機(jī)器人建模：機(jī)械臂位姿描述及計(jì)算詳解

1 什么是工業(yè)機(jī)器人

? ? ? ?機(jī)械臂（又稱操作臂）扬卷，實(shí)際上就是機(jī)器人的一種颤介，機(jī)器人學(xué)稱之為工業(yè)機(jī)器人。對于操作臂而言跟匆，在建模過程中主要關(guān)心的是末端執(zhí)行器的位置和它的姿態(tài)异袄，確保在完成工業(yè)上的某些工藝?yán)绾附拥龋軌驕?zhǔn)確的描述并控制機(jī)器人到達(dá)需求位置玛臂。

2 怎么描述機(jī)械臂的“位姿”烤蜕？

? ? ? ?機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿，指的是它的“位置”和“姿態(tài)”迹冤。位置指的是“位移”（筆者認(rèn)為讽营，主要是為了描述機(jī)械臂的方向與距離），而姿態(tài)指的實(shí)際上是“旋轉(zhuǎn)”泡徙。我們用三維空間里的一個位移和一個旋轉(zhuǎn)橱鹏，就可以清楚描述機(jī)械臂的位姿。實(shí)際上堪藐，只要是剛體莉兰，它的位姿就可以嘗試用這種方式來描述。

? ? ? ?描述位姿的方式有很多種礁竞，以下描述位姿的方式是齊次變換方法：

2.1 位置

? ? ? ?位移和旋轉(zhuǎn)都需要一個參考糖荒。這個參考可以放在工業(yè)機(jī)器人的“根部”位置，設(shè)置一個三維笛卡爾坐標(biāo)系模捂，我們把它叫做參考系 $A$ （注意捶朵，都是“右手系”）蜘矢。也就是說，我們可以在參考系 $A$ 下泉孩，使用一個三維坐標(biāo)來描述一個空間點(diǎn)的位置硼端。我們把這個坐標(biāo)用向量來描述并淋，稱之為位置矢量 $^A\vec{p}$ 寓搬。

? ?????????????????????????????????????????????????????????????? $^A\vec{p} = \begin{bmatrix}^Ap_x\\^Ap_y\\^Ap_z\\\end{bmatrix}$

? ? ? ?左上標(biāo)“A”表示是在 $A$ 參考系下。位置向量 $^Ap$ 是從參考系 $A$ 的原點(diǎn) $O_A$ 起源的一個矢量县耽，它在參考系上的三個分量就是空間中某個點(diǎn)的在該參考系下坐標(biāo)句喷。

? ? ? ?因此，我們選取機(jī)械臂末端的執(zhí)行器上的某個點(diǎn)兔毙，取名為 $O_B$ 唾琼。那么， $O_B$ 點(diǎn)跟隨著機(jī)械臂一起移動澎剥，我們就可以用 $O_B$ 點(diǎn)在參考系 $A$ 中的位置矢量锡溯，描述出工業(yè)機(jī)器人的位置。這個向量我們稱之為 $^A\vec{p}_{B_{O}}$ 哑姚。

? ? ? ?左上標(biāo)的A仍然表示在參考系 $A$ 中祭饭，這里的B和O將在后面解釋⌒鹆浚總之倡蝙，它就是指 $O_B$ 這個點(diǎn)在參考系 $A$ 中的位置矢量。

2.2 姿態(tài)

? ? ? ?姿態(tài)意味著“旋轉(zhuǎn)”绞佩。與2.1一樣寺鸥，我們把選定的 $O_B$ 點(diǎn)視作另一個參考系的原點(diǎn)，重新建立一個新的坐標(biāo)系 $B$ 品山，我們稱之為工作坐標(biāo)系胆建。它是末端執(zhí)行器上的一個坐標(biāo)系，隨著機(jī)械臂的運(yùn)動肘交，它與末端執(zhí)行器的相對位置保持不變笆载。

? ? ? ?位置矢量 $^A\vec{p}_{B_{O}}$ 的含義便是：工作坐標(biāo)系B中的 $O$ 點(diǎn)（也叫 $O_B$ ），在參考坐標(biāo)系A(chǔ)中的位置矢量酸些。

