雙有理變換
《射影幾何學(xué)的復(fù)興》一節(jié)提到胁黑，1930s-40s射影幾何的研究工作轉(zhuǎn)向高次曲線涩盾，在深入研究前，研究性質(zhì)發(fā)生了改變捕捂，攝影觀點(diǎn)是指齊次坐標(biāo)線性變換瑟枫，隨著二次、高次變換的研究指攒，重點(diǎn)轉(zhuǎn)向了雙有理變換慷妙。在兩個(gè)非齊次坐標(biāo)的情形中，這個(gè)變換具有形式x'=Φ(x,y),y'=ψ(x,y)幽七，其中Φ景殷、ψ是x,y的有理函數(shù)，且x,y可表為x',y'的有理函數(shù)。齊次坐標(biāo)的變換式為xi'=Fi(x1,x2,x3)猿挚，i=1,2,3咐旧。其逆變換是xi=Gi(x1',x2',x3'),i=1,2,3，其中Fi绩蜻，Gi是各自變量的n次齊次多項(xiàng)式铣墨，除了有限多個(gè)點(diǎn)可能各對(duì)應(yīng)于一條曲線之外，坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的办绝。
圓的反演可以作為雙有理變換的例子伊约，從幾何上講，這個(gè)變換把M變到M'或把M'變到M孕蝉，定義它的方程是OM·OM'=r^2屡律，其中r是圓的半徑。從代數(shù)上講降淮，若在O點(diǎn)建立一個(gè)坐標(biāo)系超埋，則由畢達(dá)哥拉斯定理導(dǎo)出，其中M的坐標(biāo)為(x,y)佳鳖，M'的坐標(biāo)為(x',y')霍殴，在這個(gè)變換下圓可以變到圓或直線，也可以反過(guò)來(lái)變系吩。
圓的反演
反演是把全平面變到自身的變換来庭，這樣的雙有理變換稱(chēng)為克雷莫納變換。三個(gè)（齊次）變量的克雷莫納變換如二次變換x1'=x2x3,x2'=x3x1,x3'=x1x2穿挨，其逆是x1=x2'x3',x2=x3'x1',x3=x1'x2'月弛。廣義的雙有理變換指把一曲線上的點(diǎn)變到另一曲線上的點(diǎn)的變換是雙有理的，但在全平面的變換未必是雙有理的絮蒿。例如（非齊次坐標(biāo)）變換
第一個(gè)出現(xiàn)的雙有理變換是反演變換土涝。彭賽列曾在1822年《論圖形的射影性質(zhì)》中使用反演變換佛寿，之后普呂克、施泰納但壮、凱特勒等人均使用過(guò)冀泻，莫比烏斯曾做過(guò)詳細(xì)研究，開(kāi)爾文和劉維爾曾認(rèn)識(shí)到其在物理上的應(yīng)用蜡饵，后者把它稱(chēng)為半徑互為倒數(shù)的變換弹渔。
數(shù)學(xué)教授克雷莫納(Luigi Cremona,1830-1903)在1854年引入一般的雙有理變換（把全平面變到自身）并寫(xiě)過(guò)多篇重要論文。馬克斯·諾特（Max Noether溯祸，1844-1921肢专，艾米諾特的父親）證明了如下基本結(jié)果：一個(gè)平面克雷莫納變換可由一系列二次及線性變換構(gòu)成舞肆。Jacob Rosanes(1842-1922)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)該結(jié)果，還證明了所有平面上的一對(duì)一的代數(shù)變換必然是克雷莫納變換博杖。Guido Castelnuovo(1865-1952)將諾特和Rosanes的證明加以完善椿胯。
