題 令函數(shù) ,過點(diǎn) 作切線交軸于,再過點(diǎn)作切線交 軸于锁荔。 若則停止，以此類推黎做，得到數(shù)列 (1) 若正整數(shù)叉跛，求證:; (2) 若正整數(shù)，試比較的大小; (3) 若正整數(shù)蒸殿，是否存...
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羅爾中值定理證明2023年上海高考21題
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一些數(shù)列題的知識(shí)背景是牛頓迭代法牛頓迭代法 已知函數(shù)在上單調(diào)筷厘、可導(dǎo)、有根宏所，方程在(a,b)上的根可用如下迭代公式逼近： 在高中數(shù)列題中酥艳，經(jīng)常出現(xiàn)一些題的知識(shí)背景是牛頓迭代法，以下有一些例子可以說明這點(diǎn)爬骤。
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b^2/(a^2+ab)不是整數(shù)
題 是正整數(shù)充石，證明：不是整數(shù)。證法1 假設(shè)是正整數(shù)霞玄，則關(guān)于b的二次方程有正整數(shù)解骤铃，這說明是平方數(shù)。由坷剧，故是平方數(shù)惰爬。另一方面，因惫企，故撕瞧。展開移項(xiàng)化簡(jiǎn)得：，這與是正整數(shù)矛盾雅任。所以假...
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利用"帶余除法"證明根號(hào)2是無理數(shù)
題 證明： 是無理數(shù)风范。證明 假設(shè)是有理數(shù)咨跌，那么存在互素的正整數(shù)沪么，滿足，從而有于是知锌半，所以存在一個(gè)禽车，使代入(1)變形得：所以寇漫，因，故殉摔。這與矛盾州胳。假設(shè)不成立，命題成立逸月。 評(píng)注 本...
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【11】整數(shù)問題
題11.1 已知栓撞，求證：(1) 不是整數(shù)。(2) 區(qū)間中沒有整數(shù)碗硬。 證明 (1) 假設(shè)是正整數(shù)瓤湘，則關(guān)于b的二次方程有正整數(shù)解，這說明是平方數(shù)恩尾。由弛说，故是平方數(shù)。另一方面翰意，因木人，故...
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【13】函數(shù)的極限
定理13.1 證明 a) 當(dāng)時(shí)醒第，命題顯然成立。b) 當(dāng)時(shí), 取滿足进鸠，令淘讥，當(dāng)時(shí)，所以又由的選取堤如，得由(13.1.1)及(13.1.2)得：蒲列，所以，此式對(duì)任意的自然數(shù)成立搀罢，所...
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【6】級(jí)數(shù)初步題6.1 把展開成的冪級(jí)數(shù)()蝗岖。解法1 設(shè)，則上式右邊系數(shù)為榔至，比較系數(shù)：所以抵赢，，最后：解法2 如圖6.1.1唧取，列除法豎式： 所以铅鲤， 題6.2 把展開的成冪級(jí)數(shù)。解法1 設(shè)枫弟，則...
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【7】整除性與余數(shù)
定義7.1 是整數(shù)邢享，若存在整數(shù)使，則稱整數(shù)能整除整數(shù)淡诗，或稱能被整除骇塘，記作：伊履。否則，稱整數(shù)不能整除整數(shù)款违，或稱不能被整除唐瀑，記作：。請(qǐng)根據(jù)以上定義判斷以下每對(duì)數(shù)是否整除： 題7.2...
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【1】自由落體運(yùn)動(dòng)與拋體運(yùn)動(dòng)定義1.1 初速度為零睛廊、有且只有重力作用的運(yùn)動(dòng)，稱作自由落體運(yùn)動(dòng)杉编。(1) 設(shè)行星表明的重力加速度為超全，那么物體做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)刻速度為_______米/秒，落下距離為_____...
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【5】復(fù)數(shù)基礎(chǔ)定理5.1 復(fù)數(shù)域不是有序域邓馒。證明 假設(shè)命題不成立嘶朱，即復(fù)數(shù)域是一個(gè)有序域。因?yàn)楣夂ǎ曰蚴瓒簦鶕?jù)有序域的性質(zhì)，救军，這樣就有财异，然而矛盾。所以假設(shè)不成立唱遭，命題成立戳寸。 定理5.2 復(fù)數(shù)分...
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【5】幾何計(jì)數(shù)題5.1 如圖5.1.1，有_______條線段拷泽。 題5.2 如圖5.2.1疫鹊，有_______個(gè)長(zhǎng)方形。 題5.3 如圖5.3.1司致，有_______個(gè)正方形拆吆。 題5.4 如圖...
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【4】多項(xiàng)式乘法與除法題4.1 展開多項(xiàng)式：(1) (2) (3) (4) 題4.2展開多項(xiàng)式：(1) (2) (3) (4) 題4.3 按的次數(shù)遞降展開多項(xiàng)式，并在表4.3.1中記錄相應(yīng)的...
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【3】自然與數(shù)列
題3.1 已知一列數(shù)問：(1) 19,190,1900是否在此列數(shù)中脂矫？他們分別在第幾個(gè)枣耀？(2) 請(qǐng)問第20個(gè)位置、202個(gè)位置羹唠、2022個(gè)位置的數(shù)分別是多少奕枢？ 題3.2 以...
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【2】基本計(jì)數(shù)問題題2.1 從中取個(gè)不同的數(shù)，有多少種組合佩微？解 可以利用楊輝三角形：解得：從不同的7個(gè)數(shù)中取3個(gè)不同的數(shù)缝彬，總共有35種組合。 題2.2 從中取個(gè)不同的數(shù)哺眯，組成三位整數(shù)谷浅，共可以組...
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【4】數(shù)列極限基礎(chǔ)定理4.1 收斂的數(shù)列有界。證明 設(shè)奶卓，那么存在正整數(shù)一疯，當(dāng)時(shí) 得當(dāng)自然數(shù)時(shí)，令夺姑，即.取綜上所述可得：從而證得有界墩邀。 題4.2 數(shù)列收斂于非零實(shí)數(shù)，那么：證明 (1)當(dāng)時(shí)盏浙，即：所...
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