由哈密頓所發(fā)現(xiàn)的抽象四元數(shù)群是群結(jié)構(gòu)的一個(gè)實(shí)例猜扮。在定義了這個(gè)物理中的基本概念后，這一章考察了階數(shù)小于等于8的有限群监婶，尤其是四元數(shù)群旅赢。然后是四元數(shù)代數(shù)和作為他的一個(gè)應(yīng)用的經(jīng)典向量分析。
集合G是一個(gè)群惑惶，如果對(duì)所有元素存在一個(gè)內(nèi)部的結(jié)合律煮盼，并且滿足下面的性質(zhì)。
1.結(jié)合律带污，2.恒等元僵控，3.逆
設(shè)F，G是兩個(gè)群鱼冀，那么積群的結(jié)合律就是按分量定義的报破。這個(gè)群稱為F，G的直積千绪。
例子：1.n階循環(huán)群充易，元素為某一元素的冪，滿足n次冪為恒等元荸型。這個(gè)基礎(chǔ)元素可以被看作圍繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)盹靴。
2.由兩個(gè)元素a，b生成的2n階二面體群，滿足a為二階元素鹉究，b為n階元素宇立。特別的，自赔。根據(jù)一些化簡(jiǎn)規(guī)則妈嘹，能夠列出全部的2n個(gè)元素。其實(shí)就是自由群相對(duì)于一些化簡(jiǎn)關(guān)系所生成的等價(jià)關(guān)系所得的商群绍妨。
八階及以下的有限群润脸，除了需要專門講解的四元數(shù)群外，就是下面這些群
1.一階群他去，平凡群毙驯，只含恒等元
2.二階群，只有一種群灾测，二階循環(huán)群爆价，元素為
例子：a.b.繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)
3.三階群，只有一種群媳搪，三階循環(huán)群铭段，是素?cái)?shù)群，所以也是單群
4.四階群秦爆，有兩種群序愚，
a.四階循環(huán)群，元素階數(shù)為1,2,4,4等限。
b.克萊因4群爸吮，同構(gòu)于，元素階數(shù)1,2,2,2望门。
5.五階群形娇，素?cái)?shù)群，五階循環(huán)群
6.六階群怒允，兩個(gè)a.六階循環(huán)群埂软，b.二面體群
7.七階群，七階循環(huán)群纫事。
8.八階群勘畔，五個(gè)
a.八階循環(huán)群
b.丽惶，是交換群
c.炫七，是交換群
d.二面體群
就到這里了钾唬，這一節(jié)都是群論的知識(shí)万哪，都很清楚侠驯，即使不清楚也很容易弄清楚。從抽象的范疇論到群論奕巍，突然變得簡(jiǎn)單了吟策，還有點(diǎn)不適應(yīng)。之后就是四元數(shù)群了的止，有意思的是檩坚，之前總以為四元數(shù)是四階的，誰(shuí)想到是八階的诅福，也算糾正了一個(gè)錯(cuò)誤印象匾委。
