1函喉、問題引入：數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量
高中數(shù)學(xué)和物理應(yīng)該是聯(lián)系最緊密的一對學(xué)科，高中物理在計算過程中大量使用數(shù)學(xué)中的知識荣月，例如受力分析經(jīng)常用到三角函數(shù)的性質(zhì)管呵。其實在我看來，數(shù)學(xué)本身是抽象的哺窄，注重邏輯思維的捐下，而物理就像是給數(shù)學(xué)工具富賦予了實際意義账锹，讓我們更容易感受和觸摸。當(dāng)然了物理絕非這么簡單坷襟，也并不是數(shù)學(xué)的附庸品奸柬，同時數(shù)學(xué)也并不是枯燥無聊，也有自己的獨特美學(xué)婴程，今天我想聊聊數(shù)學(xué)和物理中都存在的一個概念——矢量（向量）廓奕。
在有些人眼中，向量不就是上面那一堆箭頭档叔，有什么可研究的桌粉，如果你這么想，那可就太低估向量的魅力了衙四。
高中生都很熟悉了铃肯，物理學(xué)中我們需要用到各種矢量，例如力传蹈、位移押逼、速度等；而對應(yīng)數(shù)學(xué)中我們學(xué)了平面向量的知識惦界。那么你有沒有思考過這兩個概念之間有什么區(qū)別和聯(lián)系呢挑格？
2、數(shù)學(xué)向量VS物理矢量
受力分析：首先先來看一個物理學(xué)中一個經(jīng)典的受力分析模型——粗糙斜面上有一物塊表锻。
具體的受力分析大家學(xué)過物理肯定很熟悉恕齐，物塊一共受三個力：豎直向下的重力、沿斜面向上的摩擦力瞬逊、垂直于斜面向上的支持力显歧。三力平衡，如圖所示可以將重力分解到斜面方向和垂直于斜面方向确镊，兩個方向合力為0士骤。
對于“力”這個物理量，對應(yīng)有三元素：大小蕾域、方向拷肌、作用點。上面示意圖中旨巷，三個力的作用點均在重心位置巨缘，然而這種畫法只能“示意”，并不能完全反映物體最真實的受力情況采呐，之所以用上圖若锁，是我們覺得在該模型下物體的形狀和大小不影響我們的分析，所以可以將其視為一個“質(zhì)點”斧吐，故三力的作用點都放到重心位置又固。
實際上仲器，該物體是有大小的，因此圖中的力都有其精確的作用點仰冠，重力的作用點一定在重心上乏冀，摩擦力的作用點一定在物體與斜面的接觸面上，三力平衡的一定是共點力洋只，也就是三個力所在直線匯聚到一點辆沦，因此可推得斜面支持力的作用點，如下圖：
通過個物理學(xué)中的經(jīng)典受力模型可以得出木张，力這個矢量在分析中除了大小和方向众辨，還需要討論它的作用點。
高中數(shù)學(xué)中對應(yīng)有平面向量舷礼，可以用一條有向線段進行表示鹃彻，箭頭指向代表其方向，線段長度代表其大小妻献。如果將物理學(xué)中的矢量和數(shù)學(xué)中的向量倆概念進行對比蛛株，好像差不多，二者描述的都是既有大小也有方向的量育拨，那么你覺得這兩個概念是等價的嗎谨履？
其實從剛才的受力分析中也能發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)中的矢量在分析中除了大小和方向之外熬丧，還需要強調(diào)其作用點笋粟；而數(shù)學(xué)中的向量我們不關(guān)注它的起點，甚至可以對向量進行隨意平移析蝴，對于數(shù)學(xué)中的向量我們只在意其大小和方向害捕。為了更好讓大家理解，可以看下面兩個例子：
首先是數(shù)學(xué)中的向量闷畸，下圖中的三個向量是相等的尝盼，因為它們方向相同，大小相等佑菩，起點不同但對向量來說沒有任何影響盾沫，這就是數(shù)學(xué)中的“自由向量”，數(shù)學(xué)中的向量可以隨意平移殿漠。
其次我們看一個物理中的例子——杠桿原理赴精。在力學(xué)里，典型的杠桿是置放連結(jié)在一個支撐點上的硬棒绞幌，這硬棒可以繞著支撐點旋轉(zhuǎn)蕾哟。大家都聽過阿基米德的名言——“給我一個杠桿，我可以翹起整個地球”。
當(dāng)杠桿靜力平衡時渐苏，其動力乘以動力臂等于阻力乘以阻力臂，可以透過改變動力臂或阻力臂長度菇夸，使輸入力放大或縮小琼富，有著相當(dāng)實用的功能，古希臘人將杠桿歸類為簡單機械庄新。
根據(jù)杠桿原理鞠眉，杠桿在達到靜態(tài)平衡時，滿足：???1??=??2???择诈，即動力乘以動力臂=阻力乘以阻力臂⌒堤＃現(xiàn)在考慮下面這個模型，如果還是同樣大小和方向的力羞芍，但是起點不同哗戈，也就是力的作用點不同，杠桿還會平衡嗎荷科？
很容易看出唯咬，上面示意圖中左邊情形杠桿平衡，但是一旦我們將力???2?的作用點靠近支點移動之后畏浆，杠桿立馬會失衡胆胰，左側(cè)下沉。但是兩種場景之下力的大小和方向都是一樣的刻获，作用點不同會有不同的效果蜀涨，因此可得，物理學(xué)中的矢量不能隨意平移蝎毡。能否自由平移好像就是數(shù)學(xué)中的向量和物理學(xué)中的矢量之間最大的區(qū)別厚柳，數(shù)學(xué)中的向量更加自由一些。
3顶掉、向量完整版總結(jié)
向量的嚴(yán)格定義除了具有大小和方向之外草娜，運算還需要滿足平行四邊形法則。比如電流這個物理量痒筒，有大小宰闰，有方向（逆時針、順時針）簿透，但電流的運算就是普通的加法移袍，不滿足平行四邊形法則，因此電流是標(biāo)量老充。在這個定義之下葡盗，向量還可以分為固定向量和自由向量，物理中研究的大多數(shù)是固定向量啡浊，如力觅够；數(shù)學(xué)中更多研究的是自由向量胶背，具體如下圖所示：
所以關(guān)于我們開頭的問題——數(shù)理中的矢量和數(shù)學(xué)中的向量的關(guān)系，你搞明白了嗎喘先？
如果你有任何數(shù)學(xué)問題钳吟，歡迎聯(lián)系我，我負責(zé)解答窘拯！