? ? ? ?既然是描述“旋轉(zhuǎn)”宰译，那么我們應(yīng)該拋棄“位置”這個概念。也就是說魄懂，我們在研究姿態(tài)的時候沿侈，可以先把工作坐標(biāo)系整個平移到參考坐標(biāo)系，讓它們的原點(diǎn)重合市栗，使得位置向量 $^A\vec{p}_{B_{O}}$ 變成0缀拭。這個時候咳短，我們只關(guān)心該如何使用參考系A(chǔ)來描述參考系B。

? ? ? ?這里我們只需要描述清楚工作參考系B三個向量就可以實(shí)現(xiàn)——這三個向量是工作參考系B的主向量蛛淋，也就是沿著參考系B的三個軸的正向咙好、長度為1的單位向量：

? ?????????????????? $\begin{bmatrix}\vec{x}_B&\vec{y}_B&\vec{z}_B\end{bmatrix}$ ，也就是 $\begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$ （這里的每個向量視為列向量）

? ? ? ?我們把這個三個向量褐荷，用參考坐標(biāo)系A(chǔ)重新描述一遍勾效，也就是說，我們把系B的三個主向量放到系A(chǔ)中叛甫，分別把每個主向量分解到系A(chǔ)的三個軸上层宫，重新獲得三個新的坐標(biāo)值： $\begin{bmatrix}^A\vec{x}_B&^A\vec{y}_B&^A\vec{z}_B\end{bmatrix}$ 。這里A的含義是指把這個向量用系A(chǔ)來描述其监，B的含義是指它是系B中的某個向量萌腿，這里指的是系B的三個主向量。這里我們會獲得一個矩陣抖苦，我們給它起名叫做旋轉(zhuǎn)矩陣 $^AR_B$ 毁菱。

? ? ? ?這個矩陣肯定也是一個 $3\times 3$ 的矩陣，它長什么樣子呢锌历？

? ? ? ?我們先描述一些簡單的情況贮庞。首先，如果系A(chǔ)和系B完全一致辩涝，三個軸的方向完全一樣贸伐，那么系B的三個主向量的坐標(biāo)在A中沒有任何變化，則有：

? ?????????????????????????????????????????????????????? $^AR_B=\begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

? ? ? ?如果此時怔揩，系B繞著它的z軸旋轉(zhuǎn)了逆時針一個45度角捉邢。那么，B的 $^A\vec{x}_B$ 向量在系A(chǔ)中原先的坐標(biāo) $(1, 0,0)$ 變成了系A(chǔ)中的 $(\sqrt2,\sqrt 2,0)$ 商膊；B的 $^A\vec{y}_B$ 向量將會從原先的? $(0,1,0)$ 變成系A(chǔ)中的 $(-\sqrt2,\sqrt2,0)$ 伏伐；而B的 $^A\vec{z}_B$ 沒有任何變化（你可以理解為這個軸上沒有“旋轉(zhuǎn)信息”），還是 $(0,0,1)$ 晕拆。因此藐翎，旋轉(zhuǎn)矩陣為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $^AR_B=\begin{bmatrix}\sqrt2/2&-\sqrt2/2&0 \\\sqrt2/2&\sqrt2/2&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

? ? ? ?目前現(xiàn)有的教科書上的，描述繞著單獨(dú)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矩陣就是這么來的实幕。然而吝镣，絕大多數(shù)沒有說清楚的是，它們給出的公式的角度昆庇，實(shí)際上是逆時針旋轉(zhuǎn)得到的末贾。以下就是教科書給出的系B如果和系A(chǔ)在一開始是重合的，此時系B只關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)一個固定角度的旋轉(zhuǎn)矩陣的公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? $R(z,\theta )=\begin{bmatrix}\cos\theta &-\sin\theta &0 \\\sin\theta &\cos\theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

? ? ? ?旋轉(zhuǎn)矩陣就是我們想要的“旋轉(zhuǎn)”的信息整吆」澳欤或者說“姿態(tài)”辉川。

? ? ? ?獲得了旋轉(zhuǎn)矩陣之后，該怎么使用呢拴测？或者說乓旗，怎么把系B中的任意一個向量用系A(chǔ)來描述呢？教科書上給你了一個看上去簡單易懂的公式： $^A\vec p = ^AR_B\times ^B\vec p$ 集索，獲得了旋轉(zhuǎn)矩陣后屿愚，你就可以通過它來輕松的把在系B中描述的向量轉(zhuǎn)化成系A(chǔ)中的坐標(biāo)。

