源，以及和的乘方與差的乘方般妙。其實這幾類都可以歸類為冪的變形。

????????首先看這個冪：相速，在這個冪中碟渺，底數(shù)是一個字母a。那我們把這個底數(shù)也換成一個冪突诬，比如說am可以嗎苫拍？當然是可以的，在這個變形后旺隙，我們就得到了一個冪的乘方绒极，也就是???，那么這個冪的乘方該如運算呢蔬捷？

????????在我們解決同底數(shù)冪乘法以及同底數(shù)冪除法的時候垄提，我們都是把一個算式從冪的形式轉化為乘法的形式，最后再轉化為冪的形式周拐。而且解決冪的乘方也可以采用這思路铡俐。

????????首先我們可以將轉化成n個相乘，而這其實是一個同底數(shù)冪的運算只不過是多了幾個而已妥粟。這個運算應該最終等于a的n加m的次方审丘，也就是。所以說勾给，我們可以得出這樣一個法則：冪的乘方運算滩报，底數(shù)不變锅知，指數(shù)相乘。

????????如果說把一個冪的底數(shù)換成冪的形式的話脓钾，是冪的乘方售睹。那把一個冪的底數(shù)換成積的形式也就是乘法形式，就會是積的乘方可训，那么積的乘方如何運算呢昌妹？其實我們依然可以用我們探索冪的乘方，同底數(shù)冪乘法以及同底數(shù)冪除法的方式沉噩。

????????首先看一個積的乘方捺宗，也就是。這里川蒙，我們可以將原式轉化成m個ab相乘蚜厉，用我們小學就知道的乘法交換律，將其轉化為m個a相乘的積乘以m個b相乘的乘積畜眨，也就是我們也可以由此得出積的乘方的運算法則：積的乘方等于乘方的積昼牛。

????????以上其實都是我們在探索整式乘法中的單項式乘以單項式，但是這都是單項式乘以單項式中非常特別的形式康聂。那么單項式乘單項式普遍的法則是什么呢贰健？也是有的，那就是：數(shù)相乘同底數(shù)冪相成恬汁。因為兩個單項式相乘我們可以運用乘法交換律伶椿，將系數(shù)都移到一起，字母都移到一起氓侧，然后用同底數(shù)冪乘法法則把同類項乘到一起

????????這都是單項式乘單項式脊另，那么單項式乘多項式要怎么運算呢？其實约巷，我們只要運用乘法分配律偎痛，把單項式看做是一個成整體。然后分別用單項式乘以多項式中的每一項独郎，就會變成我們熟悉的單項式與單項式的乘法

????????我們回到改變冪的底數(shù)這套邏輯上踩麦，如果我們把一個二次冪的底數(shù)改成和的形式，會怎么樣呢氓癌？

????????先看就要一個式子：谓谦，這個算式可以轉化成（a+b）（a+b）。這是我們卡可以把第二個（a+b）看作整體顽铸，分別乘以第一個（a+b）中的a與b茁计。就會得到a（a+b）+b（a+b），最后化簡出來后就是：谓松。這其實是一個公式星压，我們要將這個公式給取個什么名字呢？觀察原來的式子鬼譬，這個式子是一個和的平方娜膘。我們可以按照這個特點，將此公式命名為完全平方和公式优质。這個公式用文字語言描述起來就是這樣的：兩數(shù)和的平方等于兩數(shù)平方的和加兩倍兩數(shù)積竣贪。

????????如果說完全平方和公式是將底數(shù)換成了和的形式，那么可不可以將底數(shù)轉換成差的形式呢巩螃？也是可以的演怎，原先冪的形式就可以變?yōu)檫@樣：，這個式子仍然用多項式乘多項式的方法避乏，也就是乘法分配律,化簡一下就可以得到：爷耀。而同樣觀察原式，我們發(fā)現(xiàn)那是一個差的平方拍皮，因此可以將這個公式命名為完全平方差公式歹叮。用文字語言描述起來是這樣的：兩數(shù)差的平方，等于兩數(shù)平方的和減去兩倍兩數(shù)積铆帽。

????????其實咆耿，完全平方差公式是可以用完全平方和公式進行推到的。例如爹橱，其實就是萨螺，之后再利用完全平方和公式，就可以變成愧驱，也就是慰技。這其實也是在用我們已有的知識去推到新的知識。

