代數(shù)系統(tǒng)的實(shí)例和一般性質(zhì)
定義
- 代數(shù)系統(tǒng): X是一個(gè)非空的集合, Θ = {·, *, ×, ○, ...}是定義在X上的非空的運(yùn)算集合, <X, Θ>叫做代數(shù)系統(tǒng);
- n目運(yùn)算: fx(x[1], x[2], ..., x[n]) = y是n目運(yùn)算, 注意別把y算進(jìn)去;
- 0目運(yùn)算: 指單位元0或1;
時(shí)鐘系統(tǒng), 生成元
舉例子: 定義一個(gè)一目運(yùn)算clock,
clock(k) =
k+1, k!=m
1 , k==m
我們從元1開始, 可以導(dǎo)出所有M中的元, 只要不斷使用clock運(yùn)算就可以了. 后面我們會(huì)看到, 在群那里, 我們提出了生成元的概念, 其實(shí)就是這個(gè)東西;
模4, 一個(gè)重要的案例
[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}
[1] = {...,-7,-3, 1, 5, 9, ..}
[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ..}
[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ..}
定義模4加法+運(yùn)算為 [i] + [j] = [i+j]
于是<Z4, +>構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng), 滿足了結(jié)合律, 有單位元[0], 分配率, 事實(shí)上已經(jīng)是一個(gè)群, 甚至還滿足了交換律, 構(gòu)成阿貝爾交換群
啟示: 代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)廣泛的概念, 集合S不僅僅可以只是擁有數(shù)字這樣的元素, 也可以是同余類這樣的等價(jià)類, 我們還可以將對(duì)象之間的關(guān)系定義成運(yùn)算, 從而進(jìn)行數(shù)學(xué)建模, 是研究問題的最基本方法.
同態(tài)和同構(gòu)
同態(tài)
- 定義: <A, ·>和<B, >, ·和都是二目運(yùn)算, 如果有映射g: A->B, 使得對(duì)于任何x, y屬于A集合, 有g(shù)(x · y) = g(x) * g(y), 那么我們說g是前者代數(shù)系統(tǒng)到后者的一個(gè)同態(tài)映射, <B, >被稱為<A, ·>的同態(tài)像*;
- 簡單點(diǎn)說, 就是先運(yùn)算后映射 等于 先映射后運(yùn)算, 那么就是同態(tài)
同構(gòu)
- 定義: 滿足同態(tài)的映射g, 如果還是雙射的, 也就是說兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)互相都是對(duì)方的同態(tài)像, 那么就是兩個(gè)系統(tǒng)是同構(gòu)的.
同余關(guān)系
- 同余關(guān)系: 設(shè)<Z, >為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng), ~是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 如果存在a, b, c, d∈Z, <a, b>, <c, d>都屬于~, 也就是說aRb, cRd, 那么<ac, bd>將仍然屬于~, 也就是ac R b*d; 此時(shí)~可以被叫做同余關(guān)系;
- 實(shí)例化: 模4為例子, <1, 5>∈R, <2, 6>∈R, 因?yàn)榍罢叨际荹1]成員, 后者都是[2]成員, 那么<3, 11>∈R, 因?yàn)樵撔蚺純?nèi)部左元右元都是是[3]成員 ( [1] + [2] = [3] );
- 另外一個(gè)定義, 如果等價(jià)關(guān)系~, 如aRb在經(jīng)過運(yùn)算*后仍能保存, 那么這個(gè)等價(jià)關(guān)系就是同余關(guān)系;
- 性質(zhì): 如果存在同態(tài)映射g: <Z, *>-><Y, ·>能使得a~b且g(a) = g(b), 則~是<Z, *>上的同余關(guān)系;
- 證明: 假設(shè)a~b, 且c~d, 所以g(a) = g(b), 且g(c) = g(d), -------條件(1)
因?yàn)槭峭瑧B(tài)映射, 所以g(ac) = g(a)·g(c), g(bd) = g(b)·g(d); -------條件(2)
那么因?yàn)闂l件(1), 所以條件(2) => g(ac) = g(bd) ==> ac ~ bd
也就是說~等價(jià)關(guān)系在*運(yùn)算后在代數(shù)系統(tǒng)中仍然保持, 它是同余關(guān)系;