? ? ? ?但是為什么旋轉(zhuǎn)矩陣是左乘抄谐？為什么乘以旋轉(zhuǎn)矩陣就能轉(zhuǎn)換了渺鹦？以下是筆者的解釋（可以不用看）：

? ? ? ?首先我們先假設(shè)在一個空間中有一個任意向量 $\vec p$ ，它可以先用系B來描述一次蛹含，獲得它在系B中的三個坐標(biāo) $(a,b,c)$ 。這個P我們使用列向量 $^B\vec p=[a,b,c]^T$ 來表示塞颁。

? ? ? ?它在B中的三個坐標(biāo)意味著什么浦箱？相信我不用解釋大家都知道。我們把 $^B\vec p$ 分解到系B三根軸上的三個向量祠锣，它們的模就是坐標(biāo)酷窥。換個角度理解，我們可以認(rèn)為 $^B\vec p$ 是由系B的三個主向量的“線性組合”以及平行四邊形法則來合成的一個矢量伴网，也就是:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????? $^B\vec p=a\vec x_B+b\vec y_B+c\vec z_B$

? ? ? ? $\vec{x}_B,\vec{y}_B,\vec{z}_B$ 這三個列向量蓬推，本質(zhì)上就是 $^A\vec{x}_B,^A\vec{y}_B,^A\vec{z}_B$ ，只是描述方法不同澡腾。如果我們換用 $\begin{bmatrix}^A\vec{x}_B&^A\vec{y}_B&^A\vec{z}_B\end{bmatrix}$ 三個列向量來線性組合獲得 $\vec p$ 沸伏，至少 $(a,b,c)$ 這三個系數(shù)是不會變化的，因?yàn)樗谋举|(zhì)就是沿著原來的方向伸長或者縮短向量动分。

? ? ? ?所以毅糟，列向量 $^B\vec p$ 里面包含的三個“系數(shù)”，如果恰好左乘旋轉(zhuǎn)矩陣澜公，那么這個表達(dá)式所代表的線性組合就是：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $^AR_B·^B\vec p=a^A\vec x_B+b^A\vec y_B+c^A\vec z_B=^A\vec p_B=^A\vec p$

3 齊次變換矩陣

? ? ? ?其實(shí)到這里姆另，位姿就已經(jīng)描述清楚了。當(dāng)然坟乾，旋轉(zhuǎn)矩陣在線性代數(shù)中是一種正交矩陣迹辐，還有一些很特別的性質(zhì)，在這里就不多贅述了甚侣。不過為了同時描述位姿明吩，以及方便計(jì)算，我們定義了一個新的矩陣：齊次變換矩陣渺绒。

? ? ? ?首先贺喝，我們把位置向量 $\vec p$ 視為一個列向量菱鸥，并在它的末端添加一個1。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? $^B\vec p = \begin{bmatrix} ^B\vec r\\1 \end{bmatrix}$

? ? ? ? $^B\vec r$ 是指系B從原點(diǎn)指向某點(diǎn)的一個向量躏鱼，其大小為 $3\times 1$ 氮采，因此這個位置向量變成了 $4\times1$ 。然后我們定義齊次變換矩陣 $^AT_B$ ：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? $^AT_B = \begin{bmatrix}^AR_B & ^A\vec p_{B_O}\\000\end{bmatrix}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?顯而易見的是染苛，這是一個 $4\times 4$ 的矩陣鹊漠。旋轉(zhuǎn)矩陣是 $3\times 3$ 的，下方的三個空缺使用0來填補(bǔ)茶行，也就是3個0（000）躯概。

? ? ? ?它也有 $^A\vec p = ^AT_B\times ^B\vec p$ 這個公式，只不過這里的位置向量一定是第三大節(jié)這樣補(bǔ)充過的列向量才可以畔师。補(bǔ)充一點(diǎn)： $^A\vec p_{B_O}$ 在前面的幾節(jié)提到過娶靡，這里也需要補(bǔ)充一個1的元素到列向量的末尾。

4 結(jié)語

? ? ? ?本節(jié)內(nèi)容是筆者個人理解看锉，若有錯誤姿锭，歡迎大家指出并討論。

? ? ? ?同時伯铣，由于旋轉(zhuǎn)矩陣的特殊性質(zhì)呻此，在實(shí)際運(yùn)用中還有更多技巧。這些可以參考教科書《工業(yè)機(jī)器人》或者《機(jī)器人學(xué)》腔寡。? ? ? ?

最后編輯于：2024.04.30 00:23:30

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