????????而這兩個數(shù)字也就是完全平方和公式和完全平方差公式冯键，合起來就是完全平方公式惹盼。這是其實一種特殊的多項式乘以多項式。而特殊的多項式乘以多項式還有一種公式惫确。觀察這個式子：（a+b）（a-b）通過乘法分配律手报，我們可以將幾個式子轉化為，其實原本這兩個多項式乘起來應該有四個項的改化，但是因為其中兩個項正好抵消掉了掩蛤，所以最后只剩下了通過觀察這個結果，我們發(fā)現(xiàn)這個得數(shù)是兩個數(shù)平方的差陈肛。于是揍鸟，我們就可以根據(jù)這個來命名這個公式：平方差公式。用文字語言描述這個公式就是：兩數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差等于兩數(shù)平方的差句旱。

????????其實我們所探索的完全平方公式阳藻，以及平方差公式都是特殊的多項式乘多項式晰奖。那么多項式乘多項式。那一般形式該如何運算呢腥泥？其實在探索完全平方公式匾南，以及平方差公式，是我們已經說過了蛔外。也就是當兩個多項式相乘的時候蛆楞，我們可以把一個多項式，看作整體夹厌，與另外一個多項式中的每一項分別相成豹爹，然后就會得到若干個單項式乘多項式的和。這時矛纹，我們再次用乘法分配律臂聋，化簡單項式與多項式的積，合并同類項崖技，就可以得到多項式化簡后的結果逻住。其實多項式乘多項式，就是多次運用乘法分配律迎献。

????????到這里瞎访，我們已經學習完了整式的乘法，那么多項式除以單項式快如何運算呢吁恍？看這樣一個算式：.這該如何運算扒秸？對于這道題，我們首先要將其轉化成分數(shù)形式冀瓦，這么做最重要的原因就是我們要進行約分伴奥。但是分數(shù)的原理是上下同時除以一個不為零的數(shù)，而這里可以同時除以什么呢翼闽？所以我們首先要提取一個式子拾徙，讓上下可以約分。就是要在在分母上提取一個因式2ab.之后感局，分母上就會變成2ab（1+2a）尼啡。這時分數(shù)上下就可以，同時除以ab也就是說询微，可以約分了崖瞭。之后原式就會變?yōu)?（1+2a）這也就是這個多項式除以單項式最后化簡出來的結果。

????????而多項式除以單項式這樣撑毛，先把除法形式轉化為分數(shù)形式书聚，然后約分。其實在這里，我們涉及到了一點點因式分解雌续。在我們把分子由“和的形式”轉化成“積的形式”時斩个，這其實就是因式分解。

????????其實西雀，多項式除以多項式不是我們一點也無法涉及的萨驶。就比如說這個例子：.這里我們可以將分母上面的a2+2ab+b2變成（a+b）2歉摧，那么這時分數(shù)上下就可以同時約分艇肴，也就是除以a+b這個整體，原式也就變成了a+b.這是一個我們可以解決的多項式除以多項式叁温，當然再悼，這個只是特例。普遍的多項式除以多項式的運算方法我們卻是還無法涉及

????????其實到這里膝但，我們整式的學習就已經要結束了冲九，所有精確的部分都已經學習完成。那么我們所學習的整式乘法可以幫助我們解決什么樣的問題呢跟束？

????????首先就是圖形問題莺奸，在初一上學期我們僅僅會整式的加法，所以在圖形問題上冀宴，只能解決周長問題灭贷。但是我們現(xiàn)在學習了整式的乘法，所以在幾何圖形問題上略贮，就不只能去解決圖形問題中的周長問題了∩跖保現(xiàn)在，面積問題逃延，體積問題都已在我們的掌握之中览妖。

????????那么，在我們學習完整式的乘法后揽祥，我們還會向哪些方向進行學習呢讽膏？其實在我們學習整式的乘法的過程中，已經初步接觸了因式分解拄丰，也就是把若干式子的和轉化成若干式子的積的形式府树。這個是我們八年級所要探索的。

????????而在文章的最開始愈案，我就說過我們初一暫時不探索單項式除以多項式或者多項式除以多項式挺尾。因為這些運算會涉及到分式，也就是分母上有字母的式子站绪，這些式子我們暫時還沒辦法運算遭铺。想要運算，我們還是要等到八年級。

????????但是何況不能現(xiàn)在就探索呢魂挂？其實甫题，如果整式的乘除學習明白了，那么探索因式分解是很容易涂召。所以在時間和能力都有富裕的時候坠非，為何不去嘗試呢